Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

592 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Находим частное решение уравнения v′ + vtgx = 0 :

dv + vtgx = 0

dv + tgxdx = 0

dv +

tgxdx = ln C

ln | v | − ln | cos x |= ln C1

v = C1 cos x .

Полагая C1 = 1,

выбираем

частное

решение

v = cos x . Далее ищем

′

общее решение уравнения u v = cos x , где v = cos x . Имеем:

u′ cos x =

u =

+ C

u = tgx + C .

cos x

cos

Общее решение исходного уравнения:

y = uv = (tgx + C) cos x .

Из него выделяем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(π ) = 1, получаем C = −1. Подставляя найденное значение в общее решение, получаем частное решение исходного уравнения:

y = (tgx − 1) cos x = sin x − cos x .

Замечание. Линейное уравнение первого порядка может иметь вид:

dx	+ P( y)x = Q( y) ,	(2.13)
dy

где P( y) и Q( y) – заданные непрерывные функции переменной y .

Уравнение (2.13) − линейное уравнение относительно x . Его решение следует искать в виде x = u( y)v( y) ≠ 0 . Тогда x′ = u′v + uv′ , где в отличие

от решения уравнения (2.5) u′ = dudy и v′ = dydv , далее схему решение

следует проводить так же, как и для уравнения (2.5). Пример 5. Решить уравнение ( y2 + 1)dx + (4xy − 3)dy = 0.

Решение.

Преобразовав данное уравнение к виду:

dx 4xy

′

4 y

dy + y2 + 1 = y2 + 1

+ y2 + 1

x = y2 + 1 ,

выясняем, что оно является линейным, соответствующим виду (2.13), если рассматривать x как функцию от y.

Далее,	заменяя функцию x по формуле x = u( y)v( y) ≠ 0 , где u и v
функции от	y , имеем x	′	= u v + uv		;	подставив в исходное уравнение,
		′	′	′
имеем:
	u′v + uv′ +			4 y			uv =	3
	u′v + uv′ +			y2 + 1			uv =	y2 + 1
				y2 + 1				y2 + 1

или

′

4 y

u v

+ u v

+ 1

v =

+ 1

Отсюда для нахождения u и v имеем два уравнения:

4 y

v = 0 .

+ y2 + 1

′

== y2 + 1.

u v

Из первого уравнения находим v :

= −

4 y

= −

4 y

= −4

+ 1

= −2

d ( y2 + 1)

ln | v |= −2ln(y

+ 1)

ln | v |= ln(y2 + 1)−2

v =

( y2 + 1)2

Подставляем v во второе уравнение и, решая его, находим u :

u′

= 3( y

+ 1)

du = 3( y

+ 1)dy

( y2 + 1)2

y2 + 1

du = 3 y2d y + 3 dy + C

u = y3 + 3y + C .

Умножая u на v , получим общий интеграл данного уравнения:

x = ( y3 + 3y + C)	1	.
	( y2 + 1)2

§ 5. Уравнения Бернулли Определение 1. Дифференциальное уравнение (нелинейное)

вида:

y′ + P(x) y = Q(x) yα ,

(2.14)

где α ≠ 0 , α ≠ 1, α R называется уравнением Бернулли [8,9].

Замечание. При	α = 1 уравнение (14) обращается в уравнение
с разделяющимися переменными, при α = 0		– в линейное уравнение
вида (2.5).
Метод решения:	уравнение Бернулли	можно преобразовать

в линейное уравнение делением обеих его частей на yα и произведя

замену неизвестной функции			при	помощи подстановки z = y1−α ,
которая преобразует исходное уравнение в уравнение:
	1	′	+ P(x)z = Q(x) .

1 − α z
Схема решения уравнения Бернулли:

F (x, y, y′) = 0 y′ + P(x) y = Q(x) yα						y−α y′ + P(x) y1−α = Q(x)
z = y	1−α				1	′	+ P(x)z = Q(x)

				1 − α z

Пример 1. Найти общее решение уравнения y′ − 2xy = 3x3 y2 .

Решение.

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Разделим обе части уравнения на y2 :

y−2 y′ − 2xy−1 = 3x3 .

Положим z = y−1 , тогда z′ = − y−2 y′ . Умножая обе части уравнения на (−1) и выполняя указанную подстановку, получим линейное уравнение:

z′ + 2xz = −2x3 .

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Для решения применим метод Бернулли.

Выполнив замену z = u(x)v(x) ≠ 0				, z	′	= u v + uv		, получим:
					′	′	′
′	′	+ 2xuv = −2x	3				′	′	+ 2xv) = −2x	3	.
u v + uv		+ 2xuv = −2x		u v + u(v					+ 2xv) = −2x		.
Для нахождения u(x) и v(x)				имеем два уравнения:

1.v′ + 2xv = 0 .

2.u′v = −2x3 .

Из первого уравнения находим v(x) :

′

+ 2xv = 0

= −2xv

= −2xdx

= −2 xdx

ln | v |= − x2

v = e− x2 .

Найденную

функцию

v(x) подставляем

во второе уравнение

и решаем его. Получаем:

′ − x2

= −2x

d (x

) + C .

u e

du = −2x

= − x

Для вычисления последнего интеграла применим формулу

интегрирования по частям udv = uv − vdu . Введем обозначения:

u = x2

du = (x2 )′dx = 2xdx

d (x

2 )

d (x2 ) = ex

+ C

dv = ex

v = ex

Тогда:

u = −(x2ex2 − 2xex2 dx)+ C = − x2ex2 + ex2 d(x2 ) + C = = − x2ex2 + ex2 + C = (1 − x2 )ex2 + C.

Далее находим:

z = u(x)v(x) = ((1 − x2 )ex2 + C)ex2 = 1 − x2 + Ce− x2 .

Следовательно, общим решением данного уравнения будет:

y = 1

− x2 + Ce− x

Задания, предлагаемые для аудиторного занятия [10]

Задача 1. Найдите

общие

решения

дифференциальных

уравнений:

xy′ − y = x2 cos x .

xy′ − 5y = x6 + x .

′

= x

y′ + 2xy = xe− x2 .

+ x + 2

′

2x − 1

y + 1.

y′ + 2 y = 3x7 + 2 .

Задача 2. Найдите решения уравнений Бернулли:

y′ +

= x2 y4 .

′

2xy

arctgx .

−

1 + x2

= 4

1 + x2

y′ −

′

2 y

− 1

x − 1

Задача 3. Найти

частные

решения

дифференциальных

уравнений:

′

= x ln x

при начальных условиях y(e) =

−

2 e

x ln x

y′ sin x − y cos x = 1 при начальных условиях

= 0 .

3.y′ − y = ex при начальных условиях y(0) = 2.

4.x2 y′ − 2xy = 3 при начальных условиях y(1) = 1.

5.y′ 1− x2 + y = arcsin x при начальных условиях y(0) = 0 .

6.y′ + 3y tg3x = sin 6x при начальных условиях y(0) = 13 .

Задача 4. Проинтегрировать следующие

уравнения, приняв за

неизвестную функцию x :

y = xy′ + y′ ln y .

(2xy + 3)dy − y2dx = 0 .

y (x + y

) = y .

( y

+ 2x) y′ = y .

′

Задача 5. Решить задачу Коши:

′

3x2 y

= y

+ 1)sin x при начальных условиях y(0) = 1.

x3 + 1

+ y = e

1 x

при начальных условиях

′

y(0) = 4 .

Индивидуальные задания Задача 1. Проинтегрировать уравнение:

1.	xy′ − 5y = x6 cos3x .							16.	y′ − 3x2 y = x3ex3 .
2.	y	′	+	y	=	sin 2x	.	17.	y′ −	2 y	1
				x		x				x	= 1 + x .
								35

3.xy′ + y = cos x .

4.xy′ − 5y = x6 cos x .

5.(x + 2) y′ + y = x3 .

6.(x2 + 1) y′ − 2xy = 1+ x2 .

7.xy′ + y = x3 .

8.xy′ − 3y = x4ex .

9.y′ − 2y = x5e2x .

10.xy′ − 2y = x3 .

11.xy′ − 5y = x6 sin x .

12.xy′ − y = x2 sin 2x .

13.y′ + y cos x = sin x cos x .

14.x3 − y′ = 2xy .

15.y′ + 1 − 2x y = 1.

Задача 2. Решить задачу Коши:

1.2x′y − x = 3y2 , x(1) = 2 .

2.x′ − x = e2 y , x(0) = 2.

3.( y + 8)x′ + x = y2 , x(−9) = 289 .

4.x′y − 2x = y3 , x(1) = 1.

5.x′y + 2x = y2 , x(1) = 54 .

6. yx′ − x = y	2	sin 2y ,	π		=	π	.
			x	2		2

7.x′ − 2x = ye2 y , x(0) = 1.

8.x′y − 5x = y6 , x(1) = 0 .

9.x′y − 3x = y4ey , x(1) = 2e .

10.x′y + x = y3 , x(1) = 34 .

11.x′ + x = 3y − 2 , x(1) = 1.

12. x′ y − x = y , x(1) = 3.

18.y′ + 2xy = xe− x2 .

19.xy′ + y = x .

20.y′ sin x + y cos x = 2 .

21.y′ + y = 3x − 2 .

22.xy′ + y = ex .

23.xy′ − 5y = x6 .

24.y′ − 3y = x4e3x .

25.y′ + y = x + 1.

26.y′ − y = e2x .

27.2xy′ − y = 3x2 .

28.y′ − y = ex sin x .

29.xy′ − 5y = x6 sin 2x .

30.y′ + y = x2 .

x+ 1

16.x′ + x cos y = sin y cos y , x(0) = 1.

17.yx′ − 5x = y6 sin y , x(π ) = π 5 .

18.x′ + x = y + 1, x(0) = 2.

19.x′ − 3x = y4e3 y , x(0) = 1.

20.x′y + 3x = y5 + y2 , x(1) = 1340 .

21.x′y − 5x = y8 , x(1) = − 32 .

22.x′ − x = y2ey , x(0) = 1.

23.x′ − 2x = y5e2 y , x(0) = 1.

24.x′ − x = 1 − e y , x(1) = 1.

25.yx′ + x = y3 , x(1) = 75 .

26.x′ + x = e y , x(1) = e .

27.x′y + x = y , x(1) = 1.

13. ( y + 2)x′ + x = y3 , x(1) = 2 .

28. ( y + 1)x′ + x = 3y2 + 4y ,

x(0) = 5 .

′

= y cos y ,

x(π )

= π .

14. x

′

29. x y − 5x

− y

= 1 + y , x(1) = 1.

30. x′ +

cos y

, x

15.x′ sin y + x cos y = 2 , x = 1.

§6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалахy y π2π

Определение 1. Если в уравнении:

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(2.15)

левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y) , то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x, y) , так что его общий интеграл имеет

вид:
u(x, y) = C .			(2.16)
Например, уравнение xdy + ydx = 0 есть	уравнение	в	полных
дифференциалах, так как его можно переписать в виде			d (xy) = 0 .
Общим интегралом будет xy = C .
Предположим, что функции M (x, y)	и N (x, y)	определены
и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней
непрерывные частные производные соответственно по		y	и по x .

Тогда для того чтобы уравнение (2.15) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество:

∂M	=	∂N .	(2.17)
∂y		∂x
Если условие (2.17) выполнено, то общий интеграл можно
записать в виде:
x	y		(2.18)
M (x, y)dx + N (x0 , y)dy = C			(2.18)
x0	y0

или

(x0 , y0 )

x	y
M (x, y0 )dx + N (x, y)dy = C ,		(2.19)
x0	y0
где нижние пределы x0 и y0	можно выбирать произвольно, их выбор

ограничен единственным условием: интегралы в правой части этих формул должны иметь смысл (то есть не быть расходящимися несобственными интегралами второго рода), другими словами необходимо, чтобы точка принадлежала области D .

В этих формулах интегрирование производится по одной из переменных, в то время как вторая является параметром, причем в одном из интегралов параметр полагается равным нижнему пределу другого интеграла.

Метод решения: уравнение в полных дифференциалах можно решить двумя способами:

1.Если условие полного дифференциала (2.17) выполняется, то общий интеграл дифференциального уравнения (2.15) находится по формулам (2.18) или (2.19).

2.Так как левая часть уравнения (2.15) есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y) , то:

du = M (x, y)dx + N (x, y)dy .

(2.20)

С другой стороны по определению полного дифференциала функции двух переменных имеем, что:

du =	∂u	dx +	∂u	dy .	(2.21)

	∂x		∂y

В (2.20) и (2.21) правые части равны, следовательно, равны и левые части, откуда получаем:

	∂u	= M (x, y),
	∂x
		(2.22)
	∂u
		= N (x, y).
	∂y

Проинтегрируем первое уравнение системы (2.22) по x , считая y постоянной:

u(x, y) = M (x, y)dx + C( y) .	(2.23)
38

Чтобы найти C( y) , найдем от полученной функции (2.23) производную по y :

∂u	= ( M (x, y)dx)		′	+ Cy ( y)	(2.24)
∂y		y		′
∂y		y
и подставим (2.24) во 2-ое уравнение системы (2.22), то есть:
	′	′
		′
( M (x, y)dx)y + Cy ( y) = N (x, y) .					и находим
Упрощаем полученной выражение,			выражаем C y ( y)		и находим
				′

C( y) . Найденное C( y) подставляем в функцию (2.23), учитывая, что u(x, y) = C , и получаем общий интеграл данного уравнения.

Схема решения:

′

) = 0

∂M

∂N

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

∂y = ∂x

F (x, y, y

M (x, y)dx + N (x0 , y)dy = C

или M (x, y0 )dx + N (x, y)dy = C

Пример 1. Решить уравнение (x + y − 1)dx + (ey + x)dy = 0.

Решение.

Обозначим:

M (x, y) = x + y − 1, N(x, y) = e y + x .

Тогда:

∂M

′

∂N

= (e

′

∂M

∂N

∂y

= (x + y − 1) y = 1,

∂x

+ x)x = 1

∂y

∂x

Так как условие полного дифференциала (2.17) выполнено, следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдем общий	интеграл данного уравнения по одной из формул
общего интеграла,	например,	по	формуле (2.18). Возьмем x0 = 0 ,
y0 = 0 . Выбор этих значений		x0 ,	y0 допустим, так как функции

M (x, y) , N (x, y) и их частные производные определены, то есть точка

M 0 (0,0) D . Получим:

x					y
(x + y − 1)dx + e y dy = C ,
0					0
	x	2		x		y	y	= C .
				x

					+ e

	2		+ xy − x				0
			+ xy − x				0
				0
				0

Общий интеграл заданного дифференциального уравнения имеет вид:

+ xy − x + ey − 1 = C .

Пример 2. Решить уравнение:

(3x2 + 6xy2 )dx + (6x2 y + 4y3 )dy = 0 .

(2.25)

Решение.

Обозначим:

M (x, y) = 3x2 + 6xy2 , N(x, y) = 6x2 y + 4y3 .

Тогда:

∂M

= (3x

+ 6xy

′

∂N

= (6x

y + 4 y

′

∂M

∂N

∂y

) y = 12xy ,

∂x

)x = 12xy

∂y

∂x

Так как условие (2.17) выполнено, следовательно, уравнение (2.25) есть уравнение в полных дифференциалах.

Найдем общий интеграл					по формуле (2.18). Возьмем									x0 = 0 ,
y0 = 0 , так как M 0 (0,0) D . Получим:
x									y
(3x2 + 6xy2 )dx + 4 y3dy = C ,
0								0
	x	3				x	2		x		y	4	y
		3					2		x			4	y
				+ 6 y	2				+	4			= C .

3	3				2						4
	3				2				0		4		0
									0				0
Общий интеграл дифференциального уравнения (2.25) имеет вид:
			x3 + 3x2 y2 + y4 = C .
Покажем, что уравнение					(2.25)					легко привести к виду				du = 0

непосредственной группировкой его членов. С этой целью запишем его так:

3x2dx + 6xy2dx + 6x2 ydy + 4y3dy = 0 ,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]