Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

592 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

1				2 (xC1	− 1)3
y = ±		xC1 − 1d(xC1 − 1) + C2	y = ±			+ C2 .
	C			3C
1				1

Задания, предлагаемые для аудиторного занятия Задача 1. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1.(x − 3) y′′ + y′ = 0 .

2.( y′′ + 1)x + y′ = 0 .

3.(1− x2 ) y′′ − xy′ = 2 .

Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения 2-ого порядка (1 − x) y′′ = y′ при начальных условиях y(0) = 0 , y′(0) = 1.

Индивидуальные задания Задача 1. Решить дифференциальные уравнения второго

порядка:

y′

16.

y′

+ 1.

′′

x .

′′

xy′′ = y′ .

+ 1.

17.

xy′′ + y′ = 1.

= 0.

2xy y

= ( y )

18.

′′

+ 2x( y )

′ ′′

′

19.

′ 2

= 0 .

′′

− 3x( y )

= 0.

y − 3( y )

′ 2

20.

′′

′

y tgx = y

′

+ 1.

y ctgx = −( y

′

+ 1) .

′′

) y

= xy .

21.

′′

− y

= e

(1− x

′′

′

′′

′

22.

′′

′

= 0 .

+ y tgx =

2 sin 2x .

+ x y

23.

y′′

− x y′ = x

y′′

−

x y′ = x

y (x + 3) = y

24.

x( y

′′

+ 1) + y

′

= 0 .

10.

′′

+ y

′

25.

′′

′

= x .

′′

− 2 y tgx = sin x .

11.

26.

′

′′

+ 2y = x

′′

− y = x

′

12.

27.

y′′ =

x y′

y′′

x y′ = x

13.	xy	′′	+ 2 y = x			4	+ x .	28.	xy	′′	− 3y = x		5	.
14.	xy			′			.	29.	xy		′			.
		′′	+ 5y = x			7				′′	+ 3y = x		4
				′							′
15.				4		7	.	30.	xy′′		+ y′ =	x .
	y′′ +			x y′	= x

§ 4. Дифференциальные уравнения, не содержащие независимую переменную x

Данное уравнение имеет вид F( y, y′, y′′, ... , y(n) ) = 0.

Метод решения: уравнение этого типа допускает понижение порядка, если положить y′ = z , а за новый аргумент принять сам y . В этом случае y′′ , y′′′ , … выразятся по формулам (выводимым по

правилу

дифференцирования

сложной

функции)

′′

= z dy

d 2 z

dz 2

, …, через z

и производные от z по

y , причем

y′′′ = z z

порядок уравнения понизится на одну единицу.

Например, если в уравнение 2-ого порядка не входит независимая переменная x , то есть F ( y, y′, y′′) = 0 , то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую независимую переменную y , а за неизвестную функцию y′ = z( y) . При этом получается уравнение первого порядка

Получается при этом уравнение первого порядка относительно неизвестной функции z и независимой переменной y , которое решается одним из методов, рассмотренных ранее.

Схема решения для уравнения 2-ого порядка имеет вид:

′ ′′	dy	= z( y)		d 2 y	dz	dz dy	′	z
F ( y, y , y ) = 0	dx	= z( y)		dx2	= dx	= dy dx	= z	z
				′
			F ( y, z, z ) = 0

Замечание. Уравнение F ( y, y′′) = 0 является частным случаем уравнения такого вида.

Пример 1. Найти общее решение уравнения 2yy′′ = ( y′)2 .

Решение.

В уравнение не входит x . Данное уравнение является дифференциальным уравнением 2-ого порядка, допускающим понижение порядка. Полагаем y′ = z( y) . Тогда:

′′

d( y′)

dz dy

′

z .

= dx = dx = dy dx = z

После подстановки y′ и y′′ в исходное уравнение, имеем:

′

= z

2 yz

′

= z .

2yz z

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2 yz′ = z

2 y dz

= z

2 dz

= dy

+ ln | C1 |

2ln | z |= ln | y | + ln | C |

z2 = C y

z = ± C y .

Следовательно,

y′ = ± C1 y

= ± C1 y

= ±dx

C1 y

dx + C2

y = C2 ± x

= ±

y =

(C2 ± x)

C y

Пример 2. Решить уравнение

′′

+ ( y )

= 1.

′ 2

Решение.

уравнение не

входит

x .

Данное

уравнение

является

дифференциальным уравнением 2-ого порядка, допускающим понижение порядка. Полагаем y′ = z( y) . Тогда y′′ = z′ z . После подстановки y′ и y′′ в исходное уравнение имеем:

′

= 1.

yz z + z

Это уравнение с разделяющимися переменными.

′

zdz

yz z + z

= 1

yz dy

+ z

− 1

= 0

z2 − 1

d (z2 − 1)

dy = ln | C |

1 ln | z2 − 1 | + ln | y |= ln | C |

z2 − 1

ln | z2 − 1| +2ln | y |= 2ln | C |

(z2

−1) y2

= C 2

z = ±

1 + 1 .

Следовательно,

′

= ±

+ 1

′

= ±

C2 + y2

C 2

+ y2

dx = ±

ydy

dx = 0

ydy

dx = C2

+ y2

d(C2

+ y2 )

dx = C2

C12 + y2 x = C2 .

+ y2

C12

Задания, предлагаемые для аудиторного занятия Задача 1. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1.y′′ = 1− ( y′)2 .

2.y′′(2 y + 3) − 2( y′)2 = 0

Индивидуальные задания

Задача 2.

Решить

дифференциальные

уравнения второго

порядка:

y′′ − 2 y = 0 .

16.

y′′ − 5 yy′ = 0 .

4 y′′ − yy′ = 0 .

17.

2 y′′ − y = 0 .

y y

= 1.

18.

3yy

′′

= ( y )

′′

19.

′

y (1+ y) = 5( y )

2yy

′′

= 1+ ( y )

′′

= 2 − y .

′

20.

y y

′ 2

′′

′

= 1.

= 9 y

21.

′′

+ y y = 0 .

+ 4 y

′

= 0 .

22.

′

′′

′

′′

− 5 y y = 0 .

23.

′

′′

+ 3y y = 0 .

′′

= 16 y

′

= 0 .

24.

′

= 0.

( y )

+ yy

′′

3yy

′′

+ ( y )

′

′′

25.

′

10.

= 1.

′′

+ 2 y

′

= 0 .

′′

′

26.

− ( y )

= 0 .

′′

11.

y (1 + y) −

5( y )

= 0 .

′

12.

′′

− 8 y y = 0 .

27.

′′

+ 5 y

′

= 0 .

′

13.

y′′

−

2( y )

= 0 .

28.

′′

1+ y

14.

y tgy = 2( y )

29.

y′′(1+ y) − 5( y′)

= 0 .

15.

′′

′

′′

− y y = 0 .

′

30.

( y )

+ yy = 0 .

ЧАСТЬ IV ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ § 1. Основные понятия и определения

Определение 1.	Линейным дифференциальным уравнением				n -го
порядка называется уравнение вида:
y(n) + a1(x) y(n−1) + a2 (x) y(n− 2)		+ ... + an−1(x) y′ + an (x) y = f (x) .			(4.1)
Здесь функции a1(x) , a2 (x) , …, an (x) и			f (x) заданы и непрерывны в
некотором промежутке (a,b) .
Определение 2.	Уравнение	(4.1)	называется	линейным
неоднородным, или	уравнением	с правой частью, то		есть	если
f (x) ≠ 0 . Если же f (x) ≡ 0 , то уравнение:
y(n) + a1 (x) y(n−1) + a2 (x) y(n− 2) + ... + an−1 (x) y′ + an (x) y = 0					(4.2)

называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется

соответствующим ему.

Одним из свойств линейных однородных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по известному числу их частных решений.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Если y1 , y2 , …, yn – линейно независимые частные решения уравнения (4.2), то

y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn

является общим решением этого уравнения, где C1 , C2 , …, Cn – произвольные постоянные величины.

Определение 3. Функции y1(x) , y2 (x) , …, yn (x) называются линейно независимыми в промежутке (a,b) , если они не связаны никаким тождеством:

α1 y1 + α 2 y2 + ... + α n yn = 0 ,

где α1 , α 2 , …, α n – какие-нибудь постоянные, не равные одновременно нулю.

Для случая двух функций приведенное выше условие можно сформулировать так:

Определение 4. Две функции y1(x) и y2 (x) линейно независимы,

если их отношение не является постоянной величиной, то есть

y1(x) ≠ const . y2 (x)

Например:

1.y1 = x , y2 = x2 – линейно независимые функции.

2.y1 = ex , y2 = e− x – линейно независимые функции.

3.y1 = 2e3x , y2 = 5e3x – линейно независимые функции.

Достаточным условием линейной независимости n функций, непрерывных вместе со своими производными до (n − 1) -го порядка в промежутке (a,b) , является то, что определитель Вронского этих

функций W [ y1,	y2 ,	... , yn ] не равен нулю ни в одной точке промежутка
(a,b) , то есть:
			y1(x)	y2	(x) ...		yn (x)
			y1(x)	y2	(x) ...		yn (x)
			y′(x)	y′	(x) ...		y′ (x)
W[ y1,	y2	, ... , yn ] =	1	2			n		≠ 0 .
W[ y1,	y2	, ... , yn ] =	...	...		...	...		≠ 0 .
			...	...		...	...
			y(n−1) (x)	y(n−1)		(x) ...	y(n−1)	(x)
			1	2			n

Если данные n функции являются частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка, то это условие (неравенство нулю) является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих n решений.

§ 2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Если в линейном однородном уравнении:

y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n− 2) + ... + an−1 y′ + an y = 0	(4.3)
все ai (i = 1, 2, ..., n ) – постоянные действительные числа,	то его

частное решение может быть найдено в виде y = ekx . Значения k , при которых y = ekx будет решением уравнения (4.3), определяются из так называемого характеристического уравнения:

k n + a1k n−1 + a2k n− 2 + ... + an−1k + an = 0 .

Данное характеристическое уравнение является уравнением n -ой степени и имеет n корней (вещественных или комплексных, среди которых могут быть и равные).

Метод решения: общее решение уравнения (3) будет зависеть от корней характеристического уравнения. Возможны три случая:

1. Если все корни k1 , k2 , …,		kn действительны и различны, то
решения ek1x , ek2 x , …,		ekn x будут линейно независимы
и,	следовательно,	общее	решение	исходного

дифференциального уравнения будет иметь вид:

y= C1ek1x + C2ek2 x + ... + Cnekn x .

2.Если k – корень характеристического уравнения кратности m ( m ≤ n ), то этому корню соответствует m частных решений:

ekx , xekx , x2ekx , …, xm−1ekx .

Например, если k – трехкратный корень, частными линейно независимыми решениями, соответствующими этому корню,

будут ekx , xekx , x2ekx .

3. Если среди корней характеристического уравнения есть

комплексные сопряженные k1,2 = α ± βi ,			то им соответствуют
два действительных частных линейно независимых решения
eαx cos(βx) и eαx sin(βx) . Если же корни α + βi и α − βi				являются
двукратным, то указанным корням соответствуют частные
решения eαx cos(βx) ,		eαx sin(βx) , xeαx cos(βx) , xeαx sin(βx) и т.д.
Напомним,	что	комплексные	корни	уравнения
с действительными коэффициентами всегда бывают попарно
сопряженными и притом одинаковой для данной пары корней
кратности.
Например, для линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
		y′′ + py′ + qy = 0 ,		(4.4)
где p , q – любые	действительные числа, характеристическое
		58

уравнение будет иметь вид:

k 2 + pk + q = 0 .

Схема решения для линейного однородного дифференциального уравнения 2-ого порядка имеет вид:

y′′ + py′ + qy = 0	k 2 + pk + q = 0	k1,2	=	− p ± p2 − 4q	:
				2

1.Если k1 ≠ k2 , то y = C1ek1x + C2 ek2 x ;

2.Если k1 = k2 = k , то y = (C1 + C2 x)ekx ;

3.Если k1,2 = α ± βi , то y = (C1 cos βx + C2 sin βx)eαx .

Пример 1. Найти общее решение уравнения y′′ − 7 y′ + 6 y = 0 .

Решение.
Заданное	уравнение		является			линейным	однородным
дифференциальным уравнением 2-ого порядка.
Характеристическое уравнение имеет вид k 2 − 7k + 6 = 0 , его корни
k1 = 6 , k2 = 1. Следовательно,			частные линейно независимые решения
будут e6 x и ex , а поэтому общее решение имеет вид:
		y = C e6 x + C			ex .
			1	2
Пример 2. Найти общее решение уравнения yIV − 13 y′′ + 36 y = 0 .
Решение.
Характеристическое		уравнение		имеет		вид k 4 − 13k 2 + 36 = 0 , его
корни k1,2 = ±3 ,	k3,4 = ±2 ,	им	соответствуют линейно				независимые

частные решения e3x , e−3x , e2 x и e−2x . Следовательно, поэтому общее решение имеет вид:

y = C1e3x + C2e−3x + C3e2 x + C4e−2 x .

Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′ − 2 y′ + y = 0 .

Решение.

Характеристическим уравнением будет k 2 − 2k + 1 = 0 , его корни k1 = k2 = 1. Здесь имеем двукратный корень 1, а поэтому частными

решениями будут ex и xex . Общее решение имеет вид:

y = C ex

+ C

xex

y = (C + C

x)ex .

Пример 4. Найти общее решение уравнения y′′ − 4 y′ + 13y = 0 .

Решение.

Характеристическим уравнением будет k 2 − 4k + 13 = 0 ,

его корни

k1,2

= 2 ± 3i . Следовательно,

α = 2 ,

β = 3. Общее решение имеет вид:

y = (C cos 3x + C

sin 3x)e2 x .

Пример 5. Найти общее решение уравнения y′′ + 4 y = 0 .

Решение.

Характеристическим

уравнением

будет

k 2 + 4 = 0 , его

корни

k1,2 = ±2i . Следовательно, α = 0 , β = 2. Общее решение имеет вид:

y = (C cos 2x + C

sin 2x)eαx

y = C cos 2x + C

sin 2x .

Пример 6. Найти

решение

уравнения

y′′ − y′ − 2 y = 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0 ,

y (0) = 3.

′

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид k 2 − k − 2 = 0 ,

его корни

k1 = 2 , k2 = −1. Следовательно, общее решение будет:

y = C e2 x

+ C

e− x .

Подставляя начальные условия в общее решение и его

производную, получим систему уравнений относительно C1 и C2 :

y(0) = 0,

C e0 + C e0 = 0,

C + C

= 0,

C = 1,

y′(0) = 3,

2C1e0 − C2e0 = 3,

2C1 − C2 = 3,

C2 = −1.

Следовательно, решением, удовлетворяющим поставленным

начальным условиям, будет:

y = e2 x

− e− x .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]