Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие

§2. Дифференциальные уравнения с разделенными

ис разделяющимися переменными

Простейшими видами интегрируемых дифференциальных уравнений 1-го порядка являются дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными [5].

Определение 1. Дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением с разделенными переменными. Решение этого уравнения основано на следующей теореме.

Теорема 1. Если функция M (x) имеет первообразную P(x) , а функция N ( y) – первообразную Q( y) , то общее решение уравнения

(1) записывается в виде:

P(x) + Q( y) = 0 .

11

Метод решения – интегрирование всех частей уравнения.

В результате решения дифференциального уравнения его решение может быть выражено в явном виде y = ϕ (x, c) или в не явном виде ϕ (x, y, c) = 0 , в этом случае говорят, что найден общий интеграл.

Решение.

Уравнение (2.2) является дифференциальным уравнением 1 порядка с разделенными переменными. Проинтегрируем все части уравнения (2.2):

(x3 + 1)dx + ( y2 − 5y + 7)dy = C .

Общее решение уравнения (2.2) имеет следующий вид:

тождественно нулю, то путем деления исходного уравнения (2.3) на N1 ( y)M 2 (x) ≠ 0 уравнение (2.3) приводится к виду:

к соотношению, которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения.

12

Подстановкой убеждаемся, что y0 , x0 является решением исходного уравнения. Далее надо выяснить, получается ли данное решение при каком-либо C из общего решения или является особым. Если решение особое, то его выписывают в ответ вместе с общим.

Схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

N1( y)M 2 (x) = 0

Решение.

Уравнение (2.4) является дифференциальным уравнением 1

Интегрируя это соотношение, будем иметь:

13

Ответ удобнее записать в иной форме, если заметить, что C1 = ±eC также представляет собой произвольную постоянную, а значит, общее решение уравнения (2.4) имеет вид:

y = C1(x +1)e− x .

Чтобы избежать такого изменения обозначений, можно было при интегрировании сразу написать, имея в виду дальнейшее потенцирование:

x − ln | x + 1|= − ln | y | + ln C ,

так как ln C – тоже произвольная постоянна. После потенцирования получим:

| y |= C | x + 1| e− x , y = C(x + 1)e− x .

Пусть теперь:

исходного уравнения (2.4), но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения.

дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными:

14

cos x dydx = lnyy .

Разделим переменные:

lnyy dy = cosdxx .

Проинтегрируем обе части уравнения:

lnyy dy = cosdxx + C ,

ln yd(ln y) = cosdxx + C ,

Решение.

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1 порядка с разделяющимися переменными, преобразуем его к виду:

Интегрируя, получим общее решение данного уравнения:

Следовательно, частный интеграл имеет вид:

ln y = −arctgx + π4 .

15

После потенцирования получим:

Задания, предлагаемые для аудиторного занятия.

Задача 1. Найдите общие решения дифференциальных уравнений:

1.y′ = x3 + 7x − 4 x .

2.y′ = x ln x .

4.y′ = cos 3x .

5.y′ = y2 − 3y + 5 .

6.y′ = sin5 3y .

7.y′ = 2sin4 x .

8.y′ = lnyy .

Задача 2. Найдите решения задач Коши для следующих дифференциальных уравнений:

Задача 3. Найдите общие интегралы дифференциальных уравнений:

1.xydy + (y + 1)dx = 0 .

2.ydx + ctgxdy = 0 .

3.xy2 y′ + x2 + 1 = 0 .

Задача 4. Найдите частные решения дифференциальных уравнений:

16

1.yy′ = ln y при начальных условиях y(2) = 1.

2.x 1+ y2 dx + y 1+ x2 dy = 0 при начальных условиях y(0) = 0 .

4.3 + y2 dx − ydy = x2 ydy , y(0) = 1.

5.6xdx − 6 ydy = 2x2 ydy − 3xy2dx , y(1) = 6 .

6.x 3 + y2 dx + y 2 + x2 dy = 0 , y( 2) = 6 .

10.x 5 + y2 dx + y 4 + x2 dy = 0 , y(0) = 2 .

11.y(4 + ex )dy − ex dx = 0 , y(0) = 0 .

12.4 − x2 y′ + xy2 + x = 0 , y(0) = π4 .

13.2xdx − 2 ydy = x2 ydy − 2xy2dx , y(2) = 0 .

14.x 4 + y2 dx + y 1+ x2 dy = 0 , y( 3) = 0 .

15.(ex + 8)dy − yexdx = 0 , y(0) = 9 .

16.5 + y2 + yy′ 1+ x2 = 0 , y(0) = 2 .

17

измерения m , если при замене x и y на kx и ky соответственно функция f (x, y) приобретает множитель k m , то есть:

f (kx, ky) = km f (x, y) .

При такой замене производная y′ = dydx = dd((kykx)) не изменяется.

Определение 2. Уравнение вида:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) являются однородными функциями одного измерения.

Метод решения: однородное уравнение нужно привести к виду

уравнение в уравнение с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t , то есть t′x = f (t) − t [6-8].

Схема решения однородного дифференциального уравнения:

Пример 1. Определить, являются ли однородными следующие дифференциальные уравнения 1-го порядка:

уравнение. Со вторым уравнением такого преобразования провести не удается, и, следовательно, оно не является однородным.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Для этого разделим исходное уравнение на xy , в результате получим:

в уравнение, получим:

20