Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим:

(C ± x) y = 2a2 .

Учитывая, что кривые проходят через точку (0,1) , найдем величину

C :

(C ± 0) 1 = 2a2 .

Следовательно, уравнение искомых кривых имеет вид:

(2a2 ± x) y = 2a 2 .

Пример 3. Сосуд емкостью 100 л наполнен рассолом, содержащим 10 кг растворенной соли. В одну минуту в него втекает 3 л воды и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же емкости, первоначально наполненный водой, из которого избыток жидкости выливается.

В какой момент времени количество соли в обоих сосудах будет одинаково?

81

Решение.

Пусть в момент времени t (мин) в первом сосуде содержится x (кг) соли, и пусть в последующий малый промежуток времени dt количество соли в этом сосуде уменьшается на dx .

За время dt из сосуда вытечет 3dt (л) рассола. Концентрация рассола (количество соли в одном литре раствора) в момент t будет

100x (кг/л). Если допустить, что в течение малого промежутка времени dt концентрация рассола оставалась неизменной, то за это время

количество соли уменьшится на − dx = 100x 3dt (так как dx < 0 ). Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя, получим:

общее решение которого равно:

82

y = e−0,03t (C1 + 0,3t).

Значение постоянной C1 = 0 определяем из начального условия: y = 0 при t = 0.

Следовательно, зависимость количества соли y во втором сосуде от времени t будет:

y = 0,3te−0,03t .

Искомый момент времени, в который количество соли в обоих сосудах будет одинаково, найдем, полагая x = y .

В этот момент в каждом сосуде будет по 10e ≈ 3,68 кг соли.

Пример 4. Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72 км/час. Через какое время и на каком расстоянии он будет остановлен тормозом, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса.

Решение.

Согласно второму закону Ньютона в механике, дифференциальное уравнение движения локомотива будет:

Из первого условия имеем C2 = 0 . Из второго условия следует,

что C1 = 20 .

Следовательно, уравнения движения локомотива будут:

83

Полагая t ≈ 10,2 в уравнении (4), найдем тормозной путь:

s ≈ 20 10,2 − 0,1 9,8 10,22 ≈ 102 (м) .

Задания, предлагаемые для аудиторного занятия Задача 1. Составить обыкновенное дифференциальное уравнение

первого порядка по условию задачи и решить его:

1.Найти кривые, у которых тангенс угла α между касательной и положительным направлением оси Ox равен кубу абсциссы точки касания. Построить интегральную кривую, проходящую через начало координат.

2.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый любой касательной к этой кривой на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки касания.

3.Точка массой m = 1 движется прямолинейно. На нее действует сила, пропорциональная произведению времени, прошедшего с начала движения, и скорости движения (коэффициенты пропорциональности равны единице). Найти скорость точки через 3 секунды после начала движения.

4.Пуля входит в доску толщиной h = 10 см со скоростью 200 м/с, вылетает из доски со скоростью 80 м/с. Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости, найти время движения пули через доску.

84

Индивидуальные задания Задача 1. Составить дифференциальное уравнение по условию

задачи:

1.Найти кривые, у которых тангенс угла α между касательной и положительным направлением оси Ox равен абсциссе точки касания. Выделить и построить кривую, проходящую через

начало координат.

2. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью v0 = 12 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен, и через 10 с скорость лодки уменьшилась до v1 = 6 км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 мин после остановки мотора.

3.Найти кривые, у которых тангенс угла α между касательной и положительным направлением оси Ox обратно пропорционален абсциссе точки касания. Построить кривую, проходящую через точку (e, 1) .

4.Пуля, двигаясь со скоростью v0 = 400 м/с, входит в толстую

стену. Сопротивление стены сообщает пуле отрицательное

скорость пули через 0,001 с после вхождения ее в стену.

5.Найти кривые, у которых тангенс угла α между касательной и положительным направлением оси Ox прямо пропорционален ординате точки касания. Построить кривую, проходящую через точку (0, 1) .

6.Материальная точка массы m = 1 без начальной скорости медленно погружается в жидкость. Найти путь, пройденный точкой за время t = 0,5 с, считая, что при медленном погружении

сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости погружения (коэффициент пропорциональности равен 2).

7. Найти уравнение кривой, проходящей через точку ( 10, 10 ) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси

85

абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Построить найденную кривую.

8. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью v0 = 9 км/ч. На полном ходу ее мотор был выключен, и через 20 с скорость лодки уменьшилась до 4,5 км/ч. Определить путь, пройденный лодкой за 1 мин (с момента выключения мотора).

9. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 4) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания. Построить кривую.

10.Точка массы m = 1 движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная квадрату времени, протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю (коэффициент пропорциональности равен 2). Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности равен 1). Найти зависимость пути от времени.

11. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3, 4) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен удвоенному модулю радиусавектора точки касания. Построить кривую.

12.Точка массы m = 1 движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная времени, протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю (коэффициент пропорциональности 2). Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности равен 3). Найти скорость в момент t = 3 c.

13. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (4, 4) и обладающей тем свойством, что отрезок любой касательной, заключенной между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам. Построить полученную кривую.

86

14.Точка массы m = 1 движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная времени, протекшему от момента, когда скорость равнялась нулю (коэффициент пропорциональности равен 3). Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности равен 2). Найти путь, пройденный телом за время t = 4 c.

20. Найти линию, проходящую через точку M 0 (6, 4) и обладающую

тем свойством, что в любой ее точке M нормальный вектор MN с концом на оси Oy имеет длину, равную a = 10, и образует острый угол с положительным направлением оси Oy . Построить найденную кривую.

21.Найти линию, проходящую через точку M 0 (2, −1) , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится

вточке пересечения с осью абсцисс в отношении a : b = 1:1 (считая от оси Oy ). Построить найденную линию.

22.Найти линию, проходящую через точку M 0 (−1, 1) , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится

вточке пересечения с осью абсцисс в отношении a : b = 3 :1 (считая от оси Oy ). Построить найденную линию.

23.Найти линию, проходящую через точку M 0 (1, −1) , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится

вточке пересечения с осью абсцисс в отношении a : b = 1: 3 (считая от оси Oy ). Построить найденную линию.

24.Найти линию, проходящую через точку M 0 (1, 2) , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится

вточке пересечения с осью абсцисс в отношении a : b = 2 :1 (считая от оси Oy ). Построить найденную линию.

25.Найти линию, проходящую через точку M 0 (2, 1) , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится

вточке пересечения с осью абсцисс в отношении a : b = 1: 2 (считая от оси Oy ). Построить найденную линию.

26.Найти линию, проходящую через точку M 0 (1, 2) и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный вектор MN с концом на оси Oy имеет проекцию на оси Oy , равную a = −1. Построить найденную линию.

27.Найти линию, проходящую через точку M 0 (1, 5) и обладающую

88

89

Заключение

Главная цель данного учебного пособия – познакомить студентов с основными типами дифференциальных уравнений, с методами интегрирования данных уравнений и простейшими способами исследования их решения, а также научить применять полученные знания на практике.

В книге основной упор делается не только на раскрытие теоретических основ данного курса, но и на непосредственное практическое применение. Обладание практическими навыками решения дифференциальных уравнений состоит из 2-х основных моментов:

1)умения правильно определить тип дифференциального уравнения;

2)применения соответствующего этому типу способа отыскания решения.

Учебное пособие состоит из введения, 5 частей, каждая их которых в зависимости от тематики разбита на несколько параграфов, заключения и библиографического списка. В начале каждого параграфа изложены основные определения и методы, необходимые для решения задач этого параграфа. Далее приводится достаточно подробное решение типовых задач, на которых иллюстрируются соответствующий метод. В конце каждого параграфа приведено большое количество заданий для аудиторных занятий, а также приведены индивидуальные домашние задания, при решении которых у студентов закрепляются полученные знания.

Благодаря методике изложения материала и акцентированию внимания на наиболее значимые моменты книга является доступной и полезной как для начинающего читателя, знакомого с математикой в объеме обычного вузовского курса высшей математики, так и читателя, уже знакомого с дифференциальными уравнениями.

Данное пособие рекомендуется студентам университетов, аспирантам и специалистам в области математики, изучающим дифференциальные уравнения. Пособие могут использовать в своей работе преподаватели и научные работники вузов.

90