Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие

Здесь:

3x2dx = d(x3 ) , 6xy( ydx + xdy) = 6xyd(xy) = d(3(xy)2 ) , 4y3dy = d( y4 ) .

Поэтому уравнение (26) можно записать в виде: d(x3 ) + d(3(xy)2 ) + d( y4 ) = 0

или

d(x3 + 3(xy)2 + y4 ) = 0 .

Следовательно,

x3 + 3x2 y2 + y4 = C

есть общий интеграл уравнения (2.26), а значит, и уравнения (2.25). Замечание. Непосредственное интегрирование (группировкой

членов) уравнения в полных дифференциалах затруднительно.

Пример 3. Решить уравнение (x + y − 1)dx + (x + y3 − 2)dy = 0 .

Решение.

Обозначим:

M (x, y) = x + y − 1, N(x, y) = x + y3 − 2.

Тогда:

Так как условие (2.17) выполнено, следовательно, заданное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Решим уравнение 2-ым способом. Левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y) , то есть получаем:

∂u = x + y − 1,

∂x

∂u = x + y3 − 2.

∂y

Проинтегрируем ∂∂ux по x , считая y постоянной:

41

Найдем произвольную функцию C( y) , продифференцируем последнее выражение по y :

Задания, предлагаемые для аудиторного занятия Задача 1. Найти общие интегралы следующих уравнений:

1.2xydx + (x2 − y2 )dy = 0.

2.(x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0 .

Задача 2. Решить задачу Коши:

1.(ex+ y + 3x2 )dx + (ex+ y + 4y3 )dy = 0 , y(0) = 0 .

2.(x2 + y2 + y)dx + (2xy + x + ey )dy = 0, y(0) = 0 .

Индивидуальные задания.

Задача 1. Решить уравнение:

1.(2 − 9xy2 )xdx + (4y2 − 6x3 ) ydy = 0.

2.e− y dx − (2y + xe− y )dy = 0.

3. 2x(1 + x2 − y)dx − x2 − ydy = 0 .

4.(1+ y2 sin 2x)dx − 2y cos2 xdy = 0 .

5.(6x2 − y + 3)dx + (3y2 − x − 2)dy = 0 .

6.xy dx + ( y3 + ln x)dy = 0 .

42

15.(10xy − 8y + 1)dx + (5x2 − 8x + 3)dy = 0 .

17.2x dx + y2 − 3x2 dy = 0 . y3 y4

18.(x2 + y2 + y)dx + (2xy + x + ey )dy = 0 .

19.(2x + y + 3x2 sin y)dx + (x + x3 cos y + 2 y)dy = 0 .

22.( y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0 .

24.(x2 + sin y)dx + (1+ x cos y)dy = 0 .

25.yex dx + ( y + ex )dy = 0 .

26.(ex sin y + x)dx + (ex cos y + y)dy = 0 .

29.(3x2 y + sin x)dx + (x3 − cos y)dy = 0.

44

ЧАСТЬ III ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

§ 1. Основные понятия и определения

Определение 1. Дифференциальным уравнением n -го порядка

называется уравнение вида:

F(x,ϕ (x),ϕ ′(x),ϕ ′′(x), ... ,ϕ (n) (x)) ≡ 0.

Определение 3. Задача Коши для дифференциального уравнения n -го порядка состоит в том, чтобы найти то решение этого

общим решением данного дифференциального уравнения n -го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных C1 , C2 , … , Cn эта функция обращается в решение любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.

Определение 5. Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных C1 , C2 , … , Cn (в частности всякое решение задачи Коши), называется частным решением данного уравнения (3.1).

Для выделения из множества решений дифференциального уравнения определенного частного решения иногда используют и так называемые краевые условия. Эти условия (число которых не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Очевидно, что краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.

Интегрирование дифференциальных уравнений n -го порядка

45

(в конечном виде) удается произвести только в некоторых частных случаях:

1.Если дифференциальное уравнение не содержит неизвестных функций и её производных до (n − 1) -порядка включительно, то есть уравнение вида y(n) = f (x) .

2.Если дифференциальное уравнение не содержит искомую функцию, то есть уравнение вида F(x, y(k ) , y(k +1) , ... , y(n) ) = 0 .

3.Если дифференциальное уравнение не содержит независимую переменную, то есть уравнение вида F( y, y′, y′′, ... , y(n) ) = 0 .

§2. Дифференциальные уравнения, не содержащие неизвестных функций и её производных до (n − 1) -порядка включительно

Данное дифференциальное уравнение имеет вид y(n) = f (x) , то

y(n−2) = ( f (x)dx + C1 )dx + C2 = ( f1 (x) + C1 )dx + C2 = f2 (x) + C1x + C2

…

Замечание. Решение дифференциального уравнения n -го порядка зависит от n произвольных постоянных C1 , C2 , … , Cn .

Пример 1. Найти общее решение уравнения y′′ = e5x + 3x .

Решение.

Данное уравнение является уравнением вида F (x, y′′) = 0 , то есть дифференциальным уравнением 2-ого порядка, допускающим понижение порядка.

46

Индивидуальные задания Задача 1. Решить задачу Коши:

9.y′′′ = 21x4 при условиях y(1) = 1, y′(1) = 1, y′′(1) = 0 .

10.y′′′ = 24x−4 при условиях y(1) = 1, y′(1) = 1, y′′(1) = 1.

13.y′′′ = 27sin 3x при условиях y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 0 .

14.y′′′ = 60x2 при условиях y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 30 .

15.y′′′ = 2x ln3 2 при условиях y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 0 .

16.y′′′ = 16sin 2x при условиях y(0) = 1, y′(0) = 0 , y′′(0) = 4 .

17. y′′′ = 27 cos 3x при условиях y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 3 .

18.y′′′ = 2x + cos x при условиях y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 1.

19.y′′′ = 1 + 8sin 2x при условиях y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 2 .

20.y′′′ = e− 2x при условиях y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = − 12 .

21.y′′′ = x2 − 27sin3x при условиях y(0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 1.

22.y′′′ = 8e−2x при условиях y(0) = 4 , y′(0) = 4 , y′′(0) = 4 .

23. y′′′ = 64 cos 4x при условиях y(0) = 1, y′(0) = −4 , y′′(0) = 2 .

24.y′′′ = 990x8 при условиях y(0) = 1, y′(0) = 3, y′′(0) = 2 .

25.y′′′ = 64sin 4x при условиях y(0) = 1, y′(0) = −4 , y′′(0) = 2 .

48

Пример 2. Решить уравнение 2xy′y′′ = ( y′)2 + 1.

Решение.

Вуравнение не входит y . Данное уравнение является

дифференциальным уравнением 2-ого порядка, допускающим понижение порядка. Обозначим y′ = z(x) . Тогда y′′ = z′(x) , и уравнение принимает вид:

2xzz′ = z2 + 1.

Это дифференциальное уравнение 1-ого порядка с разделяющимися переменными.