Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учебное пособие

Задача 4. Найти частное решение дифференциального уравнения y′′ + y = 4ex + 1, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 4 .

Индивидуальные задания Задача 1. Определите вид частных решений линейных

неоднородных дифференциальных уравнений:

1.a) y′′ − y′ − 2 y = xe2 x + (3x − 1)e− x + xsin 3x ;

b)y′′ − 4 y′ + 4 y = e−2 x sin x − (x + 1)e2 x + sin 3x ;

c)y′′ + 2 y′ + 2 y = xe− x sin x + x2ex + x cos x .

2.a) y′′ + 6 y′ + 9 y = xe−3x − (1 − 2x2 )e3x + x2 cos x ;

b)y′′ − 2 y′ + 2 y = x2ex + x2e3x + xex cos x ;

c)y′′ − 2 y′ − 3y = xe− x + x2e3x − xex cos x .

3.a) y′′ − 2 y′ − 8 y = x2e−2 x sin x + xsin 3x + xe−2 x ;

b)y′′ − 4 y′ + 5 y = e2 x sin x + x2e−2 x + x cos x ;

c)y′′ − 6 y′ + 9 y = xe3x − x2 cos x + xe−3x .

4.a) y′′ − 7 y′ + 6 y = e− x sin 2x + xe6 x + xsin x ;

b)y′′ + 8 y′ + 16 y = x2e−4 x + xe−4 x sin x + x2 cos x ;

c)y′′ + 8 y′ + 17 y = x2e−4 x + xe−4 x sin x + x2 cos x .

5.a) y′′ − 9 y′ + 8 y = ex + xsin 3x + 5cos x ;

b)y′′ − 4 y′ + 4 y = x2e2 x sin x + x2e2 x + cos 2x ;

c)y′′ − 2 y′ + 2 y = xex sin x + x2ex + cos 2x .

6.a) y′′ + 4 y′ + 4 y = xe−2 x + x2e−2 x sin x + cos 2x ;

b)y′′ + 4 y′ + 5 y = xe−2 x + x2e−2 x sin x + cos 2x ;

c)y′′ + 4 y′ + 3y = xe− x + x2e−2 x + e−2 x sin x .

7.a) y′′ − y′ − 2 y = xe−2 x + xe2 x − sin 3x ;

b)y′′ − 4 y′ + 4 y = 5e2 x − xe−2 x + sin 5x ;

c)y′′ − 4 y′ + 5 y = 5e2 x + 5e2 x sin x + cos x .

8.a) y′′ − 2 y′ − 15 y = xe−3x + e−5 x + xe−3x sin x ;

b)y′′ − 10 y′ + 25 y = xe−5 x + xe5 x + sin 5x :

71

c)y′′ − 10 y′ + 26 y = x2e−5 x + e5 x + xe5 x sin x .

9.a) y′′ − 8 y′ + 7 y = xe7 x − ex sin x + x2 ;

b)y′′ − 6 y′ + 9 y = xe3x + e−3x + xe3x cos x ;

c)y′′ − 6 y′ + 10 y = xe3x sin x + sin x + e−3x .

10.a) y′′ − y′ − 6 y = e3x sin x + x2e−2 x + xsin 3x ;

b)y′′ − 8 y′ + 16 y = e4 x sin x + xe4 x + sin 4x ;

c)y′′ − 8 y′ + 17 y = e4 x cos x + xe4 x + x2 .

11.a) y′′ − 5 y′ + 4 y = xex sin 2x + x + x2e4 x ;

b)y′′ + 8 y′ + 16 y = e4 x cos x + sin x + xe−4 x ;

c)y′′ − 10 y′ + 26 y = xe5 x sin x + x2e5 x − cos 2x .

12.a) y′′ − 4 y′ − 12 y = x2e6 x − sin 3x + e3x ;

b)y′′ − 2 y′ + y = xex + x3 + sin x ;

c)y′′ − 2 y′ + 2 y = xex + x3 + ex sin x .

13.a) y′′ − 5 y′ − 6 y = xe6 x + e− x sin x + x3 ;

b)y′′ + 4 y′ + 4 y = xex + e−2 x + xe−2 x sin x ;

c)y′′ + 4 y′ + 5 y = xex + e−2 x + xe−2 x sin x .

14.a) y′′ − 6 y′ + 5 y = e5 x − xe− x + cos 2x ;

b)y′′ + 8 y′ + 16 y = e−4 x + e−4 x sin x + x3 ;

c)y′′ + 8 y′ + 17 y = e−4 x + xe−4 x sin x + x3 .

15.a) y′′ − 7 y′ + 6 y = e6 x − xe2 x + sin 3x ;

b)y′′ − 8 y′ + 16 y = xe4 x + x2 + e4 x sin 2x ;

c)y′′ − 8 y′ + 20 y = xe4 x + x2 + e4 x cos 2x .

16.a) y′′ − 9 y′ + 8 y = xe8 x − e2 x + sin x ;

b)y′′ − 6 y′ + 9 y = xe3x + x2 − e3x sin 2x ;

c)y′′ − 6 y′ + 13 y = xe3x + x2 − e3x sin 2x .

17.a) y′′ − 3y′ − 10 y = xe−2 x + x2 − sin x ;

b)y′′ + 2 y′ + y = xe− x + e− x sin x + x cos x ;

c)y′′ + 2 y′ + 2 y = xe− x + e− x sin x + x2 .

72

18.a) y′′ + 2 y′ = xe−2 x + xe− x + sin x ;

b)y′′ + 2 y′ + y = xe−2 x + xe− x + sin x ;

c)y′′ + y = x2ex + x + sin x .

19.a) y′′ + 10 y′ + 25 y = 2e−5 x + xe− x − sin 2x ;

b)y′′ + 10 y′ + 26 y = xe−5x − xe−5x sin x + x2 ;

c)y′′ − 4 y′ + 3y = ex + e2 x sin x − cos 2x .

20.a) y′′ − y′ − 20 y = e5 x + x2 sin 2x + x3 ;

b)y′′ + 6 y′ + 9 y = xe−3x + x2 + e−3x sin 2x ;

c)y′′ + 6 y′ + 13y = xe−3x + x2 + e−3x cos 2x .

21.a) y′′ − 3y′ + 2 y = ex + cos 2x + x2e2 x sin 2x ;

b)y′′ − 6 y′ + 10 y = xe−3x + e3x sin x + x2 ;

c)y′′ − 6 y′ + 9 y = xe3x + x2e5 x + x2 .

22.a) y′′ + 5 y′ + 4 y = xe− x + x cos x + x3e− x sin x ;

b)y′′ − 10 y′ + 25 y = x2e−5 x + e5 x + sin 2x ;

c)y′′ − 8 y′ + 17 y = xe4 x sin x + e−4 x + cos x .

23.a) y′′ − 10 y′ + 9 y = xe9 x + sin 3x + xex sin x ;

b)y′′ − 2 y′ + y = xex + 5sin x + x2 ;

c)y′′ + y = ex + xsin x + x .

24.a) y′′ − 3y′ = x3 + xe3x + sin x ;

b)y′′ + 9 y = xsin 3x + x3 + xe3x ;

c)y′′ − 4 y′ + 4 y = xe−2 x + x2e2 x + sin x .

25.a) y′′ − 8 y′ = x2 + xe8 x + sin x ;

b)y′′ + 4 y = xsin 2x + x2 + e2 x ;

c)y′′ + 4 y′ + 4 y = xsin 2x + x2 + e−2 x .

26.a) y′′ − 3y′ = x2 + xe3x + x cos x ;

b)y′′ + 2 y′ + 10 y = x2 + e− x sin x + e3x ;

c)y′′ − 2 y′ + y = xex sin x + x + 2ex .

27.a) y′′ − 4 y′ = x + 5xe4 x + cos x ;

73

16.y′′ + y = 4ex , y(0) = 4 , y′(0) = 3.

19.y′′ + y = − cos3x , y(0) = 0 , y′(0) = 0 .

20.y′′ + y = 2sin x , y(0) = 1, y′(0) = 0 .

23.y′′ − y = cos 3x , y(0) = 1, y′(0) = 1 .

24.y′′ − 4 y′ = x2 , y(0) = 3, y′(0) = 0 .

25.y′′ + 3y′ = x2 , y(0) = 3, y′(0) = 1 .

§4. Решение систем двух линейных уравнений первого порядка

спостоянными коэффициентами

Определение 1. Система вида:

где a11 , a12 , a21 , a22 − постоянные числа, называется системой двух линейных дифференциальных уравнений с двумя неизвестными.

Метод решения: чтобы найти общее решение данной системы, необходимо указать такую пару функций:

которая при любых значениях произвольных постоянных C1 , C2 обращает систему (4.12) в верное функциональное равенство.

Покажем, что решение этой системы может быть сведено к решению линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (4.4), то есть к уравнению:

y′′ + py′ + qy = 0 .

Дифференцируя по t первое уравнение системы, получим

и подставляя это выражение в (4.14), получим уравнение:

y′′ − (a11 + a22 )y′ + (a11a22 − a12a21 )y = 0 ,

которое является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решая его так же, как и (4.4), найдем функцию:

y = ϕ (t,C1,C2 ) .

Вторую функцию из (4.13) можно найти по формуле (4.15).

Схема решения:

Пример 1. Найти общее решение системы уравнений:

dy = 2 y + x,dt

dx = 3y + 4x.

dt

76

Решение.

Дифференцируя первое уравнение системы по t , получим:

y′′ = 2 y′ + x′ .

Подставляя последовательно сюда x′ из второго уравнения системы и x из первого уравнения системы, будем иметь:

y′′ = 2 y′ + 3y + 4x y′′ = 2 y′ + 3y + 4( y′ − 2 y) .

Приводя в последнем равенстве подобные члены, получим дифференциальное уравнение:

y′′ − 6 y′ + 5 y = 0 .

Его характеристическое уравнение k 2 − 6k + 5 = 0 имеет два различных действительных корня k1 = 5 , k2 = 1.

Следовательно, решение дифференциального уравнения определяется формулой:

y = C1e5t + C2et .

Находим вторую функцию:

x = y′ − 2 y = 5C1e5t + C2et − 2(C1e5t + C2et )= 3C1e5t − C2et .

Задания, предлагаемые для аудиторного занятия Задача 1. Найти общие решения систем уравнений:

1.y′ = y − x,x′ = x − 4 y, .

2.y′ = 2 y + x,x′ = 4x − y, .

3.y′ = 3y − 2x,x′ = x + y.

77

ЧАСТЬ V РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задачи, решение которых приводится к интегрированию дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций, весьма разнообразны. В таких задачах ищется функция или зависимость между переменными величинами какого-либо физического, химического или технического процесса, уравнение (форма) линии или поверхности.

При решении этих задач вначале составляется дифференциальное уравнение задачи, которое затем решается тем или иным способом в зависимости от его типа.

Дифференциальное уравнение задачи составляется по ее условию, и в зависимости от условия задачи оно получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции.

При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между дифференциалами переменных можно делать различные допущения, упрощающие задачу и вместе с тем не отражающиеся на результатах. Так, например, подобно тому, как и при отыскании дифференциала неизвестной величины, здесь можно небольшой участок кривой считать прямолинейным, небольшой участок поверхности – плоским, в течение малого промежутка времени переменное движение можно рассматривать как равномерное, а всякий физический, химический или технический процесс – как протекающий с неизменной скоростью.

При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между производными используется геометрический, физический или механический смысл производной. Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в зависимости от ее условия, используются известные законы физики, химии, механики, других наук и различные математические сведения.

78

В физических задачах на составление дифференциальных уравнений, прежде всего, надо решить, какую из величин взять за независимую переменную, а какую – за искомую функцию. Затем найти физический закон, определяемый смыслом задачи, и вспомнить физический смысл первой или второй производной. Если

независимая переменная – время t , то dydt = v , где v – скорость изменения искомой величины y , а ускорение a = dvdt .

Связав скорость изменения искомой величины с данными задачи, получаем искомое дифференциальное уравнение. В большинстве физических задач содержатся условия, с помощью которых, решая задачу Коши, можно определить значения постоянных, входящих в общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1. Сила сопротивления воздуха при падении тела с парашютом пропорциональна квадрату скорости движения. Найти предельную скорость падения.

Решение.

Падение тела с парашютом происходит под действием силы

скорость падения тела. На основании второго закона Ньютона имеем:

с разделяющимися переменными, неизвестной является функция v. Его решение определяет закон изменения скорости падающего тела от времени t . Разделяя переменные в (1), получим:

Или после интегрирования:

Постоянную интегрирования C определим из условия, что падение тела происходит с нулевой начальной скоростью, то есть при t = 0 скорость v = 0 . Отсюда следует, что C = 0 .

Решая уравнение (5.2) относительно v, найдем:

дифференциального уравнения необходимо построить схематический чертеж, обозначить искомую кривую y = y(x) . Тогда − угловой коэффициент касательной, проведенной к искомой кривой в каждой

которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная a2 .

Решение.

Пусть точка M с координатами x , y принадлежит искомой кривой (рис. 1).

80