Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

, параметры. Сколько существует решений?

Решение (Вариант 1). Вначале найдем решение второго уравнения системы, удовлетворяющее второму краевому условию. Иными словами, нужно найти решение задачи Коши

>

: y2(1) = :

Уравнение является линейным однородным, а также относится к классу уравнений с разделяющимися переменными. Очевидно, его решение имеет вид

ãäå c2 произвольная константа. Из условия при t = 1 имеем

y2(t) = t5 :

Подставляя y2(t) в первое уравнение системы, получаем следую-

щее уравнение:

dy1 = 5y1 + : dt t

161

Это уравнение является линейным неоднородным и также относится к классу уравнений с разделяющимися переменными. Нетрудно выписать его решение

ãäå c1 произвольная константа. Проверим выполнение условия

lim y1(t) = :

t!1

Åñëè c1 ≠ 0, то функция y1(t) не является ограниченной. Поэтому

ноябрь 2020

Вариант 1. Найти все решения задачи

162

Вариант 2. Найти все решения задачи

и вычислить предел

lim y(t):

t!1 t2

Вариант 3. Найти все решения задачи

Вариант 4. Найти все решения задачи

и вычислить предел

lim y(t):

t!1 t2

Решение (Вариант 1). Укажем два способа решения задачи.

163

Способ 1. Введем функцию z(t) = y2(t). Тогда в новых переменных мы получаем уравнение

которое является линейным неоднородным уравнением. Его можно решить, например, используя метод вариации произвольной постоянной. Общее решение однородного уравнения

z′ = 2tz

имеет вид

zîäí(t) = ct2;

ãäå c произвольная константа. Тогда решение неоднородного уравнения можно искать в виде

z(t) = c(t)t2;

ãäå c(t) неизвестная функция. Подставляя c(t) в (4.57), получа- ем следующее уравнение:

c′ = 6t:

Очевидно,

c(t) = 3t2 + ec;

ãäå ec произвольная константа. Тогда общее решение уравнения

(4.57) имеет вид

z(t) = (3t2 + ec)t2:

Возвращаясь к y(t), находим две функции

√

y(t) = t 3t2 + ec;

164

которые удовлетворяют исходному уравнению. Поскольку для решения задачи Коши должно выполняться начальное условие

y(1) = 3, то выбираем функцию

√

y(t) = t 3t2 + ec;

причем ec = 6. Следовательно, решение задачи Коши имеет вид

Посчитаем предел

lim y(t):

t!1 t2

Очевидно,

Способ 2. Уравнение в нашей задаче определяется функцией

Заметим, что она является обобщенно однородной степени k (ñì. Ÿ 3.5, ï. 9), ò. å.

F (ct; cmu1; cm 1u2) = ckF (t; u1; u2); c ≠ 0;

ãäå m = 2 è k = 3. Введем новую функцию

y(t) y(t) v(t) = tm = t2 :

165

Тогда в новых переменных задача имеет вид

: v(1) = 3:

Заметим, что уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и может быть переписано в виде

Очевидно, что функции

p v(t) 3

являются частными решениями уравнения, однако они не удовлетворяют начальному условию. Найдем остальные решения уравнения. После разделения переменных и интегрирования имеем

Вычисляя интегралы, получаем

166

Возвращаясь к функции y(t), приходим к формуле (4.58). Следовательно, задача имеет единственное решение

√

y(t) = t 3t2 + 6;

причем

lim y(t) = p3:

t!1 t2

декабрь 2020

Вариант 1. Найти все решения задачи

8

< ty′ + 2y + yt46 = 0;

: y( 1) = 1

и указать интервал существования решения. Вариант 2. Найти все решения задачи

8

< ty′ + 3y + yt98 = 0;

: y( 1) = 2

и указать интервал существования решения. Вариант 3. Найти все решения задачи

8

< ty′ + 5y + yt1612 = 0;

: y( 1) = 3

и указать интервал существования решения.

167

Вариант 4. Найти все решения задачи

8

< ty′ + 4y + yt2510 = 0;

: y( 1) = 4

и указать интервал существования решения.

Решение (Вариант 1). Найдем все решения уравнения. Перепишем уравнение следующим образом:

tyy′ + 2y2 + t46 = 0:

Введем функцию z(t) = y2(t). Тогда в новых переменных уравне-

ние имеет вид

2t z′ + 2z + t46 = 0

Это линейное неоднородное уравнение, которое можно решить, например, используя метод вариации произвольной постоянной. Можно также заметить, что это уравнение является уравнением Эйлера и может быть сведено к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Однако это уравнение может быть решено другим способом. Домножив его на t3, получаем

Очевидно, оно может быть записано в виде

dtd (t4z) = t83 :

168

После интегрирования получаем

Теперь найдем интервал существования (a; b) решения y(t). Вначале обратимся к постановке задачи. Исходное уравнение определено при t ≠ 0 è y ≠ 0, а из начального условия y( 1) = 1 следует, что интегральная кривая

= f(t; y(t)) 2 R2; t 2 (a; b)g

проходит через точку ( 1; 1). Поэтому постановка задачи пред-

Теперь обратимся к виду решения (4.59). Вещественнозначная функция, заданная этой формулой, определена при

33

169

170