Обыкновенные дифференциальные уравнения в задачах. Учебное пособие

ГЛАВА 5.

Варианты вступительного экзамена в магистратуру

В настоящей главе содержатся все задачи по дифференциальным уравнениям из вариантов вступительного экзамена в магистратуру механико-математического факультета Новосибирского государственного университета с 1995 г. по 2018 г. Письменный вступительный экзамен в магистратуру с 2019 г. не проводится. Для каждого года дается подробное решение первого варианта.

1995

Вариант 1. Для системы

171

Вариант 3. Для системы

Решение (Вариант 1). Система дифференциальных уравне-

Исследование свойств ее решений существенно можно упростить, если вначале привести матрицу A к жордановой форме J. Î÷å-

видно, характеристическое уравнение для матрицы A имеет вид det(A I) = 3 + 2 + 1 = 0:

172

Один из корней этого уравнения легко находится 1 = 1. Тогда получаем

3 2 + 1 = ( + 1)( 2 2 + 1) = 0:

Отсюда находятся два других корня 2 = 3 = 1. Следовательно, собственные значения матрицы A найдены. Найдем теперь жор-

данов базис для A. Собственный вектор u1, соответствующий пер- вому собственному значению, находится из системы уравнений

(A + I)u1 = 0

или в развернутой записи

Поэтому можно взять, например,

Поскольку второе собственное значение является кратным, то вна-

равен 2. Поэтому dimKer (A I) = 1, и следовательно, кратному собственному значению 2 = 1 соответствует только один линейно независимый собственный вектор u2. В качестве u2 можно взять,

173

Присоединенным вектором, как легко видеть, является вектор

0 1

1

u3 = @ 1 A :

0

Действительно,

(A I)u3 = u2:

Следовательно, найденные векторы fu1; u2; u3g образуют жорданов базис для матрицы A. Тогда, используя матрицу

01

приведем матрицу A к жордановой форме

T1AT = J;

ãäå

В силу невырожденности построенной матрицы T все решения исходной системы (5.1) можно представить в виде

где вектор-функция v(t) является решением следующей системы дифференциальных уравнений

Общее решение этой системы легко находится и имеет вид

∫t

v(t) = etJ C + e(t s)J T 1f(s) ds; (5:4)

0

174

ãäå C = (C1; C2; C3)T произвольный вектор,

Отсюда, используя (5.2), получаем формулу общего решения исходной системы.

В силу (5.2) нахождение всех периодических решений системы (5.1) сводится к нахождению периодических решений системы (5.3), а также нахождение всех решений, ограниченных при

t ! , сводится к нахождению ограниченных при t ! решений системы (5.3). Поэтому можно, конечно, провести анализ формулы (5.4), однако, учитывая простую структуру матрицы J, гораздо проще выписать общее решение v(t) = (v1(t); v2(t); v3(t))T

системы (5.3), вычисляя каждую компоненту vj(t) отдельно. Действительно, поскольку

то систему (5.3) можно переписать следующим образом:

Ясно, что общее решение первого уравнения можно искать в виде v1(t) = a1e t + v1;÷àñò(t);

ãäå v1;÷àñò(t) частное решение этого уравнения. Очевидно, оно

имеет вид

v1;÷àñò(t) = b1eit:

175

Аналогичным образом находим общее решение третьего уравне-

Подставляя v3(t) во второе уравнение системы (5.5), получаем

дифференциальное уравнение для нахождения второй компоненты решения

Частное решение этого уравнения, очевидно, можно искать в виде v2;÷àñò(t) = c1tet + c2eit:

Подставляя в уравнение, получаем

Из формул (5.6) (5.8) вытекает общий вид ограниченных при t ! решений системы (5.3)

а также общий вид периодических решений

176

1996

Вариант 1. Найти все решения системы

Вариант 2. Найти все решения системы

Вариант 3. Найти все решения системы

Вариант 4. Найти все решения системы

177

Решение (Вариант 1). Запишем систему дифференциальных уравнений в следующем виде:

следует, что dimKer (A 2I) = 2, т. е. существуют два линейно

178

u3 образуют жорданов базис для матрицы A. Следовательно, мат-

22 2

приводит матрицу A к жордановой форме

T1AT = J;

ãäå

В силу невырожденности матрицы T все решения системы (5.9) можно представить в виде

y(t) = T v(t);

ãäå v(t) решение системы

179

Учитывая вид матрицы J, а также явное выражение

эту систему можно переписать в следующем виде:

>

>

>

:

Поскольку частное решение первого уравнения имеет вид

v1;÷àñò(t) = sin t;

то его общее решение дается формулой

Общее решение третьего уравнения имеет вид

Подставляя это выражение во второе уравнение, имеем

d2 p p dt2 v2 + 2v2 = b1 cos( 2t) b2 sin( 2t):

Поскольку характеристическое уравнение

2 + 2 = 0

180