Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Новосибирский государственный университет Механико-математический факультет

А. С. Панасенко

ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ:

КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Учебное пособие

Новосибирск

2024

Оглавление

3

4

13.Следствия пирсовского разложения для нескольких

13.1.Йордановы координаты при n ≥ 3 идемпотентах . . . 156

13.2.Пирсовские квадратичные формы в случае несколь-

5

Введение

Это учебное пособие представляет изложение так называемой «классической теории» йордановых алгебр. В нем последовательно излагаются основные классические методы: использование обратных элементов, изотопия и пирсовское разложение. Ознакомившись только с частью пособия, читатель, тем не менее, получит свою порцию методов теории неассоциативных алгебр, применяющихся в большинстве унитально замкнутых многообразий.

Материал этого пособия представляет собой, по большей части, вольный перевод второй части книги Кевина Маккриммона "Taste of Jordan Algebras" [1]. Эта потрясающая книга содержит лучшее (и единственное, за исключением сложной книги Н. Джекобсона) изложение классической теории. Часть материала, посвященная йордановости алгебры Алберта, основана на книге [4].

Основным результатом пособия является классическая структурная теорема, описывающая невырожденные йордановы алгебры конечной степени (в частности, невырожденные йордановы алгебры с условием минимальности на внутренние идеалы). Однако теорема не является самоцелью пособия (поскольку в подобном изложении теряется смысл, за исключением проверки верности доказательства). Цель этого пособия состоит в следующем: ознакомить читателя с классическими методами неассоциативных алгебр на примере многообразия йордановых алгебр.

Если после утверждения присутствуют слова Без доказательства, то доказательство утверждения опущено в силу его сильных внутренний отличий от общего изложения теории. К таким утверждениям относятся: теорема Макдональда 5.1, теорема Ширшова — Кона 5.3, предложение 6.8, принцип Пирса 12.11. Сюда же стоит отнести и теорему 14.4 об эрмитовых симметриях: доказательство первого пункта в нем также опущено.

6

Если после утверждения присутствует слово Доказательство, то доказательство изложено в полном объеме за исключением некоторых упражнений для читателя (обычно включающих в себя уже приводившиеся ранее действия или несложные вычисления), а также за исключением упомянутой теоремы 14.4.

Отсутствие каких-либо слов после утверждения не означает отсутствие его доказательства! Если после утверждения отсутствуют слова Без доказательства или Доказательство, то это означает, что утверждение непосредственно вытекает из слов, написанных перед формулировкой утверждения.

Большинство глав снабжены упражнениями. Те упражнения, которые не отмечены звездочкой, настоятельно рекомендуются к решению перед переходом к следующему материалу. В большинстве случаев они включают в себя либо простые действия, либо повторение уже приводившихся действий. Их вполне можно отложить напоследок, сперва разобравшись с основным текстом.

По материалу данного пособия был прочитан специальный курс "Йордановы алгебры" в учебном 2021–2022 году на ММФ НГУ.

Пособие рассчитано на студентов старших курсов и аспирантов. Строго говоря, для понимания материала достаточно знания первого семестра высшей алгебры в рамках [2], однако ряд идей проще понимается после повышения уровня математической культуры и чувства прекрасного на 1–3-х курсах.

Автор выражает благодарность рецензенту Александру Петровичу Пожидаеву за внимание к работе и ценные замечания, которые очень помогли улучшить качество текста. Также автор выражает благодарность Всеволоду Юрьевичу Губареву за помощь при подготовке текста.

7

Глава 1.

Линейные алгебры

В силу небольших временных ресурсов курс высшей алгебры нередко не затрагивает ряд ключевых сущностей, необходимых для дальнейшего изучения любого аспекта алгебры. С упорством, достойным лучшего применения, мы будем избегать всех понятий тензорного произведения, облегчающих жизнь, но требующих от читателя определенной подготовки или умения схватывать на лету прекрасную сущность страшных на первый взгляд понятий.

Другой сущностью, которая является настолько же базовым объектом для нашего курса, насколько таковым являются матрица и векторное пространство для курса линейной алгебры, является модуль над кольцом, естественное обобщение понятия векторного пространства над полем. В первом параграфе мы введем только краткий необходимый нам минимум информации по модулям, к тому же рассматривая их только над ассоциативным и коммутативным унитальным кольцом.

Опираясь на введенное определение модуля, мы определим линейную алгебру. Глава не содержит никаких утверждений, мы лишь вводим понятийный апарат, договариваемся об обозначениях.

1.1.Определение и примеры модулей

Определения кольца в разных источниках различаются. Для того чтобы проникнуться этим курсом, нам необходимо рассмотреть самое общее понятие.

8

Определение. Кольцом называется абелева группа R с биаддитивным отображением · : R × R → R, то есть

x · (y + z) = x · y + x · z,

(y + z) · x = y · x + z · x

для любых x, y, z R.

Для дальнейшего удобства нам следует ввести терминологию для кольца, над которым мы будем рассматривать все модули. По сути, эти кольца будут выступать аналогами скаляров в векторных пространствах, в связи с чем и возникает следующее понятие.

Определение. Кольцо Φ называется унитальным, если оно содержит единицу, то есть нейтральный элемент 1 такой, что 1·x = x · 1 = x для любого x Φ.

Определение. Кольцо Φ называется кольцом скаляров, если оно ассоциативно, коммутативно и унитально.

В дальнейшем под Φ всегда понимается кольцо скаляров. Над такими кольцами мы будем рассматривать аналоги векторных пространств.

Определение. Абелева группа M называется Φ-модулем, если каждой паре (a, x) Φ × M ставится в соответствие элемент ax M и выполняются следующие свойства:

1)(a + b)x = ax + bx для любых a, b Φ, x M,

2)a(x + y) = ax + ay для любых a Φ, x, y M,

3)a(bx) = (ab)x для любых a, b Φ, x M.

Модуль M называется унитальным, если выполнено свойство:

4) 1x = x для любого x M.

Под модулем всегда будем понимать унитальный модуль!

Примеры. 1) Если Φ — поле, то Φ-модуль — это в точности векторное пространство над полем Φ.

2)Пусть I — идеал кольца скаляров Φ. Тогда I и Φ/I являются Φ-модулями. В частности, само кольцо Φ является Φ-модулем.

3)Z-модули — это в точности абелевы группы. Zn-модули — это в точности абелевы группы периода n.

4)Пусть Φ = F [x]. Тогда Φ-модуль — это в точности векторное пространство над F, снабженное линейным оператором

9

f, которому соответствует элемент x, а его степеням соответствуют степени элемента x.

Φ-модуль является алгебраической системой, аналогичной векторному пространству. Введем очевидные, но все же необходимые понятия, связанные с отображениями модулей. Для лучшего понимания читателю рекомендуется всегда вспоминать случай, когда Φ — поле, а M — векторное пространство.

Определение. Пусть M, N — Φ-модули. Отображение f : M → N называется гомоморфизмом Φ-модулей, если f — гомоморфизм групп и f(ax) = af(x) для любых a Φ, x M. Если f биективно, то оно называется изоморфизмом Φ-модулей, а модули M и N называются изоморфными. Обозначение: M N.

Всюду далее обозначение U V означает, что U — подмножество в V (то есть допустима ситуация U = V ).

Определение. Пусть M — Φ-модуль. Подгруппа N группы M называется подмодулем, если ΦN N, т.е. для любых элементов x N и a Φ справедливо ax N. В этом случае группа M/N называется фактор-модулем, действие скалярами задается по правилу a(x + N) = ax + N.

Примеры. 1) У каждого модуля M есть как минимум два подмодуля 0 = {0} (называемый нулевым) и M.

2) Если x M, то можно определить однопорожденный подмодуль

Φx = {ax : a Φ}.

Фактор-модуль M/N является модулем относительно действия a(x+N) = ax+N. В силу очевидности всех свойств модуля необходимо проверить лишь корректность определенного действия. Пусть x + N = y + N. Тогда x − y N и ax − ay = a(x − y) N. Поэтому ax + N = ay + N и корректность доказана.

Заметим, что пересечение подмодулей снова является подмодулем.

Определение. Пусть N и K — подмодули M. Их суммой N +K называется множество N +K = {x+y : x N, y K}. Пусть I — некоторое множество индексов. Если {Mi}i I — семейство под-

P

M = xi S Axi, то говорят, что M порождается множеством S,

10