Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

2) Каждый элемент является корнем квадратного уравнения:

x2 − T (x)x + Q(x)c = 0.

3)Алгебра Jord(Q, c) йорданова.

4)Инволюция следа является инволюцией и эндоморфизмом алгебры Jord(Q, c).

5)U-оператор задается в терминах инволюции следа:

Uxy = Q(x, y)x − Q(x)y.

6)Норма Q допускает йорданову композицию:

Q(c) = 1, Q(Uxy) = Q(x)Q(y)Q(x).

7)Если Φ — поле и форма Q невырождена, то либо Jord(Q, c) — простая йорданова алгебра, либо Q изотропна и dim Jord(Q, c) = 2.

Доказательство. 1) В самом деле, по свойствам инволюции следа (предложение 2.2) T (c) = 2 и T (x) = Q(x, c), откуда вытекает:

x ◦ c = 12 (T (x)c + T (c)x − Q(x, c)c) = 12T (c)x = x.

Очевидно, что алгебра коммутативна, так что c ◦ x = x.

2) Непосредственно получаем:

x2 = 12(T (x)x + T (x)x − Q(x, x)c) = T (x)x − Q(x)c.

3)Вытекает из леммы о квадратичных коммутативных алгебрах (лемма 3.8).

4)В самом деле, по свойствам инволюции следа (предложение

2.2):

x ◦ y = 12(T (x)y + T (y)x − Q(x, y)c)) = 12(T (x)y + T (y)x − Q(x, y)c)).

Вто же время:

x ◦ y = 12(T (x)y + T (y)x − Q(x, y)c) = 12(T (x)y + T (y)x − Q(x, y)c).

51

Осталось доказать, что Q(x, y) = Q(x, y). Но в самом деле, по свойствам инволюции следа:

Q(x, y) = Q(x + y) −Q(x) −Q(y) = Q(x + y) −Q(x) −Q(y) = Q(x, y).

5) Заметим, что:

T (x)T (y)−Q(x, y) = Q(x, c)T (y)−Q(x, y) = Q(x, T (y)c)−Q(x, y) = = Q(x, T (y)c − y) = Q(x, y).

Теперь вычисляем:

Uxy = 2x ◦ (x ◦ y) − x2 ◦ y =

=x ◦ (T (x)y + T (y)x − Q(x, y)c) − (T (x)x − Q(x)c) ◦ y =

=T (x)x ◦ y + T (y)x2 − Q(x, y)x − T (x)x ◦ y + Q(x)y =

=T (y)x2 − Q(x, y)x + Q(x)y =

=T (y)(T (x)x − Q(x)c) − Q(x, y)x + Q(x)y =

=(T (x)T (y) − Q(x, y))x + Q(x)(y − T (y)c) = Q(x, y)x − Q(x)y.

6)Из свойств инволюции следа Q(c) = 12 Q(c, c) = 12 T (c) = 1. Из предыдущего пункта получаем:

Q(Uxy) = Q(Q(x, y)x − Q(x)y).

Далее, используя Q(a + b) = Q(a, b) + Q(a) + Q(b) и Q(y) = Q(y), получаем:

Q(Uxy) = Q(Q(x, y)x, −Q(x)y) + Q(Q(x, y)x) + Q(−Q(x)y) =

=−Q(x, y)Q(x)Q(x, y) + Q(x, y)2Q(x) + Q(x)2Q(y) =

=Q(x)Q(y)Q(x).

7)Пусть I Jord(Q, c) — собственный идеал, b I. Тогда

Q(b)1 = T (b)b − b2 I,

откуда Q(b) = 0. Пусть b ̸= 0. В силу невырожденности существует x Jord(Q, c) такой, что Q(x, b) ̸= 0. Можно считать, что Q(x, b) = 1 (при необходимости рассмотрев вместо x элемент x/Q(x, b)). Но тогда

1 = Q(x, b)1 = T (x)b + T (b)x − 2x ◦ b.

52

Если T (b) = 0, то получаем 1 = T (x)b − 2x ◦ b I, противоречие. Таким образом, ненулевые элементы из I имеют ненулевой след, то есть T — мономорфизм из I в поле Φ. В частности, dim I = 1.

Можно считать, что T (b) = 1 (при необходимости рассмотрев вместо b элемент b/T (b)). Получаем для y Jord(Q, c):

y − Q(y, b)1 = T (b)y − Q(y, b)1 = 2x ◦ b − T (y)b I.

Тем самым Jord(Q, c) I+Φ1 = Φb+Φ1. Таким образом, Jord(Q, c) двумерна и Q изотропна. Теорема доказана.

Как и обещали, предоставляем читателю определение той же алгебры на билинейном языке. Чисто мнемонически оно запоминается гораздо легче, потому что задается, по сути, скалярным произведением.

Пример. Пусть M — Φ-модуль с заданной на нем билинейной симметрической формой σ(·, ·). Тогда на J := Φ1 M определена структура Φ-алгебры с умножением

1 ◦ x = x ◦ 1 = x, v ◦ w = σ(v, w)1

для любых x J, v, w M. Полученная алгебра называется алгеброй билинейной формы и обозначается JSpin(M, σ). Обозначим c = 1 0 J и зададим на J квадратичную форму

Q(α1 v) = α2 − σ(v, v). Тогда

T (α1 v) = Q((α1 + 1) v) − Q(α1 v) − Q(1 0) =

=(α + 1)2 − σ(v, v) − α2 − σ(v, v) − 1 = 2α.

Вэтих обозначениях JSpin(M, σ) = Jord(Q, c). В самом деле, в алгебре JSpin(M, σ) квадрат вычисляется по правилу

(α1 v)2 = (α2 + σ(v, v))1 2αv.

В алгебре Jord(Q, c) квадрат вычисляется по теореме 3.9

(α1 v)2 = T (α1 v)(α1 v) − Q(α1 v)1 =

= 2α(α1 v) − (α2 − σ(v, v))1 = (α2 + σ(v, v))1 2αv.

Тем самым эти алгебры совпадают. В частности, JSpin(M, σ) йорданова и является простой, если σ невырожденна.

53

Справедливо и обратное построение. Пусть J = Jord(Q, c). По предложению 2.1 можно представить модуль в виде J = Φc M,

где T (x) = 0 для любого x M. На M задана билинейная форма

σ(x, y) = −12 (Q(x + y) − Q(x) − Q(y)) = −12 Q(x, y). Тогда в алгебре

JSpin(M, σ) квадрат вычисляется по правилу

(αc + x)2 = α2c + 2αx + σ(x, x)c = α2c + 2αx − Q(x)c.

Валгебре Jord(Q, c) квадрат вычисляется по теореме 3.9

(αc + x)2 = T (αc + x)(αc + x) − Q(αc + x)c =

=2α2c + 2αx + αT (x)c + T (x)x − α2Q(c)c − Q(x)c − αQ(x, c)c =

=α2c + 2αx − Q(x)c.

Таким образом, эти алгебры действительно изоморфны.

На самом деле алгебра квадратичной формы является специальной. Нам это никогда не понадобится. Однако абсолютно во всей литературе это утверждение приводится в качестве упражнения. Тем самым мы считаем своим долгом привести полное доказательство.

Пример. Пусть V — свободный модуль с базисом X = {xi}i и базой c V , и Q — квадратичная форма на V . Рассмотрим в унитальной алгебре B некоммутативных ассоциативных многочленов от переменных xi идеал I, порожденный элементами вида v2 − Q(v)1 по всем v V . Рассмотрим фактор-алгебру A = B/I. Эта алгебра называется алгеброй Клиффорда квадратичной формы Q.

Алгебра A содержит подпространство V Φ1, квадраты на V заданы по правилу v · v = Q(v)1. Рассмотрим алгебру A+. Она тоже содержит подпространство V Φ1, квадрат на котором задан по правилу (α1+v)2 = Q(v)1+α21+2αv. Осталось заметить, что это умножение совпадает с умножением в JSpin(M, σ) при σ(x, y) = 12 Q(x, y). Таким образом, алгебра JSpin(M, σ) вкладывается в A+ и является специальной йордановой алгеброй. В частности, алгебра квадратичной формы специальна.

Теорема 3.10 (о специальности фактора). Алгебра квадратичной формы специальна.

54

3.5.Редуцированная алгебра билинейной (квадратичной) формы

У алгебры квадратичной (билинейной) формы есть интуитивно понятное умножение. Однако при размерности алгебры не выше 2 умножение начинает вести себя не лучшим образом. Суть этих странностей выражена в 7 пункте теоремы 3.9. Чтобы избавиться от этого, а заодно создать естественную конструкцию, которая очень пригодится нам при описании простых алгебр степени 2, введем следующую алгебру.

Пример. Пусть M — Φ-модуль с заданной на нем билинейной симметрической формой σ(·, ·). Рассмотрим алгебру Φe1 M Φe2 с коммутативным умножением:

1

1 := e1 + e2, ei ◦ ej := δijei, ei ◦ w := 2w, w ◦ z := σ(w, z)1

для w, z M, где δij = 0 при i ̸= j и δii = 1. На языке квадратичной формы q(x) = σ(x, x) и ее линеаризации q(x, y) = q(x + y) − q(x) − q(y) = 2σ(x, y) квадрат и произведение в алгебре RedSpin(q) = Φe1 M Φe2 выражаются следующим образом (α, β, γ, δ Φ, w, z M):

(α, w, β)2 := (α2 + q(w), (α + β)w, β2 + q(w)),

(α, w, β) ◦ (γ, z, δ) :=

:= 12 (2αγ + q(w, z), (α + β)z + (γ + δ)w, 2βδ + q(w, z)) .

Осталось убедиться, что эта алгебра совпадает с обычной алгеброй билинейной (квадратичной) формы на подходящем модуле.

Теорема 3.11 (о редуцированной алгебре квадратичной формы). Пусть M — Φ-модуль с заданной на нем квадратичной формой q. Рассмотрим координаты в модуле Φ M Φ. Справедливо

JSpin(M, σ) = Φ1 M JSpin(M′, σ′) =

= Φ1 (Φv M) = RedSpin(q) = Φe1 M Φe2,

55

Кроме того,

RedSpin(q) = Jord(Q, c),

причем форма, след, инволюция и база вычисляются по следующим формулам:

Q((α, w, β)) = αβ − q(w), c := (1, 0, 1),

T ((α, w, β)) := α + β, (α, w, β) := (β, −w, α). U-оператор вычисляется по следующим правилам

U(α,w,β)(γ, z, δ) := (ε, y, η),

где

ε:= α2γ + αq(w, z) + q(w)δ,

η:= β2δ + βq(w, z) + q(w)γ,

y := (αγ + βδ + q(w, z))w + (αβ − q(w))z.

Доказательство. Поскольку коммутативное произведение целиком восстанавливается из квадратов, достаточно проверить совпадение квадратов. В алгебре RedSpin(q)

(α, w, β)2 := (α2 + q(w), (α + β)w, β2 + q(w)).

В алгебре JSpin(M′, σ′)

(α, w, β) = α +2 β 1 + α −2 β v + w.

Тогда

56

Сдругой стороны:

(α +2 β 1 + α −2 β v + w)2 =

=(α + β)2 1 + σ′(α − β v + w, α − β v + w) + 2α2 − β2 v + 2α + β w = 4 2 2 4 2

c′ = 1 = (1, 0, 1) = c.

Таким образом,

RedSpin(q) = JSpin(M′, σ′) = Jord(Q, c) = Jord(Q′, c′).

Вычисление квадратичного оператора остается в качестве упражнения. Теорема доказана.

Упражнение 3.F. В алгебре RedSpin(q) U-оператор вычисляется по следующим правилам:

U(α,w,β)(γ, z, δ) := (ε, y, η),

где

ε:= α2γ + αq(w, z) + q(w)δ,

η:= β2δ + βq(w, z) + q(w)γ,

y := (αγ + βδ + q(w, z))w + (αβ − q(w))z.

57

3.6.Алгебра Алберта

Создавая специальные алгебры, мы не уходим далеко от классического ассоциативного случая. Однако йордановы алгебры дают нам пространство для маневра. Совсем небольшое, но имеющее удивительные приложения ко многим областям математики (в том числе к неоднократно упомянутым в этой книге алгебрам Ли). Объект, о котором идет речь, введен Йорданом, фон Нейманом и Вигнером, однако огромный вклад в его изучение (в частности, речь о доказательстве исключительности) внес Алберт.

Всюду далее мы будем работать с произвольной альтернативной алгеброй, удовлетворяющей некоторым условиям. Как мы выясним позднее, если добавить условие невырожденности, то это условие «произвольности» алгебры напоминает «произвольное простое четное число». Все такие алгебры будут ассоциативны, за исключением октонионов.

Пусть D — унитальная альтернативная алгебра с ядерной инволюцией x → x. Тогда на алгебре Mn(D) определена инволюция

X = XT . Рассмотрим множество эрмитовых матриц

Hn(D) = {X Mn(D) | X = X}.

Для произвольной алгебры A введем обозначение

(a, b, c)+ = (a ◦ b) ◦ c − a ◦ (b ◦ c),

где x ◦ y = 12 (xy + yx), то есть (a, b, c)+ — это ассоциатор в алгебре

A+.

Пришло время поработать с ассоциаторами. Наслаждайтесь, пока можете: в теории йордановых алгебр нормальной возможности поработать с красивыми тождествами не будет. Впрочем, начнем со вспомогательного и очевидного утверждения.

Предложение 3.12 (об ассоциаторе йорданова произведения). Пусть A — произвольная алгебра и a, b, c A. Тогда

4(a, b, c)+ =

= (a, b, c) −(c, b, a) + (b, a, c) −(c, a, b) + (a, c, b) −(b, c, a) + [b, [a, c]].

Доказывается раскрытием всех ассоциаторов и коммутаторов в обеих частях равенства.

58

Упражнение 3.G. Доказать предложение 3.12.

Главное в полученном тождестве то, что ассоциатор в специальной йордановой алгебре выражается (на ассоциативном языке) через ассоциаторы и странное последнее слагаемое. Теперь докажем ключевые тождества альтернативных алгебр.

Лемма 3.13 (тождества Муфанг). В любой альтернативной алгебре справедливы правое, левое и центральное тождества Муфанг:

x(yzy) = ((xy)z)y,

(yzy)x = y(z(yx)),

(xy)(zx) = x(yz)x.

Доказательство. Сперва заметим, что (x2, y, x) = 0. В самом деле,

(x2y)x = (x(xy))x = x((xy)x) = x(x(yx)) = x2(yx).

Заменим в (x2, y, x) = 0 элемент x на x + λz. Получим:

(x2 + λxz + λzx + λ2z2, y, x + λz) = 0,

что немедленно переписывается в виде

λ2[(xz + zx, y, z) + (z2, y, x)] + λ[(xz + zx, y, x) + (x2, y, z)] = 0.

Подставляя λ = 1, λ = −1 и вычитая одно из другого, получаем

0= (xz + zx, y, z) + (z2, y, x) = (xz, y, z) + (z, zx, y) − (z2, x, y) =

=(xz, y, z) + (z(zx))y − z((zx)y) − (z2x)y + z2(xy) =

=(xz, y, z) − z((zx)y) + z2(xy),

откуда

(xz, y, z) = z[(zx)y − z(xy)] = z(z, x, y).

Из этого равенства можно получить все остальное. Справедливо равенство y(y, z, x) = (zy, x, y). Левое тождество Муфанг:

y(z(yx)) − (yzy)x = y[(zy)x − (z, y, x)] − [(y, zy, x) + y((zy)x)] =

= y(y, z, x) − (zy, x, y) = 0.

59

Правое тождество Муфанг получается аналогично. Центральное тождество Муфанг:

(xy)(zx) − x(yz)x = −(xy, z, x) + (x, y, z)x = (z, xy, x) + (z, x, y)x = = [z(xy)]x − z(xyx) + [(zx)y]x − [z(xy)]x = 0.

Лемма доказана.

Упражнение 3.H. Справедливо правое тождество Муфанг.

Предложение 3.14 (о коммутаторе ассоциатора). В любой альтернативной алгебре справедливо тождество

[(a, b, c), d] = (ab, c, d) + (bc, a, d) + (ca, b, d).

Доказательство. Линеаризация центрального тождества Муфанг дает

(ca)(bd) + (da)(bc) = [c(ab)]d + [d(ab)]c.

Тогда

d(a, b, c) = d[(ab)c] − d[a(bc)] = −(d, ab, c) + [d(ab)]c − d[a(bc)] = = −(d, ab, c) + [d(ab)]c + (d, a, bc) − (da)(bc) =

(в силу линеаризации центрального тождества Муфанг)

=−(ab, c, d) − (bc, a, d) − [c(ab)]d + (ca)(bd) =

=−(ab, c, d) − (bc, a, d) + (c, a, b)d − [(ca)b]d + (ca)(bd) =

=−(ab, c, d) − (bc, a, d) + (c, a, b)d − (ca, b, d).

Предложение доказано.

Поскольку a+a N(A), то в альтернативной алгебре с ядерной инволюцией

(a, b, c) = −(a, b, c) = −(a, b, c) = −(a, b, c).

В то же время

(a, b, c) = −(c, b, a) = (c, b, a) = −(a, b, c).

Матрицы с альтернативными компонентами — одно из самых прекрасных явлений в математике. Давайте изучим, что находится на обратной стороне Луны.

60