Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Упражнение 7.J. В алгебре квадратичной формы Jord(Q, c) элемент x имеет тип 0 (т.е. удовлетворяет T (x) = Q(x) = 0) тогда и только тогда, когда x нильпотентен. В частности, алгебра квадратичной невырожденной формы над полем вполне может содержать нильпотентные элементы.

Упражнение 7.K. В алгебре квадратичной формы Jord(Q, c) элемент x имеет тип 2 (т.е. удовлетворяет T (x) = 2, Q(x) = 1) тогда и только тогда, когда x = 1 + z для нильпотентного z Jord(Q, c).

Особо выделяется редуцированная алгебра квадратичной формы. Она идет в комплекте с готовым пирсовским разложением. Это то, ради чего она создана.

Следствие 7.9 (пирсовское разложение редуцированной алгебры квадратичной формы). Пирсовское разложение редуцированной алгебры квадратичной формы RedSpin(q) = Φe1 M Φe2 совпадает с естественным разложением для e = ei, e′ = e3−i :

RedSpin(q) = J2 J1 J0,

где J2 = Φe, J1 = M, J0 = Φe′.

Поскольку это элементарная проверка, то она оставляется в качестве упражнения:

Упражнение 7.L. Пирсовское разложение редуцированной алгебры квадратичной формы совпадает с естественным разложением.

Длинными вычислениями с применением леммы 3.7 доказывается следующее утверждение. Читателю предлагается разобраться самостоятельно.

Теорема 7.10 (пирсовское разложение алгебры Алберта). Пусть J = H3(C), где C — композиционная алгебра размерности 2n (n = 0, 1, 2, 3) с нормой n(x) = xx = xx Φ1. Тогда пирсовские подпространства относительно идемпотента e = 1[11] определяются следующим образом:

111

Упражнение 7.M. Пирсовское разложение алгебры Алберта имеет представленный выше вид.

7.4.Принцип Пирса

Утверждение, которое мы хотим сформулировать, является локальной пирсовской версией операторных теорем Макдональда и Ширшова — Кона. Собственно, из них оно и вытекает.

Лемма 7.11. Пусть J — йорданова алгебра, e J — идемпотент и xi Ji(e). Тогда x0, x1, x2 лежат в специальной подалгебре B алгебры J, содержащей элемент e. Если fα, α I, и f — неассоциативные полиномы и fα(e, x2, x1, x0) = 0 влечет f(e, x2, x1, x0) = 0 для всех α I, для всех xi Ji(e) и для всех специальных алгебр, то это верно и для всех йордановых алгебр. Иными словами, если fα(e, a11, a10 + a01, a00) = 0 влечет f(e, a11, a10 + a01, a00) = 0

во всех унитальных ассоциативных алгебрах для всех aij Aij(e), то это верно и для всех йордановых алгебр.

Доказательство. В самом деле, рассмотрим подалгебру B, порожденную e и x = x0 + x1 + x2. Тогда x2 = E2(x) = Uex, x1 = E1(x) = Ue,1−ex, x0 = E0(x) = U1−ex. Таким образом, xi B по следствию 7.2. По теореме Ширшова — Кона B H(A, ) — специальная йорданова алгебра. По предложению 7.6 о пирсовском разложении эрмитовой алгебры мы можем записать x2 = a11, x1 = a10 + a01, x0 = a00, где aij Aij. Тогда f(e, a11, a10 + a01, a00) = 0 в

A, откуда f(e, x2, x1, x0) = 0 в B, а значит и в J. Лемма доказана.

В качестве прямого следствия получаем следующее утверждение.

112

Теорема 7.12 (принцип Пирса). Пусть f — неасссоциативный полином. Тогда любое пирсовское тождество f(e, x2, x1, x0) зануляется на всех йордановых алгебрах J с идемпотентом e и xi Ei(e), если равенство

f(e, a11, a10 + a01, a00) = 0

выполнено для всех пирсовских элементов aij Aij для всех ассоциативных алгебр A.

Этот чудесный принцип (красоты которого пока, возможно, не видно) позволит нам обойти ряд сложных вопросов пирсовских разложений, сводя все к ассоциативным вычислениям.

113

Глава 8.

Внедиагональные правила умножения

Основной трудностью в понимании пирсовского разложения является умножение внедиагональной компоненты на диагональную. Именно с этим мы и разберемся в этой главе.

На протяжении этой главы мы фиксируем пирсовское разложение

J = J2 J1 J0

относительно идемпотента e J.

Чтобы различать диагональные и внедиагональные элементы, будем использовать буквы ai, bi, ci с индексами i = 0, 2, j = 2−i для обозначения диагональных элементов; будем использовать буквы x1, y1, z1 с индексом 1 для обозначения внедиагональных элементов.

8.1.Пирсовские специализации

Действия диагональных элементов на диагональные умножениями очень «ассоциативны». Давайте разберемся, что же эта фраза означает.

Определение. Специализацией йордановой алгебры J называется любой гомоморфизм J → A+ этой йордановой алгебры в полную йорданову алгебру для некоторой ассоциативной алгебры A. В частности, алгебра J специальна у J есть инъективная специализация.

114

Предложение 8.1 (о пирсовской специализации). Пусть

ai Ji, i = 2, 0, и σi(ai) := Vai |J1 . Тогда σi — специализация Ji. Эти специализации удовлетворяют следующим правилам:

σi(a2i ) = σi(ai)2, σi(Uai bi) = σi(ai)σi(bi)σi(ai),

σ2(e) = IdJ1 , σi(ai)σi(bi) = Vai,bi |J1 .

Доказательство. В силу теоремы 7.4 о пирсовском умножении {Ji, J1} J1. Таким образом, можно определить линейные отображения σi : Ji → EndΦJ1 как ограничения скобочного умножения. По формуле тройного переключения:

Vai,bi |J1 − σi(ai)σi(bi) = Vai,bi |J1 − Vai Vbi = −Uai,bi |J1 .

По формулам специализации

σi(Uai bi) − σi(ai)σi(bi)σi(ai) = VUai bi |J1 − Vai Vbi Vai |J1 =

= −Vbi Uai |J1 − Vai Uai,bi |J1 .

По теореме о пирсовском умножении UJi J1 = 0, так что все операторы выше зануляются на J1. Предложение доказано.

Упражнение 8.A.

σ2(e) = IdJ1 .

Определение. Операторы σi : Ji → EndΦJ1, такие что

σi(ai) := Vai |J1 ,

будем называть пирсовскими специализациями. Иногда будем использовать краткое обозначение σ(ai). Можно рассматривать σ как линейное отображение:

σ : J2 + J0 → EndΦJ1.

Однако это отображение не будет гомоморфизмом: далее мы увидим, что σ(a2)σ(a0) = Ua2,a0 ̸= 0, например, для J = M2(D)+, a2 = e = E11, a0 = 1 − e = E22:

UE11,E22 E12 = E11E12E22 + E22E12E11 = E12 ̸= 0.

115

Специализация особенно хороша, если она инъективна: в этом случае алгебра специальна. Легко получить одно достаточное условие этой инъективности.

Лемма 8.2 (о пирсовской инъективности). Если Uy1 инъективен на алгебре J то из σ(ai)y1 = 0 вытекает ai = 0. Иными словами, инъективный U-оператор в J1 обеспечивает инъективность обеих пирсовских специализаций.

Доказательство. Если {ai, y1} = 0, то по теореме 7.4 о пирсовском умножении имеем

2Uy1 ai = {y1, {y1, a1}} − {y12, ai} = −{y12, ai} {J2 + J0, ai} Ji.

Но Uy1 ai J2−i по той же теореме. Таким образом, Uy1 ai = 0 и ai = 0 в силу инъективности Uy1 . Лемма доказана.

Упражнение 8.B. Если в J1 найдется обратимый элемент, то обе пирсовские специализации инъективны.

Еще несложно доказать, что на простых алгебрах диагональные компоненты специальны.

Предложение 8.3 (о специализациях простых алгебр).

Пусть J — простая алгебра и e ̸= 0, 1. Тогда обе пирсовские специализации инъективны.

Доказательство. Рассмотрим Ki = Ker(σi). Это идеалы в Ji, {Ki, Ji} Ki, причем {Ki, J1} = 0 по определению. Заметим, что {Ki, J2−i} = 0, так что {Ki, J} Ki. Итак, Ki является идеалом в J. Если Ki = J, то Ji = J. Но если J = J2, то e = 1, противоречие. Если J = J0, то e = 0, противоречие. Таким образом, Ki = 0 и предложение доказано.

Упражнение 8.C. В простой йордановой алгебре собственные идемпотенты специальны в том смысле, что соответствующие пирсовские подалгебры Ji(e) специальны.

Напомним, что LxRy = RyLx — это определение ассоциативной алгебры. Таким образом, перестановочность некоторых операторов умножения приводит к ассоциативности алгебры. Это должно помочь понять название и суть следующего утверждения.

Предложение 8.4 (о пирсовской ассоциативности). Пирсовские специализации σi коммутируют:

σ(a2)σ(a0) = σ(a0)σ(a2) = Ua2,a0 .

116

Иными словами, выполнены следующие соотношения:

1

(a2, x1, a0) = 0, (a2 ◦ x1) ◦ a0 = a2 ◦ (x1 ◦ a0) = 4{a2, x1, a0}.

Доказательство. Утверждение вовлекает только x1 J1, a2 J2, a0 J0, так что применим принцип Пирса 7.12. Остается проверить утверждение на ассоциативной алгебре A: пусть x1 = a10 +a01, a2 = a11, a0 = a00. Тогда в силу того, что AijAkl δjkAil, получаем:

{a11, {a10 +a01, a00}} = {a11, a00a01 +a10a00} = a11a10a00 +a00a01a11.

Аналогично

{{a11, a10 + a01}, a00} = a11a10a00 + a00a01a11.

Предложение доказано.

Упражнение 8.D. В предыдущем доказательстве имеет место

{{a11, a10 + a01}, a00} = a11a10a00 + a00a01a11.

8.2.Пирсовские квадратичные формы

Квадрат внедиагонального элемента x1 становится диагональ-

ным:

x21 = Ux1 1 = Ux1 e0 + Ux1 e2 J2 J0.

Вторую и нулевую компоненту полезно разделять. Определим квадратичные отображения qi : J1 → Ji, i = 2, 0, как проектирования квадрата внедиагонального элемента на одно из диагональных пространств:

qi(x1) = Ei(x21), qi(x1, y1) = Ei({x1, y1}).

Определение. Будем называть отображения qi пирсовскими квадратичными формами.

Пример. Если J = RedSpin(q) = Φe2 M Φe0, то qi(w) = q(w)ei, где q(w) Φ.

117

Предложение 8.5 (q-свойства). 1) Справедливо альтернативное выражение для q:

qi(x1) = Ux1 ej.

2) Справедливо восстановление куба:

x31 = {qi(x1), x1}, qi(x1)2 = Ux1 (qj(x1)).

3) Справедливы правила q-композиции:

qi({ai, x1}) = Uai (qi(x1)),

qi({ai, x1}, x1) = Vai (qi(x1)), qi({aj, x1}) = Ux1 (a2j ).

Доказательство. Применяем принцип Пирса 7.12. Остается доказать эти формулы для ассоциативных алгебр A. Можно считать алгебру A унитальной (иначе перейти к унитальной обертывающей). Тем самым, индексы i и j симметричны. Пусть x1 = a10 + a01. Тогда q2(x1) = a10a01, q0(x1) = a01a10. Получаем альтернативное выражение для q:

Ux1 e0 = x1e0x1 = a10a01 = q2(x1).

Восстановление куба:

x31 = (a10 + a01)3 = a10a01a10 + a01a10a01 =

= (a10a01)(a10 + a01) + (a10 + a01)(a10a01) = q2(x1)x1 + x1q2(x1).

Квадрат квадрата:

q2(x1)2 = (a10a01)(a10a01) =

= (a01 + a10)(a01)(a10)(a01 + a10) = x1q0(x1)x1.

Первое правило q-композиции:

q2({a11, x1}) = q2(a11a10 + a01a11) = (a11a10)(a01a11) = Ua11 q2(x1).

Второе правило q-композиции является линеаризацией первого по ai с подстановкой ei вместо новой переменной.

Третье правило q-композиции:

q2({a00, x1}) = q2(a00a01 + a10a00) = (a10a00)(a00a01) =

118

= (a10 + a01)(a200)(a10 + a01) = Ux1 (a200).

Предложение доказано.

Попробуем линеаризовать формулу восстановления куба. Поскольку мы не разбирались подробно с линеаризациями кубических формул, то проделаем это честным образом. Впрочем, доказательство отдаленно похоже на линеаризацию 3.1.

Лемма 8.6 (линеаризация куба). Справедливо равенство

Ux1 (y1) + {x1, x1, y1} = {q2(x1), y1} + {q2(x1, y1), x1}.

Доказательство. Рассмотрим восстановление куба 8.5 x31 = {qi(x1), x1}. Представим его в виде

Ux1,x1 (x1) = {qi(x1, x1), x1}.

Подставим вместо x1 выражение x1 + αy1, игнорируя третью и нулевую степени по α (они сокращаются в силу тождества выше):

α2(2Ux1,y1 (y1) + Uy1,y1 (x1)) + α(2Ux1,y1 (x1) + Ux1,x1 (y1)) =

=α2(2{qi(x1, y1), y1} + {qi(y1, y1), x1})+

+α(2{qi(x1, y1), x1} + {qi(x1, x1), y1}).

Берем α = 1, α = −1, вычитаем полученные равенства и получаем:

2Ux1 (y1) + 2Ux1,y1 (x1) = 2{qi(x1), y1} + 2{qi(x1, y1), x1}.

Лемма доказана.

Упражнение 8.E. Нулевая и третья степень действительно сокращаются.

Билинейный оператор умножения выражается через квадрат. Однако ряд формул завязан на U-операторе. На самом деле U- оператор тоже выражается через проекции квадрата.

Предложение 8.7 (связь U-оператора с квадратичной формой). Оператор Ux1 может быть выражен через q :

Ux1 (ai) = qj(x1, ai ◦ x1),

Ux1 (y1) = {qi(x1, y1), x1} − {qj(x1), y1}, {x1, ai, z1} = qj({x1, ai}, z1) = qj(x1, {ai, z1}).

119

Доказательство. Первое правило вытекает из принципа Пирса, как в предложении 8.5. Для доказательства второго правила воспользуемся линеаризацией куба 8.6:

Ux1 (y1) + {x1, x1, y1} = {q2(x1), y1} + {q2(x1, y1), x1}.

Следовательно, по тождеству тройного сдвига (при y = 1):

Ux1 (y1) = {q2(x1, y1), x1} + {q2(x1) − x21, y1}.

Третье является линеаризацией второго по x1 в силу симметрии тройного произведения по первому и третьему аргументам. Предложение доказано.

Упражнение 8.F. Справедливо

Ux1 (ai) = qj(x1, ai ◦ x1).

Определим радикал пирсовской квадратичной формы:

Rad(qi) = {z1 J1|qi(z1, J1) = 0}.

Предложение 8.8 (q-невырожденность). 1) Если z1 J1

принадлежит обоим радикалам Rad(qi), то он тривиален:

q0(z1, J1) = q2(z1, J1) = 0 −→ Uz1 (Jb) = 0.

2) Если алгебра J невырождена, то пирсовские квадратичные формы невырождены, то есть Rad(qi) = 0.

Доказательство. 1) В самом деле, по связи квадратичной формы с U-оператором 8.7 получаем

Uz1 J1 {qi(z1, J1), z1} + {qj(z1), J1} = 0,

Uz1 Ji qj(z1, Ji ◦ z1) qj(z1, J1) = 0.

2) Пусть z Rad(qi). Тогда

Uz(Jbj) = qi(z, Jbj ◦ z) qi(z, J1) = 0.

Пусть bj = Uz(ˆai) Jj. Тогда в силу теоремы 7.4:

Ubj (Jb) = Ubj (Jbj) = UzUaˆi Uz(Jbj) = UzUaˆi (0) = 0.

120