К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей. Учебно-методическое пособие

3

Содержание

Определения, обозначения, сокращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Множества и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Меры и интегралы. Вероятность. Случайная величина . . . . . . . . . . 7

Глава 2. Независимость измеримой функции от меры и случайной величины от вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Глава 3. Примеры описания реальных случайных экспериментов на языке аксиоматики теории вероятностей . . . . . . 30 § 3.1. Вероятностная модель колоды из 36 игральных карт . . . . . 31 § 3.2. Вероятностная модель лотереи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 § 3.3. Вероятностная модель анизотропного рассеяния . . . . . . . . . 34

4

А.1. Аксиоматический метод и «неопределяемые» понятия. Теорема логики о противоречивой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

А.2. Функциональная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

А.3. Алгебры и σ-алгебры множеств. Измеримые пространства.

Фазовое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

А.4. Измеримые функции. Борелевские функции. Индикаторная функция. Теорема о представлении вещественной измеримой функции пределом последовательности простых измеримых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

А.5. Меры. Теорема Каратеодори о продолжении мер с алгебры на σ-алгебру. Пространство с мерой. Вероятностная мера . . . . . . 48 А.6. Пространство (R1, B(R1), λ). Борелева σ-алгебра на

прямой R1. Мера Лебега. Функция распределения на R1. Мера Лебега–Стилтьеса. Связь между мерами и функциями распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

А.7. Интеграл Лебега. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Радона–Никодима. Замена переменной в интеграле Лебега. Интеграл Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

А.8. Мера Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5

Определения, обозначения1, сокращения

Кванторы

Кванторы – это выражения «существует» и «для всякого».

Без кванторов утверждение «f(x) > 0» является сокращением одного из следующих двух точных утверждений: «существует x такое, что f(x) > 0» и «для всякого x: f(x) > 0». Без кванторов приходится додумываться, какое из этих утверждений имеется в виду.

x – квантор существования по переменной x («существует x»): ( x X): π(x) – существует элемент x X такой, что истинно

(высказывание) π(x).

{ xρ(x)}: π(x) – среди элементов x, для которых истинно условие ρ(x), существует элемент x такой, что истинно π(x).

x – квантор общности по переменной x («для всякого x»): ( x X): π(x) – для всех элементов x X (для каждого элемента

x X) истинно π(x).

{ xρ(x)}: π(x) – истинно π(x) для всех тех элементов x, для которых истинно ρ(x).

Теорема. Отрицание утверждения, содержащего кванторы , и утверждение P, получается заменой кванторов на , на и утверждения P на его отрицание – неP.

Множества и отображения

{x: x X} ≡ {x X} – множество X, состоящее из элементов, имеющих общее обозначение x.

{x: π(x)} – подмножество тех элементов x множества X, для которых истинно π(x).

K X – подмножество множества X: ( x K): (x X).

X\K ≡ K ≡ {x:x K} – дополнение к подмножеству K. X=

={x K} {x K} ≡ K K.

1При цитировании замена обозначений переменных для лучшего согласия с контекстом работы делается без оговорок.

6

= X\X – пустая часть некоторого множества X – несобственное подмножество множества X, не содержащее ни одного элемента из множества X.

R1 – {x: –∞≤ x ≤ +∞} ≡ [–∞, +∞] – расширенная действительная

прямая.

Rn – евклидово вещественное n-мерное линейное пространство – прямое (декартово) произведение n пространств R1.

X f →Y или f: X → Y – отображение f (функция f(·)) множества

X во множество Y.

f(·) – точка на месте аргумента функции подчеркивает, что речь идет именно о функции, а не о значении функции при каком-то определенном значении аргумента.

f –1(G) ≡ {x: f(x) G} ≡ {f G} – полный прообраз множества

G Y при отображении f: X → Y (подмножество множества X). x↑a (x↓a) – x стремится к a возрастая (убывая).

σ-алгебра множеств – система множеств, замкнутая относительно операции дополнения и операции пересечения счетного числа множеств. Элементы σ-алгебры называются измеримыми множествами.

Борелевская (борелева) σ-алгебра – наименьшая σ-алгебра множеств топологического пространства, порожденная открытыми множествами. В n-мерном евклидовом пространстве Rn борелевская σ-алгебра совпадает с наименьшей σ-алгеброй, порожден-

ной полуоткрытыми справа параллелепипедами: {x: a1 ≤ x1 < b1,…, an ≤ xn < bn}, где x = (x1,…, xn) и –∞ ≤ ai < bi ≤ + ∞. Борелева σ-алгебра замкнута относительно операций дополнения и пересечения счетного числа и замкнутых, и открытых множеств.

Измеримое пространство – пара (X, F ) – пространство X с

введенной в нем σ-алгеброй F. Для обозначения σ-алгебры употребляется курсив или готический шрифт. Иногда, чтобы указать, на каком пространстве введена σ-алгебра, пишут FX или F(X).

Фазовое пространство – измеримое пространство (X, F) называется фазовым, если σ-алгебра FX содержит все подмножества X,

7

состоящие из одной точки. В физике точки фазового пространства обычно называют состояниями, в теории вероятностей – элемен-

тарными событиями.

Измеримая функция – отображение f: X → Y измеримого пространства (X, FX) на измеримое пространство (Y, GY) называется (FX, GY )-измеримым (измеримым относительно пары (FX, GY)), если прообраз любого множества из σ-алгебры GY принадлежит σ-ал- гебре FX: ( G GY) ( A FX): f –1(G) = A. Когда ясно, о каких σ-ал- гебрах идет речь, функция f: X → Y называется FX-измеримой или просто измеримой.

Борелевское отображение – для топологических пространств

(X, BX) и (Y, BY) с борелевскими σ-алгебрами BX, BY отображение f: X→Y называется борелевским, если оно (BX, BY)-измеримо, т. е.: ( B BY) ( A BX): f –1(B) = A.

Меры и интегралы. Вероятность. Случайная величина

Пространство с мерой – тройка (X, F, μ) – измеримое про-

странство (X, F ) с заданной на множествах A FX неотрицательной счетно-аддитивной функцией – мерой μ (A).

∫ f (x)μ(dx) ≡ ∫ fdμ – интеграл Лебега от функции f(x) по мере

XX

μпространства (X, F, μ).

Вероятностное пространство – тройка (Ω, A, P) – измери-

мое пространство (Ω, A) с заданной на σ-алгебре A счетно-ад- дитивной мерой P(A), нормированной на 1 (P(Ω)=1). Элементы A

σ-алгебры A называются (случайными) событиями.

P(A) – вероятность события A.

(mod P) – равенство выполнено с вероятностью P = 1 (или вы-

полнено почти наверное).

Случайная величина (с.в.) ξ – измеримое отображение ξ:Ω → X измеримогопространства (Ω, A) на измеримое пространство (X, B).

8

Действительная (числовая) случайная величина (д.с.в.) –

измеримая функция ξ: Ω →R1 измеримого пространства (Ω, A ) на измеримое пространство (R1, B(R1)).

Простая случайная величина – дискретная действительная

Eξ=∫ξ(ω)P(dω) – математическое ожидание числовой случай-

Ω

ной величины ξ – интеграл Лебега от функции ξ по мере P вероятностного пространства (Ω, A, P).

9

Введение

Цель работы – изложить основы современной теории вероятностей так, чтобы помочь читателю получить верное понимание начал этой абстрактной теории. Работа предназначена для тех специалистов по вычислительной математике, которые используют вероятностный метод Монте-Карло для решения различных задач математической физики и создают программы для этих расчетов.

Впервой и второй главах работы рассматриваются первые понятия аксиоматики теории вероятностей – случайная величина, индуцированное вероятностное пространство, закон распределения, функция распределения, плотность функции распределения, математическое ожидание. Подчеркивается, что случайная величина – это обыкновенная функция от элементарных событий. Обращается внимание на тождественность понятий случайная величина и измеримая функция. Обсуждается вопрос отличия понятия случайная величина от понятия значение случайной величины. Рассматривается вопрос о независимости измеримой функции от меры и случайной величины от вероятности. В работе подробно обсуждаются ключевые моменты, на которых не всегда заостряется внимание читателя

виных учебных пособиях, что подчас приводит к недопониманию теории. В третьей главе на простых примерах демонстрируется смысл определений, приведенных в предыдущих главах работы.

Вприложении собран минимум предварительных сведений из логики и функционального анализа, требуемый для построения аксиоматики теории вероятностей. Это приложение играет если не главную, то, по крайней мере, существенную роль в достижении цели работы. Предполагается, что приложение облегчит процесс освоения читателем начал современной теории вероятностей.

Начала теории вероятностей можно излагать различными способами. Избранный авторами способ можно назвать новым. Он позволил в небольшой по объему работе полно показать связи между первыми понятиями аксиоматики теории вероятностей и при этом не потонуть в деталях. Схематично эти связи показаны на рис. 1. Изложение не претендует на абсолютную строгость. Теоремы при-