К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей. Учебно-методическое пособие

11

теории вероятностей, считавшихся еще недавно совершенно своеобразными, вряд общих понятий современной математики» [1, с. 5].

В 1930-х годах (книга [1] была впервые издана на немецком языке в 1933 г.) были уже установлены глубокие аналогии между понятиями теории вероятностей и классического анализа: мерой множества и вероятностью события, случайной величиной и измеримой функцией, интегралом и математическим ожиданием. Освободив теорию вероятностей от нечетко определенных понятий случай, случайный выбор (таких терминов в книге [1] нет!), А. Н. Колмогоров построил свою аксиоматику на базе лебеговской теории меры и решил задачу аксиоматизации теории вероятностей, поставленную еще в 1900 г. Д. Гильбертом.

12

Отыщи всему начало, и ты многое поймешь.

Козьма Прутков

Глава 1. Первые понятия теории вероятностей в аксиоматике Колмогорова

§1.1. Вероятностное пространство

Внастоящее время общепринятой является конструкция теории вероятностей, основанная на теоретико-множественной аксиоматике А. Н. Колмогорова. Эта конструкция начинается с исходно-

го вероятностного пространства – тройки (Ω, A, P), где

{ω:ω Ω} – пространство элементарных событий − множество элементов ω;

A − σ-алгебра некоторых, в общем случае не всех, а избранных

подмножеств пространства Ω. Элементы этой σ-алгебры называ-

ются (случайными) событиями или исходами;

P − вероятность или вероятностная мера – неотрицательная счетно-аддитивная функция множества, определенная для событий A A и нормированная так, что P(Ω)=1. Иными словами, P – рас-

пределение вероятностей на σ-алгебре A.

Аксиоматика теории вероятностей называется теоретикомножественной, поскольку в ее основании лежит канторовская теория множеств. Задание в исходном множестве Ω σ-алгебры A означает, что определено измеримое пространство – пара (Ω, A ). Пара (Ω, A ) переходит в тройку (Ω, A, P) после введения на σ-ал- гебре A вероятности Р(A) – меры, нормированной на 1. Этот шаг аксиоматики – появление вероятностного пространства, четко отражен на рис. 1.

В литературе вероятностное пространство (Ω, A, P) называют по-разному: основным, первичным, исходным пространством, пространством исходов, выборочным пространством.

13

§ 1.2. Случайная величина. Значение случайной величины

Одним из первых понятий аксиоматики теории вероятностей является понятие случайная величина. Часто именно это понятие становится непреодолимым препятствием на пути постижения основ современной теории вероятностей.

В книге «Основные понятия теории вероятностей» А. Н. Колмогоров дал четкое определение понятия случайная величина: «Случайные величины с математической точки зрения представляют собой не что иное, как измеримые функции, а их математические ожидания являются абстрактными интегралами Лебега» [1, с. 18]. С помощью кванторов это определение записывается следующим образом.

Определение. Пусть Ω = {ω: ω Ω} и X = {x: x X} – два измеримых пространства с σ-алгебрами A и B. Функция ξ: Ω→X

называется случайной величиной, если

Здесь A = ξ–1(B) – полный прообраз множества B B при отображении ξ( ):

В определении (1) главным является утверждение: случайная величина – это функция! C точностью до выбора обозначений определение (1) совпадает с определением абстрактной (GX, GY)- измеримой функции [2, с. 300], когда системы подмножеств GX и GY являются σ-алгебрами. Это означает, что понятие случайной величины тождественно понятию измеримой функции в классическом анализе. Естественно, что в этом же суть процитированного высказывания А. Н. Колмогорова.

Заметим, что определение (1) использует лишь понятие измеримого пространства и не учитывает распределение вероятностей пространства (Ω, A, P). Это означает, что конструкция аксиомати-

ки фактически начинается не с исходного вероятностного про-

странства – тройки (Ω, A, P), а с измеримого пространства (Ω, A ). Это четко отражает рис. 1.

14

Важно отличать понятие «случайная величина» от понятия «значение случайной величины». Чтобы избежать двойственности выражения ξ(ω), в настоящей работе функция часто обозначается ξ( ) или просто ξ без указания аргумента.

Ключевыми моментами определения (1) являются:

1. Определение начинается с рассмотрения двух непустых измеримых пространств (Ω, A ) и (X, B) – области определения и области значений функции ξ.

2.Случайная величина определяется в терминах σ-алгебр этих двух пространств без какого-либо упоминания о вероятности.

3.Определение (1) накладывает требование и на функцию ξ, которая обязана быть отображением на, т. е. сюръекцией, и на σ-ал- гебру A, которая должна быть не «беднее» σ-алгебры B.

Первый ключевой момент тривиален. Действительно, бессмысленно говорить о функции, не определив область определения

иобласть значений функции.

К вопросу о независимости понятия случайной величины от вероятностной меры мы еще вернемся в главе 2, но заметим сразу, что вне теории вероятностей измеримую функцию не принято называть случайной величиной. Другими словами, любая измеримая функция ξ( ) называется случайной величиной тогда, когда областью определения ξ( ) является вероятностное пространство (Ω, A, P).

Вопрос с сюръекцией решается просто. Достаточно в качестве области значений функции ξ рассматривать в пространстве X образ Ω при отображении ξ.

Относительно «богатства» σ-алгебры A. Чем «беднее» σ-ал- гебра A, тем больше условие A-измеримости функции ξ ограничивает класс измеримых функций. Например, при самой «бедной» σ-ал- гебре A = { , Ω} среди действительных функций ξ: Ω→ R1 только постоянная функция f(ω) ≡ const является измеримой. При такой σ-алгебре никакая более сложная функция неможет быть измеримой!

15

§ 1.3. Индуцированное случайной величиной вероятностное пространство

Рассмотрим, как работает случайная величина ξ: Ω → X, когда в измеримом пространстве (Ω, A ) для каждого множества А A задается вероятность P(A) и пространство (Ω, A ) превращается в вероятностное пространство (Ω, A, P).

Отображение ξ–1(x) – обратное измеримому отображению ξ: Ω → X, является в общем случае многозначным отображением точек x пространства X в точки ω пространства Ω. Однако отображение ξ–1 каждому подмножеству B B однозначно ставит в соответствие его полный прообраз А = {ω: ξ(ω) B}, который по определению (1) принадлежит σ-алгебре A пространства (Ω, A, P). Опираясь на это однозначное соответствие и на заданную для каждого A вероятность P(A), положим для любого B B вероятность P(B) =

= P(А) = P{ω: ξ(ω) B}. При этом P(X) = 1.

Эта вероятность P(B) (на σ-алгебре B!) обозначается Pξ и на-

зывается законом распределения (или распределением вероятно-

стей) случайной величины ξ в пространстве (X, B). Полученное вероятностное пространство (X, B, Pξ) называется индуцированным вероятностным пространством.

Иногда в учебниках понятие распределение вероятностей слу-

чайной величины вводят, не указывая на связь с исходным вероятностным пространством (Ω, A, P) и не употребляя термин индуцированное. В некоторых учебниках выразительно подчеркивается скромная роль исходного пространства (Ω, A, P) – области определения функции ξ, и важность индуцированного пространства (X, B, Pξ) –

области значений функции ξ. Вот несколько примеров.

«Когда экспериментатор имеет дело со случайными величинами, описывающими те или иные показания, то основной вопрос, который его интересует, – это вопрос о том, с какими вероятностями эта случайная величина принимает те или иные значения. С этой точки зрения интерес представляет не распределение веро-

16

ятностей P на (Ω, A ), а распределение вероятностей на множестве значений случайной величины» [3, с. 44].

«В теории вероятностей часто говорят о случайной величине ξ с известным законом распределения, не указывая ни вероятностного пространства, ни функцию ξ(ω), которая задает случайную величину. В этом случае предполагается, что существует какое-то вероятностное пространство (Ω, A, P), на котором можно опреде-

лить функцию ξ= ϕ(ω) так, что будет задан ее закон распределения. Выбор вероятностного пространства каждый раз определяется существом задачи или простотой получающейся схемы» [4, с. 44].

Приведенные цитаты свидетельствуют, что первичное вероятностное пространство часто является математической фикцией, а получение всех результатов определяется вероятностным пространством, индуцированным случайной величиной. На это обращает внимание Лоэв: «Очень важно отчетливо себе представлять, что измеримость стохастических величин рассматривается относительно индуцированного вероятностного пространства; первоначальное вероятностное пространство является ничем иным, как математической фикцией. Однако роль его важна, так как оно представляет собой «общую область задания» для исследуемых семейств стохастических величин или порождаемых ими σ-полей событий»

[5, с. 184].

§ 1.4. Функция распределения вероятностей действительной случайной величины

До сих пор область значений X случайной величины ξ была пространством абстрактных точек. Для приложений важен переход от абстрактного пространства X к действительной прямой R1 ≡ {x: –∞≤ x ≤ +∞} с борелевской σ-алгеброй B(R1). Такая конкретизация области значений случайной величины приводит к следующим естественным обозначениям. Случайная величина обозначается ξ: Ω → R1, а индуцированное случайной величиной ξ вероятностное пространство – (R1, B(R1), Pξ).

17

Одномерной функцией распределения вероятностей действительной (числовой или вещественной) случайной величины ξ на-

зывается функция, обозначаемая Fξ(x) и определяемая формулой

То есть Fξ(x) есть вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, меньшее x. Функцию Fξ(x) часто кратко называют

функцией распределения случайной величины ξ.

Из формулы (3) следуют свойства вероятностной функции Fξ(x):

Обратно, каждую функцию, обладающую такими свойствами, можно считать функцией распределения некоторой случайной ве-

личины [2, с. 379].

При изучении понятия функция распределения случайной вели-

чины (формула (3)) надо различать близкие по звучанию понятия: порожденное случайной величиной ξ: Ω → R1 распределение вероятностей Pξ в пространстве (R1, B(R1), Pξ) и функцию распределения вероятностей Fξ(x). Столь же важно различать две функции – случайную величину ξ(ω) и функцию Fξ(x) распределения вероятностей случайной величины. Связь этих понятий можно изобразить цепочкой:

Здесь X = (R1, B(R1), Pξ), Y = [0,1]. Это различие настолько легко видно из определения индуцированного пространства и из формул

(3) и (4), что во всех учебниках не считается нужным специально подчеркивать это различие. А между тем, изучающие теорию вероятностей нередко путают эти понятия.

Итак, вероятностное пространство (R1, B(R1), Pξ), индуцированное действительной случайной величиной ξ, – это двуликое про-

18

странство. Сначала пространство X = (R1, B(R1), Pξ) является областью значений случайной величины ξ( ). На очередном шаге строительства теории это пространство (R1, B(R1), Pξ ), индуцированное случайной величиной ξ, выступает как область определения функции распределения Fξ(x) случайной величины ξ( ). Областью значений этой функции распределения вероятностей является пространство Y = [0, 1].

§ 1.5. Вероятностные меры на прямой R1. Теорема о разложении функции распределения вероятностей на дискретную, абсолютно непрерывную и сингулярную компоненты. Плотность функции распределения

Из теоремы о разложимости монотонной функции в сумму функции скачков абсолютно непрерывной и сингулярной компонент [2, с. 377] следует, что всякую функцию распределения можно однозначно представить в виде суммы дискретной, абсолютно непрерывной и сингулярной компонент: Fξ(x) = Fd(x) + Fa(x) + Fs(x). Это разложение Fξ(x) можно записать в виде: Fξ( ) = π1F1( ) + π2F2( ) +

π1 + π2 + π3 = 1. В этом представлении каждая составляющая Fi( )

нормировки каждая Fi( ) удовлетворяет определению (3) и является функцией распределения некоторой случайной величины, порождающей, соответственно, дискретную, абсолютно непрерывную и сингулярную меру на прямой R1.

Дискретная вероятностная мера. Случайная величина ξ, принимающая конечное или счетное (не более!) множество числовых значений x1, x2, … xi, … с вероятностями pi = P(ξ = xi), называется дискретной. Набор чисел (p1, p2, …) называют дискретным распределением вероятностей или дискретной вероятностной

мерой, или вероятностной мерой, сосредоточенной в точках x1, x2, … xi, … прямой R1.

19

Приведем пример случайной величины, имеющей дискретное распределение. Пусть случайная величина ξ принимает значения 1, 2,…, N с равными вероятностями 1/N, т. е. pi = P(ξ = xi) = 1/N; xi = 1, 2, … , N. Тогда говорят, что случайная величина ξ имеет равномерное распределение на множестве {1, 2,…, N}. Примером такой случайной величины может быть число очков, выпавшее при подбрасывании игральной кости. В этом случае N = 6; pi = P(ξ = xi) = 1/6; xi = 1, 2,…, 6.

При конечном множестве значений – x1, x2, … xk, дискретное распределение вероятностей можно исчерпывающим образом представить в табл. 1:

Таблица 1 Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Дискретную вероятностную меру, сосредоточенную в точках x1, x2, …, xk прямой R1, можно изобразить графически (рис. 2). Показанному на рис. 2 распределению вероятностей соответствует функция распределения вероятностей, график которой – жирные горизонтальные стрелки нарис. 3, имеет видкусочно-постояннойфункции.

Рис. 2. Дискретная вероятностная мера, сосредоточенная в отдельных точках x1, x2, …, xk прямой R1