К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей. Учебно-методическое пособие

51

функции называют эквивалентными по мере μ и пишут: f(ω) = = g(ω) (mod μ).

А.6. Пространство (R1, B(R1), λ). Борелева σ-алгебра на

прямой R1. Мера Лебега. Функция распределения на R1. Мера Лебега–Стилтьеса. Связь между мерами и функциями распределения

Пусть R 1 = [–∞, +∞] – расширенная действительная прямая, а a, b – промежуток – одно из множеств вида ( a, b], [a, b), (a, b), [a, b], где – ∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞. Обозначим через A систему подмножеств A R 1 , являющихся объединением конечного числа непересекаю-

образует алгебру, но не является σ-алгеброй.

Определение А14. σ-алгебра, порожденная системой A, обозначается B(R1) и называется борелевой (или борелевской) σ-ал-

геброй множеств действительной прямой, а ее элементы – борелевскими (или борелевыми) множествами.

Определение А15. Мерой Лебега на R1 называется мера λ, определенная на измеримом пространстве (R1, B(R1)), такая, что

λ( a,b ) = b – a.

Из теоремы Каратеодори следует, что мера Лебега на R1 существует и единственна. Мера Лебега промежутка a, b соответствует обычной метрике на прямой: ρ(a,b)= a – b . Эта мера не является конечной, поскольку λ(R1) = ∞.

Конечную меру на борелевской σ-алгебре действительной прямой R1 можно построить с помощью функции распределения.

Определение А16. Вещественная функция F(x), x R1 называется функцией распределения на R1, если она обладает следующими свойствами:

1) F(x) – неубывающая функция;

52

точке x, т. е.

( x R1): (lim F(x + h) = F(x)) и

h↓0

( x R1): ( F(x – 0) ≡lim F (x – h)).

h↓0

С помощью функции распределения F(x) зададим на промежутках a, b функцию множества μ0

μ0 ((a, b]) = F(b) – F(a), μ0([a, b]) = F(b) – F(a – 0), μ0 ((a, b)) = F(b – 0) – F(a), μ0([a, b)) = F(b–0) – F(a – 0).

Положим для A = n ai ,bi , n < ∞, где промежутки ai, bi по-

реме Каратеодори мера μ0 может быть продолжена и притом единственным способом до меры μ, заданной на измеримом пространстве (R1, B(R1)). В силу свойства 2 функции распределения мера μ является конечной. Этамера μ называется меройЛебега–Стилтьеса.

С каждой конечной мерой μ, заданной на (R1, B(R1)), можно связать функцию Fμ(x) = μ(–∞, x], x R1. Из свойства 5 конечной меры μ вытекает, что Fμ(x) является функцией распределения, при-

чем Fμ(+∞) = lim F(x) = μ(R1).

x→∞

Итак, между функциями распределения и конечными мерами на (R1, B(R1)) существует взаимно однозначное соответствие: вся-

53

кой конечной мере μ соответствует функция распределения Fμ, и наоборот, всякой функции распределения F(x) соответствует конечная мера μ такая, что Fμ ≡ F.

Для построения конечной меры на отрезке [a, b] с помощью функции распределения свойство 2 должно иметь вид: F(a) =

Построение меры Лебега–Стилтьеса с помощью функции F(x) = x приводит к обычной мере Лебега, не являющейся конечной на прямой R1.

А.7. Интеграл Лебега. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Радона–Никодима. Замена переменной в интеграле Лебега. Интеграл Стилтьеса

Зачем в теории интегрирования потребовались измеримые функции? Для интеграла Коши–Римана требуются: 1) достаточно простые области интегрирования; 2) «хорошее» поведение интегрируемых функций во всех точках области интегрирования; 3) выполнение ряда требований к подынтегральной функции для перехода к пределу и т. п. Понятие интеграла Коши–Римана применимо лишь к функциям одного или нескольких переменных, в то время как в теории вероятностей и во многих областях физики необходимо иметь возможность интегрирования на многообразиях, не описываемых никаким конечным числом параметров. Даже в случае одного или нескольких переменных возможность интегрирования по Риману практически исчерпывается сравнительно узким классом функций – непрерывных и кусочно-непрерывных, область определения которых – прямая, плоскость и т. п., является однородным пространством (величина интеграла не меняется при сдвиге аргумента функции). Класс интегрируемых по Риману функций не является замкнутым, т. е. функция, являющаяся пределом последовательности интегрируемых функций, может оказаться не интегрируемой.

«После Коши и Римана, в течение второй половины XIX века, предлагались многочисленные определения интеграла, относившиеся как к ограниченным, так и неограниченным функциям. Но

54

лишь в 1902 году Лебег в своей диссертации ввел понятие интеграла, коренным образом изменившее взгляд на весь круг задач, основанных на интегрировании. … В диссертации Лебега и в его лекциях по теории интеграла, читанных им в Коллеж де Франс, путь, ведущий к цели, еще весьма тернист; прошли годы, прежде чем современники освоились с новыми методами. За эти годы были сделаны попытки изыскать новые пути, более доступные, и тем самым, как говорит Валле Пуссен, ввести новую теорию в обиход университетского образования» [21, с. 39].

Первоначальное определение Лебега опиралось на понятие меры множества, и успех обеспечило рассмотрение функций, заданных не в отдельных точках, а функций, заданных на интервалах. Исходный класс рассматриваемых функций Сергей Соболев (1908–1989)

и Лоран Шварц (1915–2002) дополнили обобщенными функциями,

ановая теория стала называться теорией распределений. Любой из развитых на сегодня подходов к изложению теории интегрирования требует преодоления немалых технических трудностей теоре- тико-множественного характера. Но основная идея интегрирования по Лебегу может быть доступно изложена на интуитивном уровне.

Рассмотрим неотрицательную функцию одной переменной y = f(x) и определенный интеграл от этой функции на отрезке [a, b]. В основе обычного определения риманова интеграла от функции f, как площади под «хорошей» кривой f(x), лежит разбиение области определения f на все более и более мелкие части. Для «скверных» функций этот метод не подходит. Простейшее усовершенствование состоит в делении на все более и более мелкие части области значений f. Такой метод чувствительнее к виду функции и потому в состоянии охватить большее их многообразие. Из рис. А1 видно, что мы интересуемся «размерами» множеств вида f –1(y′, y′′] ={x: y′ < < f(x) ≤ y′′}. Потребуем от класса рассматриваемых функций, чтобы множества f –1(y′, y′′] имели меру μ. Тогда положим для f ≥ 0 по определению

55

Общеизвестно, что многие студенты испытывают трудности при изучении теории интеграла Лебега. Опытные лекторы, чтобы показать различие между интегралом Римана и интегралом Лебега и продемонстрировать преимущество последнего перед интегралом Римана, прибегают к следующей аналогии между вычислением интеграла и подсчетом выручки в супермаркете. Допустим, что вся выручка получена потоком купюр разного достоинства (вперемешку): 10, 50, 100, 500, 1000 и 5000 руб. Есть по меньшей мере два способа подсчета общей выручки. Можно прибавлять к общей сумме достоинство очередной купюры из потока и это будет суммирование «по Риману». А можно предварительно сгруппировать вместе купюры одного достоинства и подсчитать количество (меру) купюр каждого достоинства. Это приведет к суммированию «по Лебегу». Так и поступают кассиры в магазинах. Как ни обидно для ученых математиков, этот пример убеждает, что интуиция помогает кассирам лучше студентов-математиков понимать преимущество интеграла Лебега перед интегралом в смысле Римана.

Перейдем к точным утверждениям и привычному для теории интеграла Лебега обозначению (X, A, μ) области определения вещественной измеримой функции.

59

Функция ρ(x) называется производной Радона–Никодима меры ν по мере μ и обозначается ρ(x) = ddμν(x).

Теорема А10 (абсолютная непрерывность интеграла Лебега). Пусть f(x) – интегрируемая функция. Тогда

( ε > 0) ( δ > 0) ( A A | μ(A) < δ): ∫ f (x)μ(dx) < ε.

A

Определение А21. Пусть f(x) – измеримая функция, определенная на измеримом пространстве с мерой (X, A, μ). Тогда мера μf на (R1, B(R1)), задаваемая равенством

μf(B) = μ(f –1(B)), B B( R1 ),

называется мерой, порожденной функцией f.

Нетрудно проверить, что функция множества μf является действительно мерой на борелевской σ-алгебре B( R1).

Теорема А11 (формула замены переменных в интеграле Лебега). Пусть функция f(x), x X, измерима, а функция ϕ(y), y R1, является борелевской. Тогда для интеграла Лебега I(h) от сложной функции h(x) = ϕ(f(x)) справедливо

I(h) = ∫ϕ( f (x))μ(dx) = ∫ ϕ(y)μf (dy),

где интегралы существуют или не существуют одновременно. Здесь μf(dy) – мера, порожденная функцией f.

Определение А22. Пусть f(x), x R1, – борелевская функция, а F(x) – функция распределения на R1. Интеграл Стилтьеса от f(x) по функции распределения F(x) определяется следующим образом:

∞

∫ f (x) dF (x) = ∫ f (x) μF (dx),

−∞ R1

где интеграл в правой части понимается как интеграл Лебега по мере μ, имеющей функцию распределения F(x).

60

А.8. Мера Дирака

В теории меры чрезвычайно полезной для приложений является мера Дирака на действительной прямой ( R1, B( R1)). Понятие меры Дирака, определяемое в теории меры, имеет наглядную физическую интерпретацию. То, что в физике называется точечной массой m, помещенной в точке x0, или электрическим зарядом e в точке x0, является не чем иным, как мерой m δ(x0)dx или eδ(x0)dx. В теории переноса примером источника частиц, сосредоточенных в точке по направлению или в точке по энергии, являются соответственно мононаправленный или моноэнергетический источник частиц.

В теории вероятностей мера Дирака является частным случаем дискретной вероятностной меры, когда случайная величина, т. е. функция из измеримого пространства (Ω, A ) в измеримое пространство (R1, B(R1)), с вероятностью 1 принимает одно значение x0 (имеет одноточечное распределение вероятностей), и, по сути, должна называться детерминированной, а не случайной. Функция распределения такой случайной величины на прямой R1 имеет вид:

Это определение меры, сосредоточенной в одной точке x0, соответствует определению δ-функции в качестве линейного функционала на пространстве измеримых функций f(x) такого, что интеграл от функции f(x) по мере Дирака имеет вид