К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей. Учебно-методическое пособие

21

−∞

На рис. 4 показан типичный вид графика функции абсолютно непрерывного распределения или просто абсолютно непрерывной функции.

Y = F2(x)

1

F2(x2)

F2(x1)

X=R1

0 x1 x2

Рис. 4. Абсолютно непрерывная функция распределения, определяющая абсолютно непрерывную вероятностную меру на прямой R1

На рис. 4 наглядно показано соответствие между [F2(x2) – F2(x1)] – разностью значений функции распределения вероятностей в точках x2 и x1, и вероятностью случайной величине принять значение в интервале [x1, x2].

Приведем пример случайной величины, имеющей абсолютно непрерывное распределение. Пусть плотность вероятности случайной величины ξ имеет вид

0, x < a, x > b,

ρ(x) =

1 , a ≤ x ≤ b,

−b a

22

где a R1, b R1, a < b. Тогда говорят, что случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a, b]. Функция распределения такой случайной величины

В частности, при a = 0, b = 1 получаем случайную величину, равномерно распределенную на отрезке [0, 1]. Плотность распределения вероятностей этой случайной величины равна 1 на отрезке [0,1] и 0 в остальных точках R1, а функция распределения

Сингулярные меры. Составляющая F3(x) называется сингу-

лярной функцией распределения. Сингулярными называют непре-

рывные функции, у которых производная почти всюду равна 0, а множество точек роста имеет нулевую меру. Если F – сингулярная непрерывная функция, то отвечающая ей мера Лебега–Стилтьеса (см. Приложение, п. А.6) целиком сосредоточена на том множестве лебеговой меры нуль, на котором F′ отлична от нуля или не существует. Сама мера Лебега–Стилтьеса называется при этом сингулярной мерой. Примером сингулярной функции является знаменитая канторова лестница, точками роста которой является канто-

рово совершенное множество [2, с. 360, 376]; [3, с. 171]; [6, с. 35].

Канторову функцию F(x) можно определить равенствами: F(x) = 0 при x ≤ 0, F(x) = 1 при x ≥ 1 и

23

При вычислениях математического ожидания и при моделировании методом Монте–Карло случайных величин с заданной функцией распределения можно пренебрегать событиями, имеющими нулевую вероятность, т. е. пренебрегать сингулярной составляющей функции распределения Fξ(x) [7, с. 195–196]. В этом случае при F2(x) линейной на отрезке [x1, xk] график функции Fξ(x) = = π1F1( ) + π2 F2( ) имеет вид кусочно-непрерывной функции, изображенной на рис. 5.

Рис. 5. Функция распределения – сумма дискретной компоненты, сосредоточеннойвточках x1, x2 …, xk и абсолютно непрерывнойкомпоненты

−∞

И функцию распределения можно представлять набором формул:

24

§ 1.6. Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание Eξ числовой случайной величины ξ: Ω → R1 определяется как интеграл Лебега: Eξ = ∫ ξ(ω)P{d ω}.

Здесь Pf (dz) = P{ω: f(ω) dz} – мера, порожденная функцией f в пространстве Z.

При Z = R1 и тождественном ϕ(f(ω) = x, ϕ(x) = x) из формулы

(7) следует:

∞

Eξ = ∫ xP{ f dx} = ∫ xP{ξ dx}.

R1 −∞

∞

Это соответствует формуле Eξ = ∫ xρ(x)dx для абсолютно непре-

−∞

рывной случайной величины ξ с плотностью ρ(x) и формуле Eξ = = ∑xipi для дискретной случайной величины с распределением вероятностей pi = P{ξ = xi}. Формула Eξ = ∑xipi соответствует определению интеграла Лебега от простой функции [2, с. 312]. Такое определение интеграла Лебега от простых функций идентично по-

нятию математического ожидания дискретной случайной величи-

ны, существовавшему в элементарной теории вероятностей задолго до появления интеграла Лебега.

В определении математического ожидания необходимо разли-

чать два понятия – интегрируемая функция и интеграл от функ-

ции. Суть различия в следующем. Интегралы, как и математическое ожидание, могут быть бесконечными, а функция (случайная величина) называется интегрируемой только тогда, когда интеграл (математическое ожидание) конечен. Если интеграл (математическое ожидание) существует, но бесконечен, то функцию (случайную

25

величину) неназывают интегрируемой(суммируемой). Неве [9, с. 67] предлагает такую функцию (случайную величину) называть квазиинтегрируемой. Этот термин не прижился. Больше он нигде авторам работы не встретился.

§ 1.7. Моделирование случайной величины

«Для решения задач методом Монте–Карло необходимо получать на ЭВМ последовательность выборочных значений случайной величины с заданным распределением. Такой процесс принято на-

зывать моделированием случайной величины» [7, с. 10].

Трудности моделирования случайных величин подробно рассмотрены в книгах [7, 10]. Кратко суть проблемы можно изложить следующим образом.

Исходной для моделирования является случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,1]. Плотность распределения этой случайной величины равна 1 на отрезке [0,1] и 0 в остальных точках R1. Этой плотности соответствует вероятностная мера P, которая является мерой Лебега λ на отрезке [0,1]. Ясно, что

P{x: x [a, b]} = λ a, b = b – a для 0 ≤ a ≤ b ≤ 1.

Выборочные значения этой случайной величины получаются на ЭВМ с помощью датчика случайных, точнее, псевдослучайных чисел.

Теорема 1. Пусть случайная величина ξ имеет произвольную функцию распределения F(x). Тогда случайная величина η = F(ξ) имеет на отрезке [0,1] функцию распределения Fη(y) = F(F–1(y)),

где F–1(y) = sup {x: F(x) ≤ y; 0 ≤ y ≤ 1}.

Теорема 2. Пусть случайная величина η равномерно распределена на отрезке [0,1] и F(x) – некоторая функция распределения, тогда случайная величина ξ = F–1(η) имеет функцию распределения F(x).

Из теоремы 2 следует, что, получив очередное случайное число η – выборочное значение равномерно распределенной на отрезке [0,1] случайной величины, мы можем с помощью выражения ξ= F–1(η) получать выборочное значение случайной величины ξ, имеющей заданную функцию распределения F(x). Заметим, что для непрерывной возрастающей функции распределения F(x) сущест-

26

вует обратная функция, причем F–1(y) = F–1(y). Например, формула для моделирования случайной величины ξ, имеющей экспоненциальное распределение с параметром λ, выглядит следующим обра-

зом: ξ = − λ1 ln η, где случайная величина η равномерно распределе-

на на отрезке [0,1]. На практике не всегда легко найти выражение для функции F–1(y). Однако для дискретных случайных величин, принимающих не более счетного множества числовых значений x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями pi (рис. 3), F–1(y) имеет доста-

k

точно простое представление (рис. 6). Обозначим Sk = ∑ F(xi ),

i=1

S0 = 0. Запишем функцию распределения дискретной случайной величины в виде

Тогда функцию F–1(y) можно представить в виде:

Отсюда согласно формуле ξ = F–1(η) получается следующий алгоритм нахождения случайного номера i0 в последовательности x1, x2, …, xk, …, соответствующего случайному числу η: если

Si0 −1 < η≤ Si0 , то ξ = xi0 .

28

го пространства X и, следовательно, не зависит от задания какой-либо случайной величины ξ: Ω → X. Формулировка определения (1) в терминах σ-алгебр без какого-либо упоминания о вероятности означает независимость понятия случайной величины от вероятности в пространстве (Ω, A, P).

Однако любые изменения в задании функции ξ: Ω → X или в распределении вероятностей P в пространстве (Ω, A, P) изменяют распределение вероятностей Pξ в индуцированном пространстве (X, B, Pξ). Иначе говоря, вероятность Pξ зависит и от вероятности P исходного пространства (Ω, A, P), и от случайной величины ξ( ). Заметим, не случайная величина ξ: Ω → X зависит от вероятности P, а вероятность Pξ в пространстве (X, B, Pξ) зависит от случайной

величины ξ, точнее говоря, порождается случайной величиной ξ! В дополнение к определению случайной величины, которое

дал Колмогоров: «Случайные величины с математической точки зрения представляют собой не что иное, как измеримые функции» [1, с. 18], можно указать несколько других источников [3, с. 186]; [11, с. 233]; [12, с. 97]; [13, с. 95]; [14, с. 284]; [15, т. 1, с. 131], в ко-

торых подчеркивается тождественность понятий измеримая функция и случайная величина и четко говорится о независимости измеримой функции от меры и случайной величины от вероятности.

Конечно, не статистика подобных высказываний доказывает истинность утверждения о независимости понятия случайной величины от вероятности. Утверждение является прямым следствием определения (1) понятия случайная величина.

Увы. Часто у изучивших в ВУЗе курс теории вероятностей вместо определения (1) остается в памяти такое «определение» понятия случайной величины:

Числовая величина называется случайной величиной, если ее значение может меняться в зависимости от случая.

Назначение и смысл любого «определения», размещаемого в культурном математическом тексте, состоит в том, что оно выделяет из всевозможных совокупностей объектов те, для которых вы-

29

полняются определенные свойства объектов и определенные отношения между объектами. Ничего похожего нельзя извлечь из высказывания, помещенного в рамочку. О том, что случайная величина – это обыкновенная функция от элементарных событий, о свойстве измеримости этой функции в рамочном «определении» ничего не сказано. Более того, такое «определение» случайной величины таит опасность, сбивает с толку. По поводу сочетания слов «случайная величина» М. Кац говорит: «Ужасная и вводящая в заблуждение терминология, к сожалению, непоправимо теперь закрепилась» [16, с. 41]. Конечно, высказывание, помещенное в рамочку, в аксиоматической теории не существует.

Заметим, что утверждение о зависимости случайной величины от вероятности при наличии в теории определения (1) с перечисленными в начале этой главы следствиями означает присутствие в теории высказывания А и его отрицания неА – т. е. абсурд классический. Как известно (см. приложение, пункт А.1), в такой теории можно логично получать любые выводы.

Возникает вопрос, какие причины приводят часть изучающих теорию вероятностей к абсурдным представлениям о случайной величине.

Возможно, термин «случайная» ассоциируется у изучающих с понятием «вероятность». Отсюда упорное желание связать определение случайной величины с вероятностью P исходного вероятностного пространства (Ω, A, P).

Другой причиной является традиционное построение курса функционального анализа, при котором вначале изучается теория меры, а затем вводится понятие измеримой функции [2, с. 267–310]. Такое построение провоцирует заявления о зависимости измеримой функции от меры.

Проследить за логикой и доказать ошибочность абсурдных рассуждений иногда оказывается непростой задачей.

30

Глава 3. Примеры описания реальных случайных экспериментов на языке аксиоматики теории вероятностей

Одним из наиболее важных практических применений теории вероятностей является изучение случайного эксперимента. Эксперимент состоит в том, что производится испытание при выполнении комплекса условий. Существенной особенностью случайных экспериментов является возможность повторять их сколь угодное (в принципе неограниченное) число раз. Смысл рассмотренных в главах 1 и 2 абстрактных определений первых понятий аксиоматики теории вероятностей можно почувствовать уже при описании простейших вероятностных моделей «физически» осязаемых реальных экспериментов.

§ 3.1. Вероятностная модель колоды из 36 игральных карт

Для построения примера описания реальных случайных экспериментов на языке абстрактных определений обратимся к истокам теории вероятностей, которая начиналась с попыток получить количественную характеристику случайных событий, происходивших в азартных играх с игральными картами.

Назовем пространством элементарных событий Ω = {ω: ω Ω} множество «картинок» колоды из 36 игральных карт. Построим из элементов этого пространства самую богатую σ-алгебру A – алгебру всех подмножеств. Это означает, что любая комбинация карт, взятых из колоды, является случайным событием. Разумеется, несобственные подмножества – Ω и , принадлежат σ-алгебре A. Тем самым нами построено измеримое пространство – пара (Ω, A ).

Построим числовую случайную величину ξ(ω), принимая в качестве области определения этой функции пространство (Ω, A ), а в качестве области значений – типичный для некоторых азартных игр набор чисел – X = {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Будем называть числа этого набора стоимостью «картинок». Дискретную случайную величину x = ξ(ω) зададим табл. 2.