К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей. Учебно-методическое пособие

31

Таблица 2 Не зависящая от масти стоимость различных «картинок»

Полагая, что все 36 карт колоды равноправны, введем в пространстве (Ω, A ) вероятность P, приписав каждой картинке одну и ту же вероятность – p = 1/36. В силу аддитивности вероятностной меры – P( An ) = ∑P( An ) , каждая комбинация из n картинок

σ-алгебры A будет иметь вероятность p = n/36. На этом строительство вероятностного пространства – тройки (Ω, A, P), заканчивается. Обратим внимание, что вероятностная мера любой комбинации карт не имеет отношения к вероятности «вытаскивания» такой комбинации из хорошо перетасованной колоды. Для изучения таких «вытаскиваний» необходимо рассматривать другие вероятностные пространства, точками которых являются комбинации точек пространства Ω.

Табл. 3 показывает, как обратное многозначное отображение ξ–1(x) для каждой стоимости x X ставит в соответствие полный прообраз – каре из 4 одинаковых по стоимости картинок разных мастей. Вероятностная мера такой четверки равна p = 4×(1/36) = 1/9. Опираясь на указанное соответствие между образом и прообразом и повторяя логику параграфа 1.3, припишем каждому числу из набора X (образу) эту вероятность 1/9 (вероятность прообраза). В качестве σ-алгебры B пространства X возьмем самую богатую – алгебру всех подмножеств. Этим заканчивается построение индуцированного вероятностного пространства (X, B(X), Pξ).

Таблица 3

Распределение вероятностей случайной величины ξ в пространстве X

32

Отсюда, пользуясь известной формулой вычисления математического ожидания дискретной случайной величины, получаем Eξ = = ∑xipi = 60/9 = 6,(6).

§ 3.2. Вероятностная модель лотереи

Для построения вероятностной модели этого «эксперимента» идеализируем процедуру распространения билетов лотереи и процедуру розыгрыша призов. Заметим, что построение этого примера не преследует цели экономичного вычисления характеристик лотереи. Задача примера, как и предыдущего, – пояснение смысла первых понятий аксиоматики теории вероятностей.

Пусть в розыгрыше призов лотереи участвуют N билетов. Каждый билет стоит m условных денег. Из суммы денег Σ = N×m, полученной от продажи билетов, выделяется Σ1 < Σ денег на общую стоимость всех призов лотереи. Величина Σ2 = Σ – Σ1 денег расходуется на организацию проведения тиражей, на заработную плату организаторам и т. д. Величина Σ1 денег распределяется неравными долями между K группами призов. Каждая i-я группа характеризуется количеством ki призов в группе и числом mi – стоимостью приза из этой i-й группы. Все призы в группе имеют одну и ту же

K

стоимость. Таким образом, число всех призов Q = ∑ki , общая

i=1

K

стоимость всех призов Σ1 = ∑ki ×mi . В очередном испытании сна-

i=1

чала разыгрывается номер группы i (следовательно, стоимость приза mi) и затем номер счастливого билета. Испытания проводятся до полного исчерпания списка всех призов. Дорогих призов разыгрывается очень мало, а дешевых много больше. Здесь никаких случайностей, кроме порядка перебора списка призов, наша идеализированная модель не допускает.

Нашей задачей является перевод описания этой модели на язык первых понятий аксиоматической теории вероятностей.

33

Примем в качестве множества Ω элементарных событий множество всех лотерейных билетов. Билеты обозначаются буквой ω с индексом от 1 до N: Ω = {ωj: j=1, 2,…, N}. Вопрос о σ-алгебре решается просто. A – это множество всех подмножеств пространства Ω. Пространство (Ω, A ) – область определения случайной величины, построено. Все билеты равноправны. Поэтому каждому

билету с номером припишем вероятность P(ωi) = N1 . Тем самым

построение пространства (Ω, A, P) закончено.

Следующий шаг нашего строительства – построение области значений случайной величины – измеримого пространства (X, B). В качестве точек пространства X примем K чисел mi – m1 < m2 < <…< mK – множество всех различных значений стоимости призов, и добавим кэтим K точкам еще одну (K + 1)-ю точку – число m0 = 0 – размер «выигрыша» невезучими билетами. И здесь вопрос о σ-ал- гебре B решается просто. B – это множество всех подмножеств пространства X. Измеримое пространство (X, B) построено.

В качестве случайной величины ξ = ξ (ω) примем функцию, определенную таблицей розыгрыша призов лотереи, полученной в результате проведения тиража. Эта табличная функция однозначным (но не взаимно однозначным!) образом ставит в соответствие каждому счастливому билету число mi – одно из множества значений стоимости призов. Всем невезучим номерам ставится в соответствие число 0.

Следующим шагом строительства вероятностной модели является построение вероятностного пространства, индуцированного этой случайной величиной. Из описания процедуры розыгрыша призов следует, что вероятность Pi выигрыша приза определенной стоимости пропорциональна числу призов ki в этой группе, т. е.

Pi = ki × N1 . Тем самым мы получаем распределение вероятностей

на σ-алгебре B в пространстве значений случайной величины ξ( ) и, соответственно, индуцированное вероятностное пространство (X, B, Pξ). Это распределение вероятностей для случая денежно-ве-

34

щевой лотереи имеет вид табл. 4, а для денежной лотереи – вид табл. 5:

Для денежно-вещевой лотереи случайная величина выигрыша не есть действительная функция, и математическое ожидание этой случайной величины не имеет смысла. В денежной лотерее мате-

матическое ожидание выигрыша на один билет равно ΣN1 < m. Вы-

численное значение совпадает со значением, подсчитанным по из-

K

вестной из элементарной теории вероятностей формуле ∑Pi ×mi .

i=1

§3.3. Вероятностная модель анизотропного рассеяния

Взадачах переноса частиц необходимой частью алгоритмов Монте-Карло является моделирование направления полета частицы после столкновения. Вероятностная модель акта столкновения неполяризованных частиц с веществом среды предполагает, что рассеяние цилиндрически-симметрично относительно направления

движения частицы перед столкновением, т. е. азимутальный угол ϕ считается распределенным равномерно на [0, 2π], а для полярного угла θ задается индикатриса рассеяния g(μ) – плотность распределения μ = cosθ – косинуса угла рассеяния.

35

График плотности распределения g(μ) изображен на рис. 7.

g(μ)

μ = cosθ

Рис. 7. Вид плотности распределения g(μ)

μ

В соответствии с этим сначала из уравнения ∫ g(μ) dμ =ξ (ξ –

−1

случайное число, ξ [0, 1]) вычисляется μ = cosθ. Затем разыгрывается равномерно распределенный азимутальный угол ϕ.

Описанная модель лучшим образом удовлетворяет понятию случайного эксперимента. На практике при проведении физических экспериментов, позволяющих получить оценку индикатрисы рассеяния, комплекс условий измерения может повторяться до 1024 раз.

В этом примере плотность функции распределения вероятностей случайной величины вводится без указания связи с исходным вероятностным пространством (Ω, A, P) и без употребления терминов порожденное, индуцированное. Пример иллюстрирует ситуацию, описанную в последних 4 абзацах параграфа 1.3, когда в постановке вероятностной задачи не видны ни исходное пространство, ни случайная величина.

36

Заключение

Работа посвящена важному вопросу, возникающему при изучении современной теории вероятностей. Дело в том, что у изучающих часто возникают трудности с пониманием самих основ теории вероятностей, которые сформулированы в аксиоматике Колмогорова. Однако непонимание этих основ в дальнейшем приводит к недопониманию всей теории вероятностей. Речь идет об основных понятиях теории вероятностей – σ-алгебра, измеримое пространство, случайная величина, индуцированное вероятностное пространство, закон распределения, функция распределения, плотность функции распределения, математическое ожидание, и о связях между ними. Эти первые понятия аксиоматики теории вероятностей (и соответствующие понятия теории меры) часто оказываются камнем преткновения на пути усвоения теории. Недостаток таких теоретических знаний ведет к затруднениям при решении практических задач с использованием вероятностного метода Мон- те-Карло.

Традиционное построение вузовского курса теории вероятностей, начинающееся с изучения элементарной теории вероятностей, мало способствует пониманию аксиоматики Колмогорова. Как показывает практика, даже у студентов, отлично решающих задачи по элементарной теории вероятностей, возникают сложности при переходе к абстрактным построениям аксиоматики теории вероятностей, основанной на теории меры. Иначе говоря, усиленное решение задач элементарной теории не убережет от проблем, появляющихся при изучении аксиоматики. Конечно, это не значит, что решать такие задачи не следует. Но не стоит надеяться, что глубина понимания основ теории вероятностей будет пропорциональна числу решенных задач элементарной теории вероятностей.

Главная причина недопонимания теории вероятностей кроется в восприятии теории вероятностей как науки особенной, принципиально отличающейся от детерминистского математического анализа. А ведь аксиоматизация, как говорит Колмогоров, поставила основы теории вероятностей «в ряд общих понятий современной математики». В настоящей работе читателю неоднократно напоми-

37

нают, что в аксиоматизированной теории вероятностей нет речи о чем-то принципиально новом и незнакомом. По сути, теория вероятностей стала просто разделом теории меры. При этом современная теория вероятностей сохранила достижения (и часть терминологии), развитые в работах Бернулли, Гаусса, Чебышева и других корифеев XVIII–XIX веков.

Работа призвана помочь читателю освоить первые понятия современной теории вероятностей. Предполагается, что нетрадиционное изложение, построенное без пугающего изобилия формул, поможет справиться с недопониманием начал этой абстрактной теории и тем самым избежать возможных заблуждений.

Авторы выражают благодарность М. А. Вронскому, В. А. Ельцову, О. В. Коваленко и А. В. Солдакову за полезные критические замечания.

Список литературы

1.Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.

М.: Наука, 1974.

2.Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 7-е. М.: Физматлит, 2004, 2006, 2009.

3.Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

4.Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982.

5.Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962.

6.Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

7.Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. Изд. 2-е, дополненное. М.: Наука, 1982.

8.Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Нау-

ка, 1975.

9.Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.:

Мир, 1969.

38

10.Спанье Дж., Гелбард Э. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1972.

11.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложе-

ния. В 2-х т. Т. 1. М.: МИР, 1984.

12.Чжун К. Л., АитСахлиа Ф. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовая математика. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.

13.Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. 2-е издание. М.: Наука, 1977.

14.Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.

15.Богачев В. И. Основы теории меры. В 2-х томах. МоскваИжевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. Т. 1. Т. 2.

16.Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. Репринтное издание. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

17.Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. Теория инвариантов. Теория чисел. Алгебра. Геометрия. Основания математики. М.: Факториал, 1998.

18.Пуанкаре А. О науке: Пер. с фр. / Под ред. Л. С. Понтрягина. М.: Наука, Физматлит, 1990.

19.Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.

20.Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруп-

пы. М.: ИЛ, 1962.

21.Рисс Ф, Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: МИР, 1979.

22.Горобец Б. С. Круг Ландау. Физика войны и мира. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2008.

39

Приложение А

Предварительные сведения из логики и функционального анализа

Начинающий не должен смущаться, если он обнаружит, что у него не хватает предварительных знаний даже для чтения предварительных сведений.

Пауль Халмош

А.1. Аксиоматический метод и «неопределяемые» понятия. Теорема логики о противоречивой теории

Аксиоматический метод зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря «Началам» Евклида, появившимся около 330–320 гг. до н.э.

Современная трактовка метода принадлежит Гильберту, который создал и современную версию аксиоматического метода, и в раз-

витие этого понятия создал теорию доказательств, ныне называе-

мую метаматематикой [17, с. 563].

Современное построение аксиоматики какой-либо области математики заключается в следующем. Во-первых, перечисляются исходные (неопределяемые) понятия. Во-вторых, указывается список аксиом, устанавливающий некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями. В-третьих, с помощью определений вводятся дальнейшие понятия. В-четвертых, исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах и определениях, доказываются с помощью четко сформулированных правил вывода дальнейшие факты – теоремы.

Список аксиом выделяет из всевозможных совокупностей объектов те, для которых эти аксиомы требуют выполнения определенных свойств и взаимоотношений объектов, и в этом смысле такая система аксиом определяет эти объекты. Как говорил Пуанкаре, аксиомы – это скрытые определения [18, с. 466, 482–483].

С позиций логики между понятиями система аксиом и опреде-

ление нет разницы. И система аксиом, и определение принимаются