К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей. Учебно-методическое пособие

41

введенные понятия. Ясно, что в процессе такой аксиоматизации одинаково естественно называть исходные понятия и первоначаль-

ными, и неопределяемыми.

А.2. Функциональная зависимость

Основное понятие математического анализа – функциональная зависимость. «Понятие функции такое же основное, как и понятие множества» (Ф. Хаусдорф). Страдания большинства школьников на уроках математики в значительной мере объясняются неспособностью овладеть этим понятием на примере нескольких элементарных функций. Однако принято считать, что математики однозначно понимают следующее «общее» определение этого понятия. Пусть даны два непустых множества – {ω: ω Ω} и {x: x X} с элементами ω и x, и дан закон (правило) f, по которому каждому элементу ω из множества Ω ставится в соответствие единственный, обозначаемый f(ω), иногда x(ω), вполне определенный элемент x из множества X. Говорят, что задано отображение множества Ω во множество X и

пишут Ω → X, или f: Ω → X, или Ω f → X . Множество Ω называется областью определения отображения f, а множество X – областью значений отображения f. Говорят также, что задана функция f, определенная на множестве Ω, с областью значений, принадлежащих множеству X. Элемент x = f(ω) X называется образом элемента ω, а элемент ω Ω – прообразомэлемента x при отображении f. Объединение образов всех элементов ω, т. е. множество D = {x: x = = f(ω)}, D X называют образом Ω. D – это множество всех значений, которые может принимать функция f.

Важно отличать понятие функция от понятия значение функции. Однозначно различаются эти понятия при записи соотношений с помощью кванторов или, если заменить букву, обозначающую аргумент функции, точкой – ξ ( ), или, если использовать для функции запись типа ξ: Ω → X. В сводке результатов книги Бурбаки «Теория множеств» – первой книги начал математики, так говорится о хорошо известной природе двойственности выражения f(ω): «Буква может обозначать как определенный (фиксированный) эле-

42

мент некоторого множества, так и произвольный элемент (называе-

мый также переменной, аргументом или общим элементом). Заме-

няя в соотношении (или свойстве) произвольный элемент определенным элементом (того же множества), говорят, что первому придан в качестве значения этот определенный элемент» [19, с. 354].

Термины множество, совокупность, пространство употреб-

ляются как синонимы. Элемент пространства принято называть точкой. Тем самым приведенное выше «общее» определение функции является определением функции точки пространства Ω. Элементами пространства могут быть сами функции. Пространство, точками которого являются функции, принято называть функцио-

нальным пространством.

Термины отображение, функция, оператор, преобразование

употребляются как синонимы, если специально не оговорено противное. Например, иногда термин оператор резервируют для отображения, областью определения которого является функциональное пространство.

Когда областью значений отображения являются вещественные (или комплексные) числа, отображение называют функционалом. Удобство использования термина функционал вместо термина числовая функция отчетливо проявляется, когда областью определения отображения является функциональное пространство.

Спонятием отображение связаны понятия инъекции, сюръекции

ибиекции, и понятие мощности множества. Отображение f: Ω →X называется инъективным, если два различных элемента из Ω имеют образами два различных элемента из X. Отображение называется сюръективным, если каждый элемент из X является образом по

крайней мере одного элемента из Ω. Сюръективное отображение иначе называется отображением на множество X. Термин на выделяет сюръективное отображение из множества всех отображений, которые являются отображениями в.

Отображение называется биективным (или взаимно-однознач-

ным, или биекцией), если каждый элемент из X является образом некоторого, и притом единственного элемента из Ω. Множества X и Ω называются равномощными, если существует биекция. Отображе-

43

ние биективно тогда и только тогда, когда оно одновременно инъективно и сюръективно. Биекция множества на себя называется перестановкой. Отображение множества на себя, определяемое равенством f(x) = x, называется тождественным.

Ванализе отображение f: Ω → X всегда предполагается однозначным. Обратное отображение f –1(x) = {ω: f(ω) = x}, областью значений которого являются точки пространства Ω, является в общем случае многозначной функцией точек пространства X. Однако эта функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками пространства X и полными прообразами этих точек. Точнее, между подмножествами пространства X и полными прообразами этих подмножеств.

Вслучае дискретных пространств Ω и X, т. е. в случае, когда мощность этих пространств является конечной или счетной, функциональная зависимость полностью описывается алгоритмом соответствия между элементами этих пространств, и анализ практически сводится к комбинаторике, конечным суммам или суммированию рядов.

Когда мощность пространств Ω и X становится континуальной, получение каких-либо успехов анализа требует введения структур – дополнительных предположений относительно свойств пространств и отображений. Метрика порождает метрические пространства, топология – топологические, норма – нормированные (а полнота нормированных пространств – банаховы), скалярное произведение – евклидовы и гильбертовы, σ-алгебра – измеримые, вероятность – вероятностные и т. д. Среди этих структур можно выделить три группы: первая группа определяет алгебраические операции, результаты которых не выводят за границы рассматриваемых пространств (говорят: операции замкнуты относительно рассматриваемых пространств), вторая группа определяет топологию пространств, третья описывает соотношения между операциями и топологией. Согласование топологии с алгеброй векторного пространства порождает топологическое векторное пространство с непрерывными алгебраическими операциями. Важнейшим свойством полученной континуальной конструкции является замкнутость к

44

предельному переходу. С понятием предельный переход связаны свойства непрерывности и дифференцируемости отображений.

Предположение измеримости позволяет ввести понятие мера и интеграл Лебега и обобщить на широкий круг пространств и функций классические понятия производной и интеграла Коши–Римана, определяемые в начальных главах математического анализа для действительных функций действительной переменной.

А.3. Алгебры и σ-алгебры множеств. Измеримые простран-

ства. Фазовое пространство

Определение А1. Алгеброй называется система A избранных (в общем случае не всех!) подмножеств множества Ω, если:

Тривиальными примерами σ-алгебр являются следующие системы множеств:

A0 = { , Ω} – самая «бедная» σ-алгебра, состоящая из двух несобственных подмножеств пространства Ω – всего пространства Ω и его пустого подпространства =Ω \ Ω;

Aо = {A: A Ω} – самая «богатая» σ-алгебра, состоящая из всех подмножеств Ω.

Теорема А1. Пусть на множестве Ω задана система некоторых подмножеств D. Тогда существует единственная минимальная σ-ал- гебра, обозначаемая σ(D), содержащая все множества из D. Систе-

45

ма σ(D) является наименьшей в том смысле, что если A – любая σ-алгебра подмножеств Ω, содержащая систему D, то σ(D) A.

Определение А3. σ(D) называется σ-алгеброй, порожден-

ной системой множеств D.

Определение А4. Измеримым пространством называется пара (Ω, A ) – множество Ω вместе с некоторой σ-алгеброй его подмножеств A. Элементы σ-алгебры A называются измеримыми мно-

жествами.

Определение А5. Фазовым пространством называется измеримое пространство (Ω, A ), у которого σ-алгебра A содержит

все одноточечные подмножества Ω.

В физике и в теории случайных процессов точку фазового пространства принято называть состоянием. Отсюда выражение – фазовое пространство состояний процесса.

А.4. Измеримые функции. Борелевские функции. Индикаторная функция. Теорема о представлении вещественной измеримой функции пределом последовательности простых измеримых функций

Классический анализ был развит в первую очередь для работы с непрерывными функциями из R1 в R1. Переход к пределу, играющий главную роль в математическом анализе, в общем случае не сохраняет свойство непрерывности функций. Существенным достижением, связанным с именами Бореля, Бэра и Лебега, явилось введение класса измеримых функций. Этот класс замкнут относительно перехода к пределу последовательности функций. Несмотря на название и на то, что появление измеримых функций обязано развитию теории меры и интеграла Лебега, понятие измеримости функций никак не связано с мерами, а связано лишь с измеримыми множествами и определяется в терминах σ-алгебр.

Существуют различные определения понятия измеримости функций [20, с. 85]. Наиболее общим является следующее определение измеримого отображения, которое приводится Колмогоровым в книгах [1, 2].

46

Определение А6. Пусть (Ω, A1) и (X, A2) – измеримые пространства. Отображение f: Ω → X называется (A1, A2)-измеримым, если полный прообраз любого измеримого множества пространства X является измеримым множеством пространства Ω:

( B A2): f –1(B) A1.

Определение А7. Наименьшая σ-алгебра, порожденная топологией топологического пространства, называется σ-алгеброй борелевских множеств, или борелевской σ-алгеброй, а измеримое отображение f топологического пространства Ω в топологическое X

называется борелевским (или измеримым по Борелю). Из опреде-

лений следует, что любое непрерывное отображение является бо-

релевским.

Определение А8. Пусть (Ω, A ) – измеримое пространство. Вещественная функция f: Ω → R1 называется измеримой или A-из- меримой, если прообраз любого борелевского подмножества R1 является измеримым множеством в пространстве (Ω, A ):

( B B(R1)): f –1(B) A.

Вещественная измеримая функция, т. е. функция f: Ω → R1, представляет основной интерес и в теории интегрирования, и в теории вероятностей. В дальнейшем термин измеримая функция

означает вещественную измеримую функцию.

Вещественная измеримая функция из R1 в R1 является борелевской. Примером борелевских функций f: R1 → R1 являются все кусочно непрерывные функции.

Чем уже σ-алгебра A, тем условие A -измеримости функции f больше ограничивает класс таких функций. Постоянная функция f(ω)≡const является измеримой относительно любой σ-алгебры, в том числе самой «бедной» σ-алгебры – {Ω, }.

чтобы σ-алгебра пространства Ω состояла из четырех множеств: {Ω, , A, A }.

47

Критерий измеримости вещественной функции дает Теорема А2. (Теорема Лузина [2, с. 309]) Функция f(ω), за-

данная на измеримом пространстве (Ω, A ), является A-измеримой, если для всякого числа c R1 измеримыми являются множества

{ω Ω: f(ω) ≤ c}.

Определение А9. Пусть f(ω) – некоторая измеримая функция, заданная на измеримом пространстве (Ω, A ). Система мно-

жеств пространства Ω

Af ={f –1(B), где B B(R1)}

называется σ-алгеброй, порожденной функцией f(ω). Нетрудно убедиться, что Af действительно является σ-алгеброй. Класс функций, измеримых относительно σ-алгебры Af, имеет описание, даваемое следующей теоремой.

Теорема А3. Функция g(ω) является Af-измеримой тогда и только тогда, когда существует борелевская функция ϕ(x), где x R1,

такая что ( ω Ω): g(ω) = ϕ(f(ω)).

Теорема А4. Пусть (Ω, A ) – измеримое пространство. Сложная функция h(ω) = ϕ(f(ω)), ω Ω, h(ω) R1, является A-измеримой, если функция f: Ω → X, где X – топологическое пространство, является A-измеримой, а функция ϕ: X → R1 – борелевской. Функцию

ϕ(f(ω)) называют суперпозициейфункций ϕ и f иобозначают h = ϕ f. Простые арифметические операции – сложение, умножение, деление, выполняемые с конечным или счетным набором измеримых функций, не выводят результат операции за рамки множества

измеримых функций.

Теорема А5. Пусть на измеримом пространстве (Ω, A ) задан счетный набор A-измеримых функций fn, n = 1, 2,…. Тогда измеримыми являются функции:

Определение А10. Измеримая функция f(ω), определенная на измеримом пространстве (Ω, A ), называется простой [2, с. 311] или

48

ступенчатой [9, с. 55], если она представима в виде конечной сум-

Теорема А6. Для всякой неотрицательной измеримой функции f(ω) существует неубывающая последовательность fn(ω) неотрицательных простых измеримых функций, сходящаяся к f(ω), т.е.

0 ≤ fn (ω) ↑ f (ω) при n→∞ для всех ω Ω.

Эта теорема является ключевой в теории интеграла Лебега.

А.5. Меры. Теорема Каратеодори о продолжении мер с алгебры на σ-алгебру. Пространство с мерой. Вероятностная мера

Мера – это аддитивная числовая функция множества, обобщающая следующие понятия:

1)длина отрезка, измеряемая, например, в см;

2)длина дуги окружности радиуса 1 (в радианах от 0 до 2π), т. е. величина плоского угла;

3)площадь области на единичной сфере (в стерадианах от 0 до

4π), т. е. величина телесного угла; 4) объем (в см3) или масса тела (в граммах).

Трудность познания понятия меры как аддитивной функции множества заключается в том, что классический анализ развит для изучения функции точек. Аддитивная функция множества определяется для пары (Ω, A ), т. е. является не функцией отдельных то-

чек пространства Ω, а функцией, имеющей в качестве области определения некоторую определенную систему подмножеств A про-

странства Ω. В силу инерции нашего мышления и особенностей человеческой интуиции, мы предполагаем, что все рассматриваемые «области» пространства имеют «размер», удовлетворяющий свойству счетной аддитивности. Однако попытка определить ненулевой «размер» для всех подмножеств континуального пространства, приводит к противоречиям [3, с. 145; 6, с. 27]. Возникает необходимость ограничить существование «размера» лишь для избран-

50

5) если An A, n = 1, 2, … – возрастающая последовательность

= lim μ( An ).

n→∞

Аксиомы 4 и 5 называются аксиомами непрерывности.

Теорема А7 (теорема Каратеодори). Пусть Ω – некоторое множество, A – алгебра его подмножеств и μ0 – σ-конечная мера на A. Тогда существует и притом единственная мера μ, определенная на (Ω, σ(A )), являющаяся продолжением μ0, т. е. такая, что ( A A ):

μ(A) = μ0(A).

Замечание. Теорема Каратеодори позволяет распространить меру, построенную на алгебре, на порожденную σ-алгебру, т. е. на более «богатое» семейство множеств.

Определение А12. Множество Ω вместе с мерой μ, определенной на некоторой σ-алгебре A, называется пространством с мерой и обозначается (Ω, A, μ).

Конечная мера P на σ-алгебре (Ω, A ) называется вероятностной, если P(Ω) = 1. Пространство (Ω, A, P) называется вероят-

ностным пространством.

Всякую σ-алгебру A можно пополнить множествами вида A N, где A A, а N A0 для некоторого A0, имеющего нулевую меру: μ(A0) = 0. Система множеств A, содержащая множества указанного типа, также является σ-алгеброй. σ-алгебра A и пространство смерой (Ω, A, μ) называются полными (относительно меры μ).

Определение А13. Пусть (Ω, A, μ) – полное пространство с мерой. Если некоторое свойство E выполняется для всех ω Ω0 Ω, где μ(Ω\Ω0) = 0, то говорят, что свойство E выполнено почти всюду или выполнено по мере μ, и пишут (mod μ). Например, если для двух измеримых функций f(ω) и g(ω), заданных на пространстве (Ω, A, μ), выполнено соотношение μ{ω Ω: f(ω) ≠ g(ω)} = 0, то эти