Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Доказательство. Первое равенство вытекает из того факта, что σ(a2)(v) = σ(a2)(v) по предложению 9.5 о множестве неподвижных точек связи. Далее,

σk(a2)σ(b2)(v) = [σk(a2), σ(b2)](v) = [σ(a2), σ(b2)](v)

Последнее равенство верно, поскольку σ(a2) σ(J0) коммутирует с σ(b2) по предложению 8.4 о пирсовской ассоциативности. Последнее же равно [[a2, b2], v] по предложению 8.1 о пирсовской специализации. Лемма доказана.

Следующие полиномы являются тождествами во всех специальных йордановых алгебрах, но не во всех йордановых алгебрах. Мы не доказываем этот факт, хотя сделать это несложно: надо лишь проверить справедливость этих тождеств в специальных йордановых алгебрах (переписав равенства в ассоциативной обертывающей) и найти конкретные значения переменных, при которых эти равенства не выполняются в алгебре Алберта. Впрочем, пользоваться этим мы тоже не будем.

Операторное тождество Тэди:

T11(x, y, z) = UU[x,y]z − U[x,y]UzU[x,y].

Тождество Глени G8 (в формулировке Шестакова):

[[x, y]3, z2] = {z, [[x, y]3, z]}.

Тождество Глени G9 (в формулировке Шестакова):

[[x, y]3, z3] = {z2, [[x, y]3, z]} + Uz[[x, y]3, z].

Последние два получаются из того факта, что [[x, y]3, z] — это дифференцирование в специальных йордановых алгебрах.

Упражнение 19.C. Было бы неплохо придумать алгоритм, позволяющий доказывать, что эти равенства являются тождествами в специальных йордановых алгебрах, но не во всех йордановых алгебрах. Применять этот алгоритм не нужно — это очень трудоемко.

211

19.2.Теорема Осборна

Итак, мы готовы. Огненный шар заряжался 19 глав. Только явным образом в доказательстве следующей теоремы мы используем 23 утверждения из 11 глав нашего курса.

Теорема 19.2 (Теорема Осборна о степени 2). Простая невырожденная йорданова алгебра степени 2 изоморфна одной из следующих:

1) M2(∆)+ H2(Ex(∆), ex), где ∆ — некоммутативное тело

∆;

2)H2(∆, Γ), где ∆ — тело с нецентральной инволюцией;

3)RedSpin(q), где q — невырожденная квадратичная форма над полем Ω.

Доказательство. Шаг 1. Пусть J — простая невырожденная йорданова алгебра степени 2. По предложению 9.8 о создании инво-

имеет один из типов в теореме (в случае 2) Γ = E), то J = J

тоже имеет один из этих типов. В самом деле, диагональный изотоп RedSpin(q) имеет такой же тип по предложению 6.4 о изотопах квадратичного фактора; любой изотоп (A+)(u) = (Au)+ A+ полной алгебры M2(D)+ = A+ изоморфен M2(D)+ по предложению 6.5 о полном изотопе; любой диагональный изотоп H2(D, ) изоморфен H2(D, Γ) по предложению 6.7 о матричном изотопе.

Шаг 2. Всюда далее считаем, что J обладает строгой степенью 2: 1 = e2 + e0, где ei Ji — полностью примитивные идемпотенты, строго связные с помощью v = v1 J1, x = Uv(x) — инволюция связи. Пусть D End(J1) — подалгебра, порожденная σ(J2). Пусть

212

В самом деле, (1) уже замечали раньше, (2)-(3) вытекают из предложений 9.4 и 9.5. По (2) S1 состоит из элементов x таких, что σ(ti(x)) = 0, что эквивалентно ti(x) = 0 по лемме 8.2 о пирсовской инъективности (в силу инъективности Uv1 по критерию обратимости 5.1), так что справедливо (4). Если h1 = σ(a2)v необратим, то по критерию внедиагональной необратимости 17.5

0 = q2(h1) = q2({q2, v}) = Ua2 q2(v) = a22.

Предпоследнее равенство верно по правилам q-композиции 8.5. Но тогда a2 = 0, поскольку J2 — алгебра с делением, значит h1 = 0.

Шаг 3. Мы хотим показать, что диагональные косые следы зануляют J1 в точности в том случае, когда J относится к третьему типу, то есть является редуцированной алгеброй квадратичной формы.

Спин-соотношение Пирса эквивалентно спин-соотношению инволюции (лемма 10.6), которое можно записать как (a2 −a2)◦J1 = 0 или как σk(J2)J1 = 0. Если это равенство выполнено, то выполнено спин-соотношение Пирса, и по теореме 10.7 о координатизации строгих спин-фреймов мы получаем, что J RedSpin(q) над полем Ω J2+. Алгебра RedSpin(q) невырождена тогда и только тогда, когда форма q невырождена по предложению 4.14 о невырожденности факторов. Тем самым мы получаем в точности алгебру третьего типа из формулировки теоремы.

Всюду далее считаем, что диагональные косые следы не зануляют все J1, т.е.

Шаг 4. В силу (1) и (6)

σk(J2)H1 σk(J2)S1 = σk(J2)J1 ̸= 0.

Получается, либо косые следы зануляют S1, но не H1, либо косые следы не зануляют S1. Покажем, что первая ветка невозможна.

Допустим, σk(J2)S1 = 0. Тогда

σ(a2)s1 = σ(a2)s1 = −σ(a2)s1 = −σ(a2)s1.

Таким образом, D(S1) S1, поскольку σ(a2) порождают D. Кроме того, с применением предложения 8.7 и (3) получим

213

Далее, пусть z1 σk(a2)H1. Тогда

z1 = σk(a2)h1 = σ(a2 − a2)σ(b2)v = [[a2, b2], v] Dv.

Последнее верно по лемме 19.1 о пирсовском коммутаторе. Кроме того, z1 = σ(a2 − a2)h1 = −z1, то есть z1 S1 ∩ Dv, а значит, по (3.1) q0(z1, H1) q0(z1, Dv) = 0, так что q0(z1, J1) = 0, то есть σk(a2)H1 Rad(q0). Но J невырождена, значит, q невырождена по предложению 8.8 о q-невырожденности, откуда σk(J2)H1 = 0. Противоречие с (6), так что σk(J2)S1 ̸= 0.

Шаг 5. Всюду далее считаем, что диагональные косые следы

Докажем, что каждый внедиагональный косой элемент s1 S1 либо лежит в D(v), либо зануляется всеми диагональными косыми следами:

В самом деле, в силу (8) найдется h = σk(a2)s ̸= 0. Поскольку s и Sktr(a2) косоэрмитовы, то h эрмитов, а значит, в силу (5) h обратим.

Допустим, s необратим. Тогда для b = Sktr(a2) J2 + J0 полу-

чаем

Us(b), Us(b2), s2 Us(J2 + J0) = 0

по критерию внедиагональной необратимости 17.5. Таким образом, по принципу Макдональда 4.1

h2 = {b, s}2 = {b, Us(b)} + Us(b2) + Ub(s2) = 0.

Противоречие с обратимостью h. Таким образом, s обратим. Шаг 6. Итак, h = σk(a2)s ̸= 0, причем h и s обратимы. Поло-

жим

d2 = Us−1 (a2), s2 = q2(s), c2 = a22 − {a2, s2, d2} + Ud2 (s22) J2,

d= σ(a2) − σ(s2)σ(d2), dρ = σ(a2) − σ(d2)σ(s2) D.

Вэтих обозначениях

h = σ(a2 − a2)s = σ(a2)s − Vs(a2) =

=σ(a2)(s) − VsUs(d2) = σ(a2)(s) − Us2,s(d2).

214

Последнее получено по коммутирующей формуле (теорема 4.7). Далее, используем теорему 7.4 о пирсовском умножении и предложение 8.1 о пирсовской специализации:

σ(a2)(s) − Us2,s(d2) = σ(a2)(s) − {q2(s), d2, s} =

= (σ(a2) − σ(s2)σ(d2))(s) = d(s).

Кроме того, получаем серию операторных равенств

dρd = (σ(a2) − σ(d2)σ(s2))(σ(a2) − σ(s2)σ(d2)) =

=σ(a2)σ(a2) − (σ(a2)σ(s2)σ(d2)+

+σ(d2)σ(s2)σ(a2)) + σ(d2)σ(s2)σ(s2)σ(d2).

Тогда, по предложению 8.1 о пирсовской специализации, получаем

dρd = σ(a22 − {a2, s2, d2} + Ud2 (s22)) = σ(c2).

Шаг 7. Итак, имеем

h = d(s), dρd = σ(c2).

В силу обратимости h, по критерию внедиагональной необратимости и по двукратному применению предложения 8.7 получаем

0 ̸= 2q0(h) = q0(d(s), d(s)) = q0(dρd(s), s) = q0(σ(c2)s, s).

Таким образом, c2 ̸= 0, так что c2 обратим в алгебре с делением J2. Но тогда из формулы

σ(c2)(s) = dρd(s) = dρ(h)

мы получаем следующее выражение

s = σ(c−2 1)dρ(h) D(v),

поскольку h H1 D(v) в силу (3). Итак, (8) доказано.

Шаг 8. В силу (7) существует такой s S1, что σk(J2)s ̸= 0, причем в силу (8) s D(v). Если σk(J2)t = 0, то σk(J2)(s + t) ̸= 0, откуда в силу (8) s + t D(v). Но тогда s + t − s = t D(v). Таким образом, S1 D(v). Но в силу (3) H1 D(V ), так что

J1 = D(v).

215

Итак, алгебра J содержит строгий циклический 2-фрейм, так что по теореме 11.6 о строгой 2 × 2 эрмитовой координатизации имеем

J H2(D),

причем v 1[12] и алгебра D эрмитово порождена. Из леммы 3.7 об эрмитовой матричной алгебре и из (6) получаем, что инволюция нецентральна. Поскольку J невырождена, то и D невырождена по предложению 4.13 о невырожденности матричной йордановой алгебры. Кроме того, H(D) J2 является алгеброй с делением. Однако степень равна двум, поэтому ненулевые элементы H(D) обратимы в D. По теореме Херстейна — Клейнфелда — Осборна 18.8 либо D = Ex(∆), либо D = ∆, либо D — композиционная алгебра над своим -центром Ω. Однако последний случай невозможен, поскольку, как мы заметили, в D инволюция нецентральна в силу

(6). Таким образом, остаются только варианты, перечисленные в формулировке теоремы. Теорема доказана.

Упражнение 19.D. В силу принципа Макдональда справедливо равенство

{x, y}2 = {x, Uy(x)} + Uy(x2) + Ux(y2).

Убедимся, что все гости пришли с приглашением.

Теорема 19.3 (обращение теоремы Осборна). Все алгебры из формулировки теоремы Осборна являются простыми невырожденными йордановыми алгебрами степени 2.

Доказательство. Они, очевидно, обладают связной степенью 2. Остается заметить, что алгебра RedSpin(q) невырождена по предложению 4.14 о невырожденности факторов; алгебра H2(D, ) невырождена по предложению 4.13 о невырожденности матричной йордановой алгебры; алгебра H2(D, Γ) H2(D, )(Γ) невырождена по предложению 6.3 о йордановом гомотопе и предложению 6.7 о матричном изотопе. Простота алгебры вытекает из теоремы 17.8. Теорема доказана.

19.3.Классическая структурная теорема

Мы готовы. Классическая структурная теория завершена.

216

Теорема 19.4 (Классическая структурная теорема). Йорданова алгебра является невырожденной алгеброй конечной степени n N в том и только том случае, когда она является прямой суммой конечного числа своих простых идеалов конечной степени, каждый из которых изоморфен одной из следующих алгебр:

(n = 1) : J0 — йорданова алгебра с делением;

(n = 2) : RedSpin(q), где q — невырожденная квадратичная форма над полем;

(n ≥ 2) : Mn(∆)+, где ∆ — некоммутативное тело;

(n ≥ 2) : Hn(∆, Γ), где ∆ — тело с нецентральной инволюцией; (n ≥ 3) : Hn(C, Γ), где C — композиционная алгебра размерности 1,2,4 или 8 над своим центром (размерности 8 только при n = 3).

Первая формулировка основывалась на степени. Переформулируем теорему с точки зрения внешних структурных особенностей.

Теорема 19.4 (Классическая структурная теорема). Йорданова алгебра является невырожденной алгеброй конечной степени в том и только том случае, когда она является прямой суммой конечного числа своих простых идеалов, каждый из которых изоморфен одной из следующих алгебр:

1)йорданова алгебра с делением;

2)квадратичный фактор Jord(Q, c), где Q — невырожденная квадратичная форма с базой c над полем (размерности больше 2);

3)алгебра эрмитовых элементов H(A, ) некоторой ассоциативной артиновой -простой алгебры A;

4)исключительная 27-мерная алгебра Алберта над полем. Алгебры вида H(A, ), где A — ассоциативная артинова -

простая алгебра, можно подробнее представить следующим образом:

1)Mn(∆)+, где ∆ — тело (A будет -простой, но не простой, A = Ex(B), где B = Mn(∆) — простая артинова);

2)Hn(∆, Γ), где ∆ — тело с инволюцией (A = Mn(∆) — простая артинова с инволюцией);

3)Hn(Q, Γ), где Q — кватернионы над полем со стандартной инволюцией (A = Mn(Q) — простая артинова с симплектической инволюцией).

217

Список литературы

1.McCrimmon K. A Taste of Jordan Algebras. N.Y.: Springer, 2004.

2.Пожидаев А.П., Сверчков С.Р., Шестаков И.П. Лекции по алгебре: в 2 ч. Новосибирск: НГУ, 2022. Ч. 1.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: МЦНМО, 2018. Ч. 3. Основные структуры алгебры.

4.Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

218