Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Глава 5.

Обратимые элементы

Понятие обратимых элементов играет важную роль в теории ассоциативных или ассоциативных и коммутативных колец. В йордановых алгебрах эти элементы так же существенно сказываются на структурной теории. На них основаны и методы изотопии, и понятие степени.

5.1.Йорданова обратимость

Правильно введенные понятия решают любую задачу. Как мы уже замечали, квадратичный U-оператор заменяет во всех ситуациях обычный оператор умножения. Как удобно идти по стопам великих — не нужен метод проб и ошибок, и можно просто наслаждаться красотой получающихся объектов и результатов.

Определение. Элемент x унитальной йордановой алгебры J называется обратимым, если у него существует обратный y (обозначаемый через x−1), удовлетворяющий йордановым условиям обратимости:

Йорданова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы, называется йордановым телом или йордановой алгеброй с делением.

Легко видеть, что в ассоциативных алгебрах элементная и операторная обратимость связаны: Lx−1 = (Lx)−1. В йордановых ал-

81

гебрах вместо оператора умножения выступает квадратичный U- оператор (наверное, мы больше не будем это напоминать).

Предложение 5.1 (критерий обратимости). Для элемента x унитальной йордановой алгебры J следующие условия эквивалентны:

1)элемент x обратим в J;

2)оператор Ux обратим на J;

3)оператор Ux сюръективен на J;

4)единица 1 лежит в образе оператора Ux.

Доказательство. 2)→ 3)→ 4) очевидно. 4)→ 2) Если Uxa = 1, то

idJ = U1 = UxUaUx,

так что Ux имеет левый и правый обратный (UxUa и UaUx соответственно).

1)→ 4) Очевидно, поскольку Ux(x−1)2 = 1.

2)→ 1) Рассмотрим y = (Ux)−1x. Тогда Uxy = x. Поскольку 2) эквивалентно 4), то Uxa = 1 для некоторого a J. Тогда, используя фундаментальную формулу, получаем:

Uxy2 = UxUy1 = UxUyUxa = UUxya = Uxa = 1.

Предложение доказано.

Через U-оператор элемента и сам элемент вполне можно вычислить обратный ему элемент. Порой нам будет это удобно.

Предложение 5.2 (формулы обратимости). Пусть x обратим в унитальной йордановой алгебре J. Тогда

x−1 = (Ux)−1x,

Ux−1 = Ux−1,

Lx−1 = Ux−1Lx.

В частности, Lx коммутирует с Lx−1 .

Доказательство. По критерию обратимости Ux обратим. Тогда из Uxx−1 = x вытекает x−1 = Ux−1x. Далее, по фундаментальной формуле

UxUx−1 Ux = UUxx−1 = Ux.

82

Умножая слева и справа на Ux−1, получаем

Ux−1 = Ux−1.

Теперь заметим, что линеаризация фундаментальной формулы дает

UxUy,zUx = UUx(y),Ux(z).

Тогда по коммутирующей формуле получаем

UxVx−1 Ux = Ux(Ux−1,1)Ux = UUxx−1,Ux1 = Ux,x2 = VxUx.

Домножая на Ux−1 справа и слева, получаем

Lx−1 = Ux−1Lx.

Осталось заметить, что Lx перестановочен с Ux, а значит, и с Ux−1. Предложение доказано.

Упражнение 5.A. В ассоциативной алгебре элементы x и y перестановочны тогда и только тогда, когда их обратные x−1 и y−1 перестановочны.

Упражнение 5.B. Ассоциативная алгебра является телом тогда и только тогда, когда она не содержит собственных односторонних идеалов.

В йордановом случае имеет место аналогичное утверждение.

Предложение 5.3 (критерий тела). Для унитальной йордановой алгебры J следующие условия эквивалентны:

1)J — йорданова алгебра с делением;

2)J не содержит тривиальных элементов и собственных главных внутренних идеалов;

3)J не содержит собственных замкнутых главных внутренних идеалов;

4)J не содержит собственных внутренних идеалов.

Доказательство. Поскольку алгебра унитальна, то главный

внутренний идеал имеет вид (x] = (x) = UxJ. Заметим также, что (x) = J [x] = J, поскольку (x) (x] и если [x] = J, то J = U1J U[x]J (x) по предложению 4.9 о главных внутренних идеалах.

J — йорданова алгебра с делением (п.1) все ненулевые x J обратимы условие x ̸= 0 влечет (x] = J (по критерию обратимости, п.3) если x ̸= 0, то (x] ̸= 0 и (x] ̸= 0 влечет (x] = J в

83

J нет тривиальных элементов и собственных главных внутренних идеалов (п.2) если x ̸= 0, то [x] = J (п.3).

Таким образом, 1), 2) и 3) эквивалентны. 4)→ 3) очевидно.

3)→ 4). Пусть B — ненулевой внутренний идеал в J. Тогда 0 ̸= x B и [x] ̸= 0. Но тогда B [x] = J и B = J. Предложение доказано.

Стандартное упражнение из курса высшей алгебры гласит, что левый и правый обратный в ассоциативном кольце совпадают. Иногда полезно почувствовать себя первокурсником.

Предложение 5.4 (об ассоциативном обратном). Пусть A

является унитальной ассоциативной алгеброй. Если xy = 1 и zx = 1, то z = y. В частности, обратный элемент в ассоциативной алгебре единственен.

Упражнение 5.C. Доказать предложение 5.4.

5.2.Линейные условия обратимости

Изучим, какие элементы являются обратимыми в уже знакомых нам йордановых алгебрах, и научимся вычислять обратные элементы.

Предложение 5.5 (обратимые в специальной). 1) Пусть

A — ассоциативная унитальная алгебра. Если J A+ — унитальная подалгебра, то элементы x, y J обратны друг другу тогда и только тогда, когда они являются ассоциативными обратными

xy = yx = 1.

В частности, x обратим в J тогда и только тогда, когда x обратим в A и обратный к x лежит в J.

2)Если A — ассоциативная унитальная алгебра, то элемент x имеет обратный y в алгебре A+ тогда и только тогда, когда он имеет обратный y в алгебре A. Кроме того, ассоциативные и йордановы обратные совпадают. Алгебра A+ — йорданова алгебра с делением тогда и только тогда, когда A — ассоциативная алгебра с делением.

3)Если A — ассоциативная унитальная алгебра с инволюцией ,

84

то элемент в H(A, ) обратим тогда и только тогда, когда он обратим в A. Алгебра H(A, ) — йорданова алгебра с делением тогда и только тогда, когда A — ассоциативная алгебра с делением.

Доказательство. 1) Если xy = yx = 1, то Uxy = xyx = x и Uxy2 = xyyx = 1 по теореме 3.2 о полной йордановой алгебре.

Пусть Uxy = x и Uxy2 = 1. Тогда xyx = x и xy2x = 1. Домножим xyx = x на y2x справа, получим

(xyx)(y2x) = xy2x,

xy(xy2x) = 1,

xy = 1.

Аналогично получаем yx = 1.

2)Берем в п.1. J = A+.

3)Берем в п.1. J = H(A, ). Осталось заметить, что x и x−1 одновременно эрмитовы или неэрмитовы. Но это очевидно:

x = x → 1 = 1 = (x−1x) = x (x−1) = x(x−1) ,

откуда в силу предложения 5.4 об ассоциативном обратном в ассоциативной вытекает, что x−1 = (x−1) . Предложение доказано.

Упражнение 5.D. В конце пункта 1) справедливо yx = 1.

Теперь можно посмотреть и на алгебру квадратичной формы.

Предложение 5.6 (о обратимых в факторах). Элемент x

алгебры квадратичной формы Jord(Q, c) обратим тогда и только тогда, когда его норма Q(x) обратима в Φ. В этом случае обратный элемент и его норма имеют вид:

x−1 = Q(x)−1x, Q(x−1) = Q(x)−1,

Допустим, Φ — поле. В этом случае Jord(Q, c) является йордановой алгеброй с делением тогда и только тогда, когда Q является анизотропной квадратичной формой.

Доказательство. Если y — обратный к x, то

1 = Q(c) = Q(Uxy2) = Q(x)2Q(y)2,

так как норма допускает йорданову композицию по теореме 3.9 о квадратичном факторе.

85

Таким образом, Q(x) — обратимый скаляр. Но

Q(x) = Q(Uxy) = Q(x)Q(y)Q(x).

Домножая на Q(x)−1, получаем

1 = Q(y)Q(x) = Q(x)Q(y).

Обратно, пусть Q(x) обратим. Из теоремы о квадратичном факторе

вытекает

x2 − T (x)x + Q(x)c = 0.

Тогда для y = Q(x)−1(T (x)1 −x) = Q(x−1)x справедливо равенство

x ◦ y = 1.

Но по теореме 4.6 о моноассоциативности

Uxy = 2x ◦ (x ◦ y) − x2 ◦ y = x ◦ (x ◦ y) = x,

Uxy2 = x ◦ (x ◦ y2) = (x ◦ y)2 = 1.

Таким образом, y = x−1 — йорданов обратный. Предложение доказано.

Последние два предложения намекают на то, что мы правильно поступили, стартовав с U-оператора и подобрав соответствующее определение обратимости. Может быть, оно эквивалентно классическому? Оказывается, это не совсем так.

Лемма 5.7 (о линейных условиях на обратный). Элемент x унитальной йордановой алгебры имеет обратный элемент y тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

Доказательство. Квадратичные и линейные условия на обратный выполнены в йордановой алгебре, порожденной элементами x и y. Таким образом, по следствию 4.5 нам достаточно проверить утверждение в алгебрах A+. То есть можно считать, что J = A+.

На самом деле оба условия эквивалентны ассоциативным условиям. В предложении 5.5 о обратимых в специальных мы видели, что квадратичная обратимость эквивалентна ассоциативной. Пусть теперь xy = yx = 1. Тогда

x ◦ y = 12(xy + yx) = 1,

86

x2 ◦ y = 12(x2y + yx2) = 12(x + x) = x.

Обратно, пусть выполнены линейные условия обратимости. Тогда

xy + yx = 2.

Домножим это равенство на x слева и справа (по отдельности):

x2y + xyx = 2x = xyx + yx2,

откуда

x2y = yx2,

но

12(x2y + yx2) = x,

так что

x2y = yx2 = x,

поэтому

xy = (yx2)y = y(x2y) = yx.

Тогда из xy + yx = 2 получаем xy = yx = 1. Лемма доказана.

Обратный к произведению есть произведение обратных в обратном порядке: легкое и понятное утверждение для классической обратимости в ассоциативном случае. В нашем случае все несколько усложняется, но все получается не менее красиво.

Предложение 5.8 (о произведении обратных). 1) Обратимость U-произведения эквивалентна обратимости обоих множителей: Uxy обратим тогда и только тогда, когда x и y обратимы;

при этом

(Uxy)−1 = Ux−1 y−1.

2) Обратимость степени эквивалентна обратимости основания: xn обратим тогда и только тогда, когда x обратим; при этом

(xn)−1 = (x−1)n = x−n, Ux−n = (Ux)−n.

3) Обратимость прямого произведения эквивалентна обратимо-

Q

сти всех компонент: если J = Ji — прямое произведение уни-

Q

тальных йордановых алгебр, то x = xi обратим в J тогда и только тогда, когда все xi обратимы в Ji; при этом

Yxi −1 = Yx−i 1.

87

Доказательство. 1) Uxy обратим UUxy = UxUyUx обратим (по критерию обратимости 5.1) Ux и Uy обратимы (UxUyUxD = id, так что Ux имеет правый обратный, аналогично у него есть левый обратный, значит он обратим, так что UxF = F Ux = id, значит UyUxDUx = F UxUyUxDUx = F Ux = id, слева аналогично) x и y обратимы (по критерию обратимости). Причем в этом случае по формулам обратимости 5.2 получаем

(Uxy)−1 = (UUxy)−1(Uxy) = (UxUyUx)−1(Uxy) =

= Ux−1 Uy−1 y = Ux−1 y−1.

2) Первая часть получается индукцией из п. 1. Вторая часть получается без индукции из п. 1:

Ux−n = U(xn)−1 = (Uxn )−1 = (Uxn)−1 = Ux−n.

Здесь второе равенство получено по формулам обратимости 5.2, а третье равенство — в силу теоремы о моноассоциативности 4.6.

3) Очевидно. Предложение доказано.

Упражнение 5.E. Пункт 3 в предыдущем предложении имеет место.

Упражнение 5.F. xn обратим тогда и только тогда, когда x обратим.

Рано или поздно в математике начинается переопределенность слов. К сожалению, нам не хватает красивых терминов.

Определение. Элемент u порядка 2 в унитальной йордановой алгебре J, u2 = 1, называется инволюцией в алгебре J. Соответствующий оператор Uu называется инволюцией на алгебре J, соответствующей u.

Инволюции (т.е. элементы периода 2) будут важны для нас при изучении алгебр степени ≥ 1. Впрочем, назвать элемент инволюцией — еще куда ни шло. Но называть оператор инволюцией опасно. Для этого ему следовало бы являться инволюцией.

Лемма 5.9 (о инволюции). Если u — инволюция в унитальной йордановой алгебре J, то инволюция Uu является антигомоморфизмом порядка 2, т.е. Uu2 = idJ .

Доказательство. По фундаментальной формуле

Uu2 = UUu1 = UuU1Uu = Uu2 = U1 = id.

88

Таким образом, Uu обратим. Тогда по критерию обратимости 5.1 u тоже обратим.

Чтобы отображение φ = Uu было гомоморфизмом, достаточно проверить, что оно сохраняет квадраты:

φ(x2) = Uu(x2) = UuUx(1) = UuUx(u2) = UuUxUu(1) =

= (UUux)(1) = (Uux)2 = (φ(x))2.

Таким образом, Uu — гомоморфизм. Он обратим, значит Uu — автоморфизм алгебры J. На коммутативных алгебрах антиавтоморфизмы и автоморфизмы совпадают. Лемма доказана.

5.3.Обратимость по фон Нейману. Ядерная обратимость

Этот маленький параграф может казаться несколько вырожденным. Но на ядерных обратных строится теория изотопов, которая волшебным образом выстраивает из парочки примеров всю структурную теорию. К тому же эти объекты достаточно приятные.

Определение. Элемент x произвольной унитальной алгебры A называется обратимым по фон Нейману, если у него есть

обратный по фон Нейману y, т.е. xy = yx = 1 и операторы

Lx, Rx, Ly, Ry попарно коммутируют.

Заметим, что обратный по фон Нейману единственный. Если найдется y′ — второй обратный для x, то

y′ = Ly′1 = Ly′Lxy = LxLy′y = LxRyy′ = RyLxy′ = Ry1 = y.

В йордановых алгебрах элементы x, y взаимно обратные тогда и только тогда, когда они взаимно обратные по фон Нейману. В самом деле, пусть y — обратный к x, т.е. x ◦ y = 1, x2 ◦ y = x по линейным условиям на обратный 5.7. Тогда по формулам обратимости 5.2 Lx = Rx коммутирует с Ly = Ry. Обратно, пусть x, y — взаимно обратные по фон Нейману. Тогда

x2 ◦ y = LyLx(x) = LxLy(x) = Lx1 = x.

Предложение 5.10 (о ядерных обратных). Если ядерный элемент u N(A) унитальной алгебры A удовлетворяет условию

89

uv = vu = 1 для некоторого v A, то тогда v тоже ядерный, v

N(A). В этом случае Lu = (Lv)−1, Ru = (Rv)−1, такой v определен единственным образом: v = u−1 = L−u 11 = Ru−11. Операторы Lu,

Ru, Uu = LuRu, Vu = Lu + Ru, Lu−1 , Ru−1 , Uu−1 = Lu−1 Ru−1 ,

Vu−1 = Lu−1 + Ru−1 все попарно коммутируют. В частности, u, v — взаимно обратные по фон Нейману.

Доказательство. Сперва докажем, что v ядерный. Пусть a, b A. Тогда a = 1a = (uv)a = u(va) = ua′, где a′ = va. Тогда

(v, a, b) = (v, ua′, b) = (vua′)b − v(ua′b) = a′b − (vu)(a′b) = 0.

Аналогично

(b, v, a) = (b, v, ua′) = (bv)(ua′) − b(vua′) = (bvu)a′ − ba′ = 0.

Кроме того, b = (bv)u = b′u, где b′ = bv. Тогда:

(a, b, v) = (ab′u)v − a(b′uv) = (ab′)(uv) − ab′ = 0.

Таким образом, v N(A). Теперь получим нужные формулы для обратных:

LuLv = Luv = L1 = idA,

LvLu = Lvu = L1 = idA,

то есть Lv — обратный к Lu. Аналогично, Rv — обратный к Ru. Тогда Ru(v) = Lu(v) = 1, то есть v = L−u 1(1) = Ru−1(1) и v определен единственным образом.

Все операторы в формулировке предложения лежат в подалгебре, порожденной Lu, Lu−1 , Ru, Ru−1 , которые попарно коммутируют, значит эта подалгебра коммутативна. Предложение доказано.

90