Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Глава 6.

Изотопы

Важно уметь строить по одним алгебрам другие. Метод изотопии не имеет шансов в ассоциативной теории: как мы увидим, такие изотопы изоморфны исходной алгебре. Однако в неассоциативном случае эта механика внезапно работает: мы получаем похожие алгебры, но не изоморфные.

6.1.Ядерные изотопы

Если у нас есть какое-то умножение, то один из очевидных способов его «испортить» — это расположить между двумя множителями еще один. Необходимо, чтобы не было проблем с расстановкой скобок. Еще было бы неплохо сохранить унитальность (хотя единица может поменяться). Эти размышления приводят к следующей терминологии.

Определение. Пусть A — унитальная алгебра и u N(A) — ядерный элемент с ядерным обратным. Тогда ядерный u-изотоп Au — это алгебра на Φ-модуле A, но со следующим умножением:

xuy = xuy.

Как легко видеть, новая алгебра оказывается изоморфна прежней.

Предложение 6.1 (свойство ядерного изотопа). Если u —

обратимый ядерный элемент в унитальной алгебре A, то изотоп

91

Au изоморфен A относительно φ : Au → A, где φ = Lu или φ = Ru. В частности, u−1 = 1u — единица в алгебре Au. Выполнены следующие соотношения для u, v N(A) :

A1 = A, (Au)v = Auvu, (Au)u−2 = A.

Доказательство. По предложению о ядерных обратных 5.10 = (Lu)−1, так что φ = Lu — биекция. Осталось заметить, что

φ(xuy) = u(x(uy)) = (ux)(uy) = φ(x)φ(y).

Кроме того,

u−u 1y = (u−1u)y = y, yuu−1 = y(uu−1) = y.

Остальные соотношения вытекают из следующих очевидных равенств:

x1y = xy, (xuv)uy = xuvuy = xuvuy, xuu−u 2y = xy.

Предложение доказано.

Упражнение 6.A. “Остальные соотношения” действительно выполняются.

Предыдущее предложение чуть не разрушило надежды на пользу изотопов. Но стоит добавить инволюцию, как выясняется, что изотопия «портит» только одно из двух: или умножение, или инволюцию.

Предложение 6.2 (об эрмитовой скрутке). Если u — обратимый ядерный элемент в унитальной алгебре A с инволюцией, причем u H(A, ), то остается инволюцией и на изотопе Au. Кроме того, можно рассмотреть новую инволюцию u :

x u = ux u−1.

Изотопная инволюция u является инволюцией на алгебрах A и Au. Кроме того, A изоморфна Au, как алгебра с инволюцией относительно изоморфизма Lu. В частности,

H(A, u) = uH(A, ).

Доказательство. Отображение является линейным периода 2. Остается проверить антигомоморфность на Au:

(xuy) = (xuy) = y (xu) = y u x = y ux = yux .

92

Теперь докажем, что u — инволюция на A и Au. Во-первых, x u u = (ux u−1) u = u(ux u−1) u−1 = ((uu−1)x)(uu−1) = x.

Во-вторых,

(xy) u = u(y x )u−1 = (uy )(x u−1) =

= (uy u−1u)(x u−1) = (uy u−1)(ux u−1) = y u x u .

В-третьих, по доказанному инволюция на алгебре является инволюцией на изотопе. Но A = (Au)u−2 по свойствам ядерного изотопа 6.1, так что u — инволюция на A. Осталось заметить, что

φ(x ) = ux = (ux )(u u−1) = u(x u u−1) =

= (u(x u ))u−1 = u(ux) u−1 = (ux) u = (φ(x)) u .

Последнее утверждение вытекает из того, что -изоморфизм сохраняет эрмитовы элементы. Предложение доказано.

Упражнение 6.B. Если u — обратимый ядерный эрмитов элемент, то -алгебра (Au, ) изоморфна -алгебре (A, u−1 ) относительно изоморфизма Ru.

Упражнение 6.C. Если u — обратимый ядерный элемент, а u = −u, то -алгебра (Au, −) изоморфна -алгебре (A, u) относительно изоморфизма Lu.

Таким образом, мы получаем другую алгебру с инволюцией: либо мы сохраняем умножение, меняя инволюцию, либо сохраняем инволюцию и получаем новое умножение с поправкой на оператор левого умножения. Этот способ позволяет получать новые йордановы алгебры.

6.2.Йордановы изотопы

Оставить элемент посередине между двумя элементами йордановой алгебры несколько проблематично, расстановка скобок непонятна. К тому же должна быть корреляция с ассоциативным случаем. Но все очевидно. Умножение — это йорданова скобка. Мы хотим разместить третий элемент посередине. Превращаем скобку в тройную и располагаем элемент между прежними аргументами.

93

То есть это, конечно, почти соответствует ассоциативному случаю, только мы умножаем двумя разными способами и складываем, но это не играет роли. Если что-то получается красиво, значит это правильно. В этом суть математики.

Предложение 6.3 (о йордановом гомотопе). 1) Пусть J

— йорданова алгебра, u J. Тогда мы можем определить новую йорданову алгебру, u-гомотоп J(u), на том же Φ-модуле, но с новым произведением:

x ◦(u) y = 12{x, u, y}.

Далее x(2,u) обозначает квадрат в J(u), остальные операторы в J(u) обозначаются как обычно, но с верхним индексом (u). Тогда вспомогательные произведения в J(u) имеют вид:

2)Если J унитальна, то u-гомотоп будет унитальным тогда и только тогда, когда u обратим. В этом случае 1(u) = u−1, и мы будем называть J(u) u-изотопом.

3)Элемент тривиален (обратим) в J тогда и только тогда, когда он тривиален (обратим) в J(u). Причем

x(−1,u) = Uu−1x−1.

В частности, J — алгебра с делением тогда и только тогда, когда J(u) — алгебра с делением.

4) Будем говорить, что унитальные йордановы алгебры J и J′ изотопны, если одна изоморфна изотопу другой. Изотопия является отношением эквивалентности:

Доказательство. 1) Последовательно вычислим квадрат, скобку и U-оператор в гомотопе:

x(2,u) = 12{x, u, x} = 12Ux,xu = Uxu,

94

Vx(u)y = {x, y}(u) = {x, u, y} = Vx,u(y),

2Ux(u) = (Vx(u))2 − Vx((2u),u) = Vx,uVx,u − VUxu,u = 2UxUu.

Последнее равенство верно в силу операторной теоремы Макдональда 4.2, поскольку в полной алгебре выполнено:

(Vx,uVx,u − VUxu,u)z = xu(xuz + zux) + (xuz + zux)ux − Vxux,uz =

=xuxuz + xuzux + xuzux + zuxux − xuxuz − zuxux =

=2xuzux = 2UxUuz.

Остальные равенства являются линеаризациями уже полученных. Умножение в J(u) коммутативно, поскольку {x, y, z} = Ux,z, а последний оператор симметричен по x, z. Докажем тождество Йорда-

на:

2Ux(u) = (Vx(u))2 − Vx(2,u) .

В то же время по коммутирующей формуле

Vx(u)Ux(u) = Vx,uUxUu = UxVu,xUu = UxUuVx,u.

Таким образом,

Vx(u)Vx((2u),u) = Vx(u)((Vx(u))2−2Ux(u)) = (Vx(u)−2Ux(u))Vx(u) = Vx((2u),u) Vx(u),

получили тождество Йордана. Итак, гомотоп является йордановой алгеброй.

2) Пусть J унитальна. Если J(u) унитальна с единицей v, то idJ = Uv(u) = UvUu, откуда Uv сюръективен, так что по критерию обратимости 5.1 Uv обратим и Uu = Uv−1, т.е. Uu обратим, откуда u обратим по критерию обратимости. Тогда

12{u−1, u, y} = (u−1 ◦ u) ◦ y + u−1 ◦ (u ◦ y) − u ◦ (u−1 ◦ y) = 1 ◦ y = y,

так как Lu коммутирует с Lu−1 по формулам обратимости 5.2. Таким образом, v = u−1. Кроме того, это доказывает утверждение в обратную сторону.

3) Элемент x обратим в J Ux обратим Ux(u) = UxUu обратим (поскольку Uu точно обратим в силу обратимости u) x обратим в J(u). При этом

x(−1,u) = (Ux(u))−1x = (UxUu)−1x = Uu−1Ux−1x = Uu−1x−1

95

по формулам обратимости 5.2. Аналогично элемент x тривиален в

JUx = 0 Ux(u) = UxUu = 0 x тривиален в J(u).

4)Очевидны следующие соотношения:

12{x, 1, y} = x ◦ y,

12{x, v, y}(u) = 12{x, Uuv, y},

12{x, u−2, y}(u) = {x, Uu(u−2), y} = 12{x, 1, y} = x ◦ y.

Из этих соотношений вытекают рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения изотопии. Предложение доказано.

Упражнение 6.D. Справедливы и оставшиеся формулы:

{x, y, z}(u) = {x, Uuy, z}.

Они являются линеаризациями уже полученных.

Упражнение 6.E. Если u N(J), то йорданов изотоп совпадает с ядерным изотопом:

J(u) = Ju.

Упражнение 6.F. Умножение в гомотопе определяется следующим образом:

x ◦u y = (x ◦ u) ◦ y + x ◦ (u ◦ y) − (x ◦ u) ◦ y.

Что будет, если попробовать доказать предложение о йордановом гомотопе, не прибегая к конструкции тройного произведения? Через сколько строчек вычислений читатель прекратит считать и сам придет к понятию тройного произведения?

6.3.Примеры изотопов

Рассмотрим, как выглядят изотопы классических йордановых алгебр. К тому же все они пригодятся нам в дальнейшем. Начнем с алгебр квадратичной формы.

96

так что квадраты в Jord(Q, c)(u) и в Jord(Q(u), c(u)) совпадают. Тем самым, эти алгебры изоморфны.

2) Заметим, что

(α, ω, β)(2,(µ,0,ν)) = (α2µ + q(w)ν), (αµ + βν)w, β2ν + q(w)µ),

в то время как

(α′, w, β′)2 = (α′2 + µνq(w), (α′ + β′)w, β′2 + µνq(w)).

Таким образом, отображение (α, w, β) → (αµ, w, βν) = (α′, w, β′) задает изоморфизм алгебр. Предложение доказано.

С полными алгебрами все просто, это ожидаемо из результата по ядерным изотопам.

Предложение 6.5 (о полном изотопе). Если u — обратимый элемент ассоциативной алгебры, то u-изотоп йордановой алгебры A+ изоморфен A+ :

(A+)(u) = A+u A+.

Доказательство. Из предложения 6.3 о йордановом гомотопе получаем

x ◦(u) y = 12{x, u, y}.

По теореме 3.2 о полной йордановой алгебре

{x, u, y} = xuy + yux = xuy + yux.

Таким образом,

x ◦(u) y = 12(xuy + yux),

так что (A+)(u) = A+u . Кроме того, A Au по свойству ядерного изотопа 6.1. Тогда по теореме о полной йордановой алгебре A+ A+u . Предложение доказано.

С эрмитовыми изотопами сложнее и интереснее. Там сохраняется только что-то одно: умножение или инволюция.

Предложение 6.6 (об эрмитовом изотопе). Если A — ассоциативная -алгебра, а u = u — обратим, то йорданов u-изотоп

98

алгебры H(A, ) либо сохраняет умножение этой алгебры, либо сохраняет ее инволюцию:

H(A, )(u) = H(Au, ) H(A, u) = uH(A, ),

причем в качестве изоморфизма выступает φ = Lu.

Доказательство. В силу предложения 6.5 о полном изотопе (A+)(u) = A+u , так что у них совпадают и эрмитовы элементы H(A, )(u) = H(Au, ). Все остальное вытекает из предложения 6.2 об эрмитовой скрутке. Предложение доказано.

Упражнение 6.G. Пусть J = H2(R) и u = E12 + E21. Тогда изотоп J(u) содержит нильпотентный элемент, а значит не изоморфен алгебре J.

Перед тем, как строить изотопы эрмитовых матричных алгебр, нам нужно ввести еще один вид матричных алгебр.

Определение. Пусть D — унитальная алгебра с инволюцией x → x. Рассмотрим на Mn(D) инволюцию X = XT . Пусть Γ = diag(γ1, . . . , γn), где γi H(D) ∩ N(D), т.е. Γ — обратимая эрмитова ядерная диагональная матрица. Тогда скрученной матричной алгеброй Hn(D, Γ) = H(Mn(D), Γ) называется множе-

ство всех эрмитовых матриц в Mn(D) относительно инволюции

X Γ = ΓX Γ−1.

Предложение 6.7 (о матричном изотопе). Пусть D — ассоциативная унитальная алгебра с инволюцией.

1) Модуль Hn(D) порождается элементами

δ[ii]Γ = γiδEii, d[ij]Γ = γidEij + γjdEji = d[ji]Γ,

где δ H(D), d D.

2) В изотопе справедливы следующие правила умножения (индексы i, j, k, l считаются различными):

3) Отображение LΓ : d[ij] → d[ij]Γ задает изоморфизм скрученной алгебры и Γ-изотопа нескрученной:

Hn(D, )(Γ) Hn(D, Γ).

99

Доказательство. 1) В самом деле,

(γidEij) Γ = Γ(dγiEji)Γ−1 = γjdγiγi−1Eji = γjdEji.

Таким образом, если A = A Γ, то γiAij = γjAji. Тогда

где δi можно представить в виде δi = γiβi.

2)Вычисляется непосредственно.

3)Прямо следует из предложения 6.10 об эрмитовом изотопе в силу того, что Γ N(Mn(D)). Предложение доказано.

Упражнение 6.H. В изотопе справедливы следующие правила умножения (индексы i, j, k, l считаются различными):

Мы очень старательно избегали конструкции алгебры кубической формы, чтобы читатель не сбежал от этого пособия к какойнибудь книжке по алгебрам Ли. За это приходится платить: изотопы алгебры Алберта берем без доказательства.

Предложение 6.8 (об изотопе алгебры Алберта). Пусть

D — унитальная альтернативная алгебра с ядерной инволюцией. Тогда отображение LΓ : d[ij] → d[ij]Γ задает изоморфизм скрученной алгебры и Γ-изотопа нескрученной:

Hn(D, )(Γ) Hn(D, Γ).

Без доказательства.

100