Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

{x, y, {z, w, u}} = {{x, y, z}, w, u} − {z, {y, x, w}, u} + {z, w, {x, y, u}}.

(FF5e)

71

Кроме того, справедливы следующие тождества.

Формулы специализации:

Доказательство. Применим обе части равенств (FF1), (FF2), (FF3), (FF4) к z в специальной йордановой алгебре. По теореме 3.2 о полной йордановой алгебре получаем соответственно

(xyx)z(xyx) = x(y(xzx)y)x,

(xy)(xzx) + (xzx)(yx) = x(yxz + zxy)x = (xyx)zx + xz(xyx),

(xyx)yz + zy(xyx) = x(yxy)z + z(yxy)x,

xyz + zyx = x(yz + zy) + (yz + zy)x − (xzy + yzx).

Для (FF3’) получаем

x(xz + zx) + (xz + zx)x − (x2z + zx2) = 2xzx,

x((xz + zx)y + y(xz + zx))+

+((xz + zx)y + y(xz + zx))x − ((xyx)z + z(xyx)) =

=x(xz + zx)y + y(xz + zx)x + x(yz + zy)x =

=x(xzy + yzx) + (xzy + yzx)x + y(xzx) + (xzx)y.

Таким образом, эти тождества верны во всех специальных йордановых алгебрах, а значит, по теореме Макдональда они верны и во всех йордановых алгебрах.

Докажем (FF5). Сперва заметим, что

{x, y, z} = {z, y, x}

по теореме Макдональда, так как в специальной йордановой алгебре обе части равны xyz + zyx. Кроме того,

{x, y, z} = {y, x, z}.

72

Далее, линеаризация тождества тройного сдвига дает

{Uxy, w, z} + {Uxw, y, z} = {x, Uy,wx, z}.

Меняя x и z местами, получаем

{Uzy, w, x} + {Uzw, y, x} = {z, Uy,wz, x} = {z, {y, z, w}, x}. (1)

Заменим x, y, z на z, y, w в коммутирующем тождестве:

Uz{y, z, w} = {Uzy, w, z}.

Теперь линеаризуем по z:

Uz,z{y, x, w} + Ux,z{y, z, w} + Uz,x{y, z, w} =

= {Uz,xy, w, z} + {Ux,zy, w, z} + {Uz,zy, w, x}.

Иными словами,

Uz{y, x, w} + Ux,z{y, z, w} = {Uz,xy, w, z} + {Uzy, w, x}. (2)

Теперь подставим (1) и (2):

(Vx,yUz + UzVy,x)(w) = {x, y, Uzw} + Uz{y, x, w} =

={Uzw, y, x} + Uz{y, x, w} == −{Uzy, w, x}+

+{z, {y, z, w}, x} − Ux,z{y, z, w} + {Uz,xy, w, z} + {Uzy, w, x} =

={z, {y, z, w}, x} − {x, {y, z, w}, z} + {{z, y, x}, w, z} =

={{x, y, z}, w, z} = U{x,y,z},z(w).

Таким образом,

Vx,yUz + UzVy,x = UVx,y(z),z,

что и дает фундаментальную лиеву формулу.

Теперь линеаризуем (FF5), примененное к w по переменной z. Получим:

Vx,yUz,uw + Uz,uVy,xw = UVx,y(z),uw + UVx,y(u),zw,

{x, y, {z, w, u}} + {z, {y, x, w}, u} = {{x, y, z}, w, u} + {{x, y, u}, w, z},

73

что и дает пятилинейное тождество. Рассмотрим его как оператор, действующий на u. Получим:

Vx,yVz,w + Vz,Vy,xw = VVx,yz,w + {Vx,y(·), w, z} =

= VVx,yz,w + {z, w, Vx,y(·)} = VVx,yz,w + Vz,wVx,y,

что и дает пятилинейную формулу. Остальное остается в качестве вычислительного упражнения. Теорема доказана.

Упражнение 4.B. Фундаментальные тождества и формулы специализации тоже выполняются в йордановых алгебрах.

Фундаментальные формулы обеспечивают нас всем необходимым для дальнейшего построения структурной теории. К ним (как и к теореме Макдональда) мы иногда будем обращаться без напоминания номера утверждения, лишний раз отмечая необходимость помнить эти формулы или хотя бы иметь их под рукой. Впрочем, после пары десятков применений эти формулы станут читателю хорошими друзьями. Давайте отметим еще одну интересную особенность U-оператора (впрочем, она настолько проста, что даже не понадобится).

Предложение 4.8 (об алгебрах с единицей). Элемент e J является единицей тогда и только тогда, когда он является идемпотентом с единичным U-оператором:

e2 = e, Ue = idJ .

Доказательство. Необходимость очевидна. Осталось заметить, что

Le = LeidJ = LeUe = 12VeUe = /Коммутирущая формула/ =

Предложение доказано.

4.3.Невырожденность

В любом уважающем себя многообразии алгебр есть понятие полупростоты (а если его еще и другие уважают — то даже не одно). В

74

ассоциативных и альтернативных алгебрах есть и квазирегулярный радикал, и локально нильпотентный, и даже ниль-радикал (впрочем, ключевым обычно остается квазирегулярный). Можно назвать «полупростым» объект, в котором кто-нибудь из них равен нулю (обычно такую привилегию оставляют квазирегулярному радикалу). В йордановых алгебрах они все тоже есть, но ключевой квазирегулярный радикал теряет ряд приятных свойств. К счастью, в йордановых алгебрах есть свой красивый аналог полупростоты. На нем крепко стоит вся структурная теория. Пока это не ясно, но к концу пособия именно понятие невырожденности станет ключевым для всех йордановых алгебр.

Определение. Открытые, полуоткрытые и замкнутые главные внутренние идеалы элемента x определяются следующим образом:

(x) := UxJ,

(x] := UxJb= Φx2 + UxJ,

[x] := Φx + UxJb.

Будем иногда называть (x] просто главным внутренним идеалом элемента x.

Когда мы используем какую-то терминологию, то она должна быть подходящей. Например, главные внутренние идеалы являются внутренними.

Предложение 4.9 (о главных внутренних идеалах). Если x J, то (x), (x] и [x] являются внутренними идеалами. В унитальной алгебре (x) = (x]. Верны следующие включения:

U(x)Jb U(x]Jb (x), U[x]J (x), U[x]Jb (x].

Доказательство. По фундаментальной формуле

U(x)Jb= UUxJ Jb= UxUJ UxJb UxJ = (x),

U(x]Jb= UUxJbJb= UxUJbUxJb UxJ = (x) (x].

Заметим, что

Uαx+Uxa = α2Ux + αUx,Uxa + UUxa = α2Ux + αVx,aUx + UxUaUx.

75

Тогда по коммутирующей формуле

U[x]J = UΦx+UxJbJ UxJ + Vx,JbUxJ + UxUJbUxJ

UxJ + UxVJ,xb J UxJ (x).

Аналогично,

U[x]Jb UxJb+ Vx,JbUxJb+ UxUJbUxJb UxJb+ UxVJ,xb Jb UxJb=

= (x] [x].

Утверждение для унитальной алгебры очевидно. Предложение доказано.

С плохими элементами надо что-то делать. Обычно их все сплавляют в одно место, называемое «радикалом». Мы не будем вдаваться в детали теории радикалов и даже строить соответствующий радикал. Но как-то назвать нехорошие элементы все же надо.

Определение. Элемент z J называется тривиальным, если его главный внутренний идеал равен нулю (z] = UzJb = 0. Это означает, что UzJ = 0 и z2 = 0. Элемент w J называется слабо тривиальным, если (w) = UzJ = 0.

Йорданова алгебра J называется невырожденной, если она не содержит ненулевых тривиальных элементов, т.е. UzJb = 0 влечет z = 0.

Аналог невырожденности в ассоциативных алгебрах эквивалентен полупервичности. В йордановых алгебрах это не так, но «монстры Пчелинцева», являющиеся соответствующими контрпримерами, стоят так далеко от нашей теоории, что мы не будем строить эти примеры здесь.

Предложение 4.10 (о полупервичных алгебрах). Пусть

A — ассоциативная алгебра и x A. Тогда Axb Ab — тривиальный идеал тогда и только тогда, когда xAxb = 0.

Доказательство. Пусть Axb Ab — тривиальный идеал, в частности xAb · Axb = 0, то есть xAxb = 0. Обратно, пусть xAxb = 0. Но

тогда

(Axb Ab)2 = Axb Axb Ab = 0.

Предложение доказано.

Даже слабо тривиальные элементы создают большие неудобства.

76

Предложение 4.11 (о слабо тривиальных). Йорданова алгебра является невырожденной в том и только том случае, когда в ней нет ненулевых слабо тривиальных элементов.

Доказательство. Пусть w J — слабо тривиальный элемент, и UwJ = 0. Допустим, w не тривиален. Тогда

0 ̸= UzJb= UzJ + Φz2 = Φz2,

откуда z2 ̸= 0. По операторным правилам моноассоциативности (теорема 5.5) получаем

Uz2 Jb= UzUzJb UzJ = 0,

откуда z2 — ненулевой тривиальный элемент в J. Предложение доказано.

Определение. Элемент a A в ассоциативной алгебре A называется тривиальным, если он порождает тривиальный идеал, т.е. если Aab Ab тривиален или aAab = 0.

Это понятие позволит нам увидеть первые примеры невырожденных йордановых алгебр на основе полупервичных ассоциативных алгебр. Примеры последних читатель, возможно, тоже не знает, но тут придется поверить на слово — их много, очень разных. Даже слишком.

Предложение 4.12 (о тривиальном в полной и эрмитовой алгебрах). 1) Элемент z A+ тривиален тогда и только тогда, когда он тривиален в A. В частности, полная йорданова алгебра A+ невырожденна тогда и только тогда, когда ассоциативная алгебра A полупервична.

2) Если z H(A, ) тривиален, то либо z, либо zazˆ тривиален в A для некоторого aˆ Ab. В частности, если A — полупервичная ассоциативная алгебра с инволюцией, то H(A, ) невырождена.

Доказательство. 1) Тривиальность идеала B = Azb Ab эквивалентна тому, что zAzb = 0. Поскольку UzAc+ = zAzb , то zAzb = 0 эквивалентно тому, что z — тривиальный элемент.

2) Если z H(A, ) такой, что zH(A, )z = 0, то z(c + c )z = 0 для любого c A, то есть zcz = −zc z. Допустим, z не тривиален в A. Тогда для некоторого aˆ Ab справедливо w = zazˆ ̸= 0. Но тогда

77

− ˆ − ˆ

= z(b zaˆ )zazˆ = zb z(ˆa zaˆ)z = 0.

Таким образом, w = zazˆ — тривиальный элемент. Предложение доказано.

К эрмитовым матрицам тоже можно безопасно переходить, не боясь потерять невырожденность.

Предложение 4.13 (о невырожденности матричной йордановой алгебры). Пусть D — унитальная альтернативная алгебра с ядерной инволюцией и n ≥ 2. Тогда Hn(D) невырождена тогда и только тогда, когда D и H(D, ) полупервичны.

Доказательство. Обозначим H = H(D, ) и пусть β, δ H,

δiiHδ[ii] = Uδ[ii](H[ii]) = 0,

так что δii тривиален в H и δii = 0. Но U1[ii]+1[jj]z = dij[ij] тоже тривиален, так что

dijcdij[ij] = Udij[ij] = (c[ij]) = 0,

откуда dij тривиален в D и dij = 0.

Обратно, пусть Hn(D) — невырожденная алгебра. Допустим, δ тривиален в H. Рассмотрим z = δ[11]. Эта матрица тривиальна, так что по лемме о эрмитовой матричной алгебре получаем

Uz(J) = UzH[11] = δHδ[11] = 0.

Допустим, d тривиален в D. Заметим, что

dηd = dη(d + d) − dηd = dητ,

78

где τ = d + d H. Тогда

(dηd)H(dηd) = (dητ)H(dητ) = (d(ητH)d)ητ = 0.

Таким образом, δ = dηd тривиален в H и z = δ[11] тривиален, как и выше. Значит, dηd = 0 и, аналогично, dηd = 0. Тогда рассмотрим z = d[12]. По лемме о эрмитовой матричной алгебре:

Uz(J) = Ud[12](H[11] + D[12] + H[22]) =

= (dHd)[22] + (dDd)[12] + (dHd)[11] = 0.

Таким образом, d[12] тривиален. Тогда d = 0 и предложение доказано.

Осталось рассмотреть алгебру квадратичной формы. Во имя согласованности терминов в математике, ее невырожденность эквивалентна невырожденности соответствующей формы.

Предложение 4.14 (о невырожденности факторов). Если

Φ— поле, то справедливы следующие утверждения.

1)В алгебре квадратичной формы Jord(Q, c) элемент z тривиален тогда и только тогда, когда z Rad(Q). Таким обра-

зом, Jord(Q, c) невырождена тогда и только тогда, когда форма

Qневырождена.

2)Алгебра билинейной формы JSpin(M, σ) невырождена тогда и только тогда, когда форма σ невырождена.

3)Редуцированная алгебра квадратичной формы RedSpin(q) невырождена тогда и только тогда, когда форма q невырождена.

Доказательство. 1) Если z Rad(Q), то Q(z) = Q(z, J) = 0, откуда по теореме о квадратичном факторе 3.9

Uz(J) = Q(z, J)z − Q(z)J = 0,

так что z тривиален.

Обратно, пусть z тривиален. Тогда

0 = Uzz = Q(z, z)z − Q(z)z = Q(z)z.

Поскольку Φ — поле, то Q(z) = 0. Но тогда

0 = Uzx = Q(z, x)z,

откуда Q(z, x) = 0 для любого x J и z Rad(Q).

79

2)Напомним, что JSpin(M, σ) = Jord(Q, 1) для Q = 1 (−q), где q(x) = σ(x, x) (пример в конце параграфа 3.4). Легко видеть, что Q невырождена тогда и только тогда, когда q невырождена, т.е. когда σ невырождена. Таким образом, все дальнейшее вытекает из первого пункта.

3)Напомним, что RedSpin(q) = Jord(Q, c) для Q = QH (−q), где H = Φe1 + Φe2 и c = e1 + e2. Легко видеть, что Q невырождена тогда и только тогда, когда q невырождена. Таким образом, все дальнейшее вытекает из первого пункта. Предложение доказано.

Упражнение 4.C. В предыдущем предложении вместо требования, что Φ — поле, можно потребовать, чтобы Φ было кольцом скаляров без нильпотентных элементов. Для этого необходимо

показать, что

Q(z)z = 0 → Q(z)3 = 0,

Q(z, x)z = 0 → Q(z, x)2 = 0.

80