Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

а S называется множеством порождающих модуля M. Если множество S к тому же конечно, то модуль M называется конечно порожденным.

Определение. Пусть M и N — Φ-модули. Тогда их прямой суммой M N называется множество всех упорядоченных пар (x, y), где x M, y N. Пусть I — некоторое множество индексов. Если {Mi}i I — семейство модулей, то их прямой суммойiMi называется множество всех таких отображений f : I → Mi, что f(i) Mi и f(i) = 0 для всех i I кроме конечного числа. Прямые суммы можно рассматривать как бесконечные последовательности с конечным числом ненулевых компонент и с покомпонентными операциями сложения и умножения на скаляр.

Понятие конечно порожденного модуля является примерным аналогом понятия конечномерного пространства. Понятие размерности модуля и ситуации, в которых ее можно определить, тесно связаны с понятием свободного модуля. Поскольку в дальнейшем нам нужен свободный модуль (как полный и естественный аналог конечномерного пространства), но не понадобится понятие размерности, то мы ограничимся только свободными модулями.

Определение. Пусть {Mi}i I — семейство модулей, причем

Φxi, где xi — формальный порождающий элемент модуля Mi. То-

L

гда i I Mi порождается множеством {xi}i I. Множество {xi}i I

L

называется базисом модуля

Очень сжато материал по конечно порожденным модулям (в том числе свободным) излагается в третьем томе А. И. Кострикина ([3], глава 4, параграф 3).

1.2.Определение линейной алгебры

Теорию йордановых алгебр можно строить над произвольным кольцом скаляров, однако это требует полного перехода от билинейного языка к квадратичному. Даже автор теории йордановых алгебр для характеристики 2, К. Маккриммон, счел, что квадратичный язык слишком непривычен для читателя, и в своей книге [1] изложил материал в билинейном стиле для лучшего понимания.

11

В связи со всем вышесказанным всюду далее (до конца курса) через Φ обозначается кольцо скаляров, которое содержит решение уравнения 2x = 1. Как легко видеть, если это решение существует, то оно единственно. В самом деле, если 2x = 2y = 1, то

y = 1y = (2x)y = (2y)x = 1x = x.

Таким образом, мы можем ввести обозначение для этого единственного решения: обозначим его через 12 .

В частности, если Φ — поле, то его характеристика отлична от

2.

Как и в случае колец, нам необходимо выбрать подходящее определение алгебры. В данном пособии проще всего использовать понятие «неассоциативной» алгебры (которая вполне может быть и ассоциативной).

Определение. Линейной Φ-алгеброй (Φ-алгеброй, алгеброй) называется любой Φ-модуль A, на котором определена билинейная операция умножения:

x · (y + z) = x · y + x · z,

(y + z) · x = y · x + z · x,

α(x · y) = (αx) · y = x · (αy)

для любых x, y, z A, α Φ.

Если Φ — поле, то мы получаем обычное определение алгебры над полем.

Если мы хотим уточнить, что на алгебре A задано умножение ·, то будем кратко это записывать как (A, ·).

Важной производной операцией от умножения является квадрат x2 := x · x. Заметим, что в неассоциативной алгебре, вообще говоря, может не выполняться равенство x2 · x = x · x2. Однако во встречающихся нам в книге алгебрах, как правило, степень элемента не зависит от расстановки скобок в умножении. В частности, это верно для всех йордановых алгебр. Мы докажем это в главе 4.

Квадрат обладает особой важностью в коммутативном случае. В самом деле, если A — коммутативная Φ-алгебра, то квадрат можно линеаризовать. Эта процедура в коммутативном случае хорошо знакома любому семикласснику, поскольку вытекает из формулы квадрата суммы:

xy = 12 (x + y)2 − x2 − y2 .

12

Иными словами, в коммутативной алгебре билинейное умножение однозначно определяется по квадрату. Иногда мы будем это использовать: для доказательства изоморфности двух алгебр достаточно показать, что существует изоморфизм модулей, сохраняющий квадраты: φ(x2) = φ(x)2. Впрочем, для этого сперва необходимо ввести определения всех морфизмов на линейных алгебрах.

Определение. Гомоморфизмом φ : A → A′ двух Φ-алгебр

(A, ·) и (A′, ·′) называется любой гомоморфизм Φ-модулей, сохраняющий умножение

φ(x · y) = φ(x) ·′ φ(y).

Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Изоморфизм алгебры на себя называется автоморфизмом.

Определение. Пусть A — Φ-алгебра, B A — Φ-подмодуль. Тогда B называется подалгеброй в A, если B · B B, то есть

x, y B → xy B.

Bназывается левым идеалом, если AB B, то есть x B, y A → yx B.

Bназывается правым идеалом, если BA B, то есть

x B, y A → xy B.

B называется идеалом, если он является левым и правым идеалом, BA + AB B, то есть

x B, y A → xy, yx B.

Идеал (или подалгебра) в алгебре A называется собственным, если он отличен от 0 и A. Алгебра называется тривиальной, если A · A = 0, то есть в алгебре нулевое умножение (заметим, что структура Φ-модуля может быть любой).

Алгебра называется простой, если она нетривиальна и не содержит собственных идеалов. Изучение простых алгебр — ключевой вопрос структурной теории колец. Даже в ассоциативных алгебрах их невозможно приемлемым образом классифицировать без

13

дополнительных ограничений вроде конечномерности или конечной степени.

Заметим, что Φ-алгебра является кольцом относительно операций сложения в модуле и умножения в алгебре.

Определение. Пусть A — алгебра и I — ее идеал. На факторкольце A = A/I можно определить естественным способом операцию умножения на скаляр, превращая A/I в алгебру, называемую

фактор-алгеброй.

Определение. Пусть {Ai}i I — семейство алгебр. Их декартово произведение с покомпонентными операциями сложения и умножения называется прямым произведением алгебр Ai и обозна-

щих только конечное число ненулевых компонент, называется прямой суммой алгебр Ai и обозначается i IAi. Для конечного множества I = {1, . . . , n} обычно будем использовать обозначение

A1 · · · An.

Наличие в алгебре единицы сильно упрощает жизнь. Однако мы не можем потребовать этого в определении алгебры, поскольку немедленно возникают трудности с понятием подалгебры: в этом случае подалгебра должна бы содержать единицу исходной алгебры. Но алгебра матриц Mn(Φ) содержит подалгебру (в обычном смысле), в которой все компоненты кроме верхней левой равны нулю. Эта подалгебра содержит единицу, но не ту же самую, что была в исходной алгебре. В связи с этим надо несколько разграничить данные понятия.

Определение. Алгебра A называется унитальной, если она содержит единицу 1. Унитальной подалгеброй в A называется подалгебра, содержащая единицу алгебры A.

Любую алгебру можно вложить в алгебру с единицей, не слишком сильно ее расширяя. На языке пространств это бы означало, что исходная алгебра имеет коразмерность 1 в новой алгебре (то есть в конечномерном случае размерность увеличилась бы всего на единицу). Иногда подобный переход лишает алгебру некоторых тождеств, но йордановы алгебры в этом плане непривередливы.

Определение. Пусть A — Φ-алгебра. Ее унитальной обертывающей называется алгебра Ab = Φ A с умножением

(α, x) · (β, y) = (αβ, αy + βx + x · y).

14

Элемент (1, 0) в Ab обозначается просто b1, элемент (0, a) обозначается просто a. Тогда произведение можно записать как

(αb1 x) · (βb1 y) = αβb1 (αy + βx + x · y).

В частности, алгебра A является идеалом в Ab.

1.3.Алгебра с инволюцией

Транспонирование квадратных вещественных матриц является зерном, из которого вырастает теория йордановых алгебр. Из материала высшей алгебры хорошо известно, что транспонирование линейно, удовлетворяет равенству (AB)T = BT AT и обратно самому себе: (AT )T = A. Именно эти свойства и составляют определение инволюции.

Определение. Инволюцией на алгебре A называется гомоморфизм x → x модуля A в себя, удовлетворяющий условиям

Как и в случае унитальных алгебр, наличие инволюции можно выделить в отдельный тип. Впрочем, единица в алгебре единственна, а инволюций может быть много, поэтому важно обозначать, о какой инволюции идет речь.

Определение. -алгеброй или алгеброй с инволюцией называется алгебра A, снабженная инволюцией . Гомоморфизм φ-алгебр называется -гомоморфизмом, если он сохраняет инволюцию, т.е. для любого x A выполнено

φ(x ) = (φ(x)) .

Если из зерна транспонирования вырастает инволюция, то гусеница симметрических матриц превращается в прекрасную бабочку йордановых алгебр эрмитового типа.

В любой -алгебре A можно рассмотреть множество эрмитовых элементов

H(A, ) = {x A|x = x}.

Очевидно, -гомоморфизмы сохраняют эрмитовость элементов.

15

Легко видеть, что xx и x + x являются эрмитовыми элементами, если x эрмитов. Мы почувствуем всю мощь этих непримечательных объектов в главе 2, а сейчас надо хотя бы дать им имена.

Определение. Нормой в -алгебре называется отображение

n(x) = x · x .

Следом в -алгебре называется отображение

t(x) = x + x .

Каждый эрмитов элемент является следом некоторого элемента:

Вечная борьба правых и левых в определении операции на отображениях никогда не завершится. Первые утверждают, что композиция отображений определяется в порядке записи: (φ ◦ ψ)(x) = φ(ψ(x)). Вторые убеждены, что первый элемент в записи должен действовать первым: (φ ◦ ψ)(x) = ψ(φ(x)). Не признавая ничьей правоты, отметим, что такие алгебры (с двумя вариантами записи произведения) слишком похожи, чтобы не придумать для этого термин.

Определение. Алгебра Aop называется противоположной к алгебре A, если модули Aop и A совпадают, а умножение x ·op y в Aop связано с A следующим образом:

x ·op y = y · x.

Антигомоморфизмом φ : A → A′ двух Φ-алгебр (A, ·) и (A′, ·′)

называется любой гомоморфизм Φ-модулей, для которого выпол-

нено условие

φ(x · y) = φ(y) ·′ φ(x).

Антигомоморфизм A → B является гомоморфизмом A → Bop.

Противоположная алгебра может быть использована для одной красивой и важной конструкции. Эта конструкция позволит, в частности, единообразно проводить классификацию некоторых объектов, ограничившись эрмитовой формулировкой.

16

Любая алгебра A вкладывается в -алгебру

Ex(A) = (A Aop, ex), ex(a, b) = (b, a).

Эрмитовы элементы выглядят так:

H(Ex(A)) = {(a, a)|a A}.

Легко видеть, что H(Ex(A)) является подмодулем в Ex(A), изоморфным A.

1.4.Ядро, центр и операторы умножения

При изучении неассоциативных алгебр (за исключением особого случая алгебр Ли) не обойтись без понятия ассоциатора. Объем ненулевых ассоциаторов по сути позволяет оценить то, как далека алгебра от ассоциативной.

Определение. Пусть A — алгебра. Используем следующие обозначения. Ассоциатором элементов x, y, z A называется элемент

(x, y, z) := (x · y) · z − x · (y · z).

Во многих неассоциативных алгебрах также важным является понятие коммутатора. Они не находят применения лишь в коммутативных или антикоммутативных алгебрах, или алгебрах, близких к ним (в частности, в лиевых и йордановых).

Определение. Коммутатором элементов x, y A называется элемент

[x, y] := x · y − y · x.

Коммутатор является билинейным отображением A ×A → A, ассоциатор является трилинейным отображением A × A × A → A.

Некоторые элементы, едва попав в аргументы ассоциатора или коммутатора, сразу их зануляют. Оказывается, что множества таких элементов являются очень важными при изучении неассоциативных алгебр. Мы не будем рассматривать коммутативный центр (множество элементов, которые со всеми коммутируют), поскольку будем работать в основном с коммутативными алгебрами.

17

Определение. Ядром (или ассоциативным центром) алгебры A называется следующее подмножество в A:

N(A) := {n A|(n, A, A) = (A, n, A) = (A, A, n) = 0}.

Центром алгебры A называется следующее подмножество в A:

Z(A) := {z N(A)|[z, A] = 0}.

Легко видеть, что ядро и центр являются подалгебрами в A. В самом деле, пусть z1, z2 N(A). Тогда

(z1z2)(xy) = z1(z2(xy)) = z1((z2x)y) = (z1(z2x)y) = ((z1z2)x)y.

Таким образом,

(z1z2, x, y) = 0.

Аналогично

(x, z1z2, y) = (x, y, z1z2) = 0.

Если z1, z2 Z(A), то

x(z1z2) = (xz1)z2 = (z1x)z2 = z1(xz2) = z1(z2x) = (z1z2)x,

откуда

[z1z2, x] = 0.

Любую унитальную алгебру можно рассматривать как алгебру над своим центром. Действительно, центр является ассоциативным и коммутативным унитальным кольцом, содержащим исходное кольцо скаляров Φ1. Здесь начинается далеко идущая теория центральных алгебр, которую мы затрагивать не будем.

Каждый элемент алгебры порождает на ней важные линейные операторы. Эти операторы полностью задают кольцевую структуру на алгебре.

Определение. Пусть A — алгебра, x A. Определим оператор правого умножения Rx и оператор левого умножения

Lx следующим образом:

Rx(y) = yx, Lx(y) = xy.

На языке операторов умножения можно задавать тождества алгебр. Например, ассоциативность алгебры A задается тождеством

RxLy = LyRx,

18

или тождеством

Lxy = LxLy,

или тождеством

Rxy = RyRx.

1.5.Линеаризация

С целью упрощения изложения мы будем избегать рассмотрения свободных алгебр многообразия. Однако нам не обойтись без обычной свободной неассоциативной алгебры. К счастью, ее структуру можно неформально охарактеризовать как «алгебра неассоциативных многочленов».

Определение. Рассмотрим множество X = {xi} и множество X = X {(, )}. Две конечные последовательности элементов из X считаются равными, если они имеют одинаковую мощность и совпадают поэлементно. Определим рекурсивно подмножество V [X] конечных последовательностей:

1) X V [x];

2) если x1, x2 X, u, v V [x] \ X, то x1(u), (u)x1, (u)(v), x1x2

V[x];

3)других последовательностей в V [x] нет.

Элементы V [x] называются неассоциативными словами от элементов множества X.

Пример. Последовательность (x1(x2x3))x4 является неассоциативным словом от множества X = {x1, x2, x3, x4} или от любого множества, содержащего X. С другой стороны, последовательность (x1(x2x3)x4) не является неассоциативным словом.

Определение. Рассмотрим свободный Φ-модуль Φ[X] от множества порождающих V [X]. Введем на Φ[X] операцию умножения:

Мы получили Φ-алгебру Φ[X], которая называется свободной алгеброй над кольцом Φ от множества порождающих X. Ее элементы называются неассоциативными многочленами.

19

Определение. Будем говорить, что неассоциативный многочлен f(x1, . . . , xn) зануляется на алгебре A или является тождеством алгебры A, если f(a1, . . . , an) = 0 для любых a1, . . . , an

A.

Рассмотрим сперва один пример. Пусть алгебра A удовлетворяет тождеству x2 = 0. Тогда для любых x, y A справедливы тождества (x + y)2 = 0, x2 = 0, y2 = 0. Таким образом,

0 = (x + y)2 − x2 − y2 = xy + yx,

откуда

xy = −yx.

Обобщим полученную конструкцию. Пусть f(x1, . . . , xn) — тождество алгебры A, причем многочлен f однороден степени 2 по переменной x1. Тогда

f(x1 + y, x2, . . . , xn) − f(x1, x2, . . . , xn) − f(y, x2, . . . , xn)

тоже является тождеством алгебры A. Это тождество представляет собой многочлен g(x1, y, . . . , xn), который является суммой многочленов, полученных из f заменой одного вхождения x1 в каждом одночлене на y в произвольном порядке.

Пример. Рассмотрим тождество ((xy)z)x+(xy)(zx) = 0. Линеаризуем его по переменной x. Получим

((xy)z)t + ((ty)z)x + ((xy)(zt)) + ((ty)(zx)) = 0.

Если алгебра удовлетворяет тождеству xy = −yx, то она удовлетворяет тождеству x2 = −x2, то есть 2x2 = 0.

Линеаризовывать можно многочлены любых степеней, причем даже по нескольким переменным. Линеаризацию можно проделывать не полностью, лишь понижая степень тождества. На идее линеаризации построена вся теория неассоциативных алгебр. Базовые сведения об этой технике можно почерпнуть в главе 1 в [4].

20