Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Равенство (2) называется коммутативностью следа, (3) — ассоциативностью следа, (4) — правилом композиции, (5) — тождеством Кирмси, (6) — тождеством второй степени.

Доказательство. 1) Для следа все очевидно в силу того, что x = x. Для нормы почти очевидно:

n(x) = xx = (t(x) − x)x = t(x)x − x2 = x(t(x) − x) = xx = n(x).

Заодно доказали тождество второй степени (6). 2) Линеаризация нормы имеет вид

n(x, y) = xy + yx.

Тогда

n(x, y) = xy + yx = xy + yx = t(xy) = xy + yx = n(x, y).

3) Перед теоремой вспомнили, что (x, y, z) = −(x, y, z), так что

t((x, y, z)) = −t((x, y, z)) = −t((x, y, z)),

откуда t((x, y, z)) = 0.

4–5) По теореме Артина подалгебра, порожденная элементами x и y, ассоциативна. Рассмотрим подалгебру B, порожденную x, y и единицей. Она тоже ассоциативна. Значит, элементы x, y, x = t(x) − x, y = t(y) − y содержатся в ассоциативной Z-подалгебре B, где Z — -центр исходной алгебры. Тогда

n(xy)1 = (xy)(xy) = (xy)(y x) = (x(yy))x = x(n(y)1)x = n(x)n(y)1,

n(x)y = (xx)y = x(xy), n(x)y = y(n(x)1) = y(xx) = (yx)x.

201

Теорема доказана.

Радикал рассмотренной формы n на самом деле является нильалгеброй. Докажем это.

Следствие 18.6 (о алгебрах без ниль-идеалов индекса 2). Каждая альтернативная алгебра с центральной инволюцией, не содержащая ниль-идеалов индекса 2, является композиционной алгеброй со стандартной инволюцией x = t(x)1 − x над своим - центром.

Доказательство. Рассмотрим радикал формы n

Rad(n) = {x A | n(x, A) = 0}.

Линеаризуем правило композиции по x, подставляя вместо новой переменной единицу, а затем по y:

n(xy, z) + n(xz, y) = t(x)n(y, z).

Тогда, если z Rad(n), то n(xz, y) = 0 и xz Rad(n). Таким образом, Rad(n) является левым идеалом. Аналогично он является

правым идеалом, а значит, идеалом.

Пусть z Rad(n). Тогда t(z) = n(z, 1) = 0, n(z) = 12 n(z, z) = 0, откуда по тождеству второй степени z2 = 0. Таким образом, Rad(n)

является ниль-идеалом индекса 2. Значит, Rad(n) = 0 и форма n невырождена. Следствие доказано.

Клейнфелда — Осборна

Еще один естественный случай — это алгебры, в которых нет идеалов, инвариантных относительно инволюции.

Определение. Идеал алгебры с инволюцией будем называть-идеалом, если он инвариантен относительно инволюции, то есть x I → x I. Алгебра с инволюцией называется -простой, если она не содержит собственных -идеалов.

Теорема 18.7 (о -простых алгебрах). Если A — -простая алгебра, то возможны два случая:

1)A — простая алгебра;

2)A = B B , где B — идеал в A. В этом случае (A, ) Ex(B) =

202

(B Bop, ex), где B — простая алгебра, ex(b, c) = (c, b). Кроме того, H(A, ) B. Если все ненулевые эрмитовы элементы ассоциативны и обратимы, то B — ассоциативное тело.

Доказательство. Если A не проста, то в ней найдется собствен-

ный идеал B. Подалгебры B ∩ B и B + B являются -идеалами, так что B + B = A и B ∩ B = 0, то есть A = B B B Bop,

поскольку B Bop для любой инволюции . Далее,

(x y ) = y x ,

так что изоморфизм между A и B Bop сохраняет инволюцию (она переходит в ex).

Пусть K — собственный идеал в B. Тогда K K является собственным -идеалом в A, противоречие. Итак, алгебра B проста.

Эрмитовы элементы имеют вид (b, b), так что если H(A, ) ассоциативна, то и B ассоциативна. Аналогично с обратимостью. Теорема доказана.

Введем аналог невырожденности йордановых алгебр.

Определение. Альтернативная алгебра A называется невырожденной, если она не содержит тривиальных элементов:

xAx = 0 → x = 0.

Упражнение 18.E. Если n, m N(D), то в алгебре D выполнено тождество Якоби:

[[m, n], x] = −[[n, x], m] + [n, [x, m]].

Упражнение 18.F. Центр простой унитальной алгебры либо является полем, либо равен нулю.

Мы накладываем довольно много условий в следующей теореме. Но именно этот набор будет подходящим для завершения построения структурной теории йордановых алгебр.

Теорема 18.8 (Херстейна — Клейнфелда — Осборна). Невырожденная альтернативная алгебра с ядерной инволюцией, у которой все эрмитовы элементы обратимы, изоморфна одной из следующих:

1) алгебре Ex(∆), где ∆ — некоммутативное ассоциативное тело;

203

2)ассоциативной алгебре с делением ∆ и с нецентральной инволюцией;

3)композиционной алгебре размерности 1,2,4 или 8 над полем

Ωсо стандартной центральной инволюцией: основное поле, квадратичное расширение, кватернионы, октонионы.

В частности, такая алгебра -проста и либо ассоциативна, либо является алгеброй октонионов.

Доказательство. Итак, D — невырожденная альтернативная алгебра с ядерной инволюцией, и все эрмитовы элементы обратимы.

Шаг 1. Пусть I — собственный -идеал. Значит, в нем нет об-

ратимых элементов. В частности, в I нет эрмитовых элементов. Но если x I, то x I, а значит, x + x I ∩ H(D, ) = 0, так что x = −x. Но xx I ∩H(D, ) = 0, значит, x2 = 0. Кроме того, если

z D, то zx + zx I ∩ H(A, ), так что zx = −xz = xz. Но тогда

xzx = x(zx) = x(xz) = x2z = 0.

В силу невырожденности x = 0. Итак, D — -простая алгебра. Шаг 2. Если алгебра D не проста, по теореме о -простых ал-

гебрах 18.7 алгебра D изоморфна алгебре Ex(∆) для тела ∆. Если ∆ коммутативно, то ∆ ∆op является расщепляемой 2-мерной композиционной алгеброй над своим -центром D(1 1).

Всюду далее считаем, что алгебра D проста.

Шаг 3. Если инволюция центральна, то в силу простоты D не содержит ниль-идеалов индекса 2, так что по следствию 18.6 алгебра D композиционна. По теореме Гурвица 2.7 композиционная алгебра имеет один из перечисленных в формулировке типов.

Всюду далее считаем, что инволюция не является центральной.

Шаг 4. Обозначим H = H(D). Если [H, D] = 0, то H Z(D) и инволюция центральна. Тем самым можно считать, что [H, D] ̸= 0. Пусть B — это подалгебра, порожденная множеством H. Если x = εx, y = δy, то [x, y] = [y, x] = −[x, y] = −εδ[x, y]. Обозначим множество косоэрмитовых элементов через S = {x D | x = −x}. Тогда [H, H] S, [H, S] H B. Кроме того, [H, H] B, так что [H, D] B. Поскольку B — подалгебра, порожденная H и лежащая в ядре, то [B, D] B. В самом деле пусть x1 . . . xn B, xi H и для любого d D x1 . . . xn−1d = dx1 . . . xn−1 + b для некоторого

204

b B. Но из [H, D] B имеем xnd = dxn + b1 для некоторого b1 B. Тогда

x1 . . . xnd = x1 . . . xn−1dxn + x1 . . . xn−1b1 =

= dx1 . . . xn + bxn + x1 . . . xn−1b1.

Последние два слагаемых лежат в B, значит, [x1 . . . xn, d] B. Таким образом, [B, D] B, так что применима лемма 18.4 об

альтернативном ядре, если в B найдется обратимый в D элемент. Докажем, что он существует.

Шаг 4а. Пусть [H, S] ̸= 0. Тогда существует ненулевой b = [h, s], который является эрмитовым, а значит, обратимым. Осталось заметить, что bs = [h, s]s B по лемме 18.4 об альтернативном ядре, так что s = b−1(bs) b−1B B, поскольку b−1 H B. Таким образом, b = [h, s] [B, B] — искомый элемент.

Шаг 4b. Пусть [H, S] = 0. Заметим, что 0 ̸= [H, D] = [H, S +H], так что [H, H] ̸= 0, 0 ̸= b [H, H] [B, B] ∩ S. Докажем, что элемент b является центральным. Имеем [b, H] [S, H] = 0 и по тождеству Якоби

[b, S] [[H, H], S] = [[H, S], H] + [H, [H, S]] = 0.

Таким образом, [b, D] = 0 и b Z(D). Тогда он обратим, поскольку D — простая алгебра, а в центре простой алгебры любой ненулевой элемент обратим.

Итак, по лемме 18.4 получаем, что D = B = N ассоциативна и порождена H.

Всюду далее считаем, что D проста, ассоциативна, эрмитовопорождена и ее инволюция нецентральна.

Шаг 5. Обозначим через Z множество необратимых элементов. Поскольку ненулевые эрмитовые элементы обратимы, то Z ∩H = 0. Пусть 0 ̸= z Z. Допустим, что zz, zz H обратимы. Тогда

zza = 1 = bzz → z(za) = (bz)z = 1,

так что z обратим, противоречие с z Z. Итак, один из zz и zz необратим. Если один из них равен нулю, то и второй тоже:

zz = 0 → z(zz) = (zz)z = 0,

205

так что zz необратим, а значит, zz = 0. Поскольку оба обратимы быть не могут, то один из них необратим, а значит, равен нулю, откуда и второй равен нулю. Итак, zz = zz = 0 для любого z Z.

Шаг 6. Пусть z Z, h H. Заметим, что

(zhz)z = z(hzz) = 0, (zhz)z = z(hzz) = 0,

так что zhz, zhz H необратимы, а значит, равны нулю. Итак, zHz = zHz = 0 для любого z Z. Пусть d D. Тогда w = zdz S:

w = zdz = z(d + d)z − zdz = 0 − w = −w,

поскольку d + d H и zHz = 0. Рассмотрим коммутатор h′ = [h, w] [H, S] H, где h H. Тогда

h′z = (h(zdz) − (zdz)h)z = hzd(zz) − zd(zhz) = 0.

Тогда h′ необратим, а значит, h′ = 0. Итак, [H, w] = 0. При этом D порождается множеством A, так что по рассуждению, аналогичному рассуждению в шаге 4, получаем, что [D, w] = 0, то есть w лежит в центре D. Кроме того, w2 = zd(zz)dz = 0. Но в центре простой алгебры D любой ненулевой элемент обратим, значит, w = 0 и zDz = 0. Тогда идеал, порожденный z, тривиален: (Dzb Db)2 = 0 и z = 0. Таким образом, Z = 0 и D — тело. Теорема доказана.

Зная структуру кватернионов, можно переформулировать последнюю теорему.

Теорема 18.8 (Херстейна — Клейнфелда — Осборна). Невырожденная альтернативная алгебра с ядерной инволюцией, у которой все эрмитовы элементы обратимы, изоморфна одной из следующих:

1)прямая сумма ∆ ∆op ассоциативного тела и ему противоположного с перестановочной инволюцией;

2)ассоциативное тело ∆ с инволюцией;

3)расщепляемые кватернионы размерности 4 над своим центром Ω со стандартной инволюцией; иными словами, 2×2 матри-

цы M2(Ω) с симплектической инволюцией xsp := sxT s−1 для сим-

01

плектической матрицы s := −1 0 ;

4) октонионы O размерности 8 над своим центром Ω со стандартной инволюцией.

206

Упражнение 18.H. Все алгебры 1)–4) из теоремы Херстейна — Клейнфелда — Осборна невырождены, их эрмитовы элементы ядерные и обратимые.

18.4.Описание простых невырожденных йордановых алгебр степени ≥ 3

Мы готовы применить координатизационную теорему Джекобсона и теорему Херстейна — Клейнфелда — Осборна для простых йордановых алгебр.

Теорема 18.9 (о степени ≥ 3). Простая невырожденная йорданова алгебра степени n ≥ 3 изоморфна одной из следующих матричных алгебр:

1)Hn(Ex(∆, ex)) Mn(∆)+, где ∆ — некоммутативное ассоциативное тело;

2)Hn(∆, Γ), где ∆ — ассоциативное тело с нецентральной инволюцией;

3)Hn(C, Γ), где C — композиционная алгебра размерности 1,2,4 или 8 над своим центром Ω со стандартной инволюцией (размерности 8 только при n = 3).

В частности, такая алгебра либо специальна, либо является редуцированной 27-мерной алгеброй Алберта.

Доказательство. По теореме 17.8 алгебра J содержит n связных идемпотентов, причем их диагональные пирсовские пространства Jii являются алгебрами с делением. По координатизационной теореме Джекобсона 15.3 алгебра J изоморфна Hn(D, Γ) для альтернативной алгебры D с ядерной инволюцией и Jii изоморфна H(D, ), так что H(D, ) является алгеброй с делением, которая невырождена. По теореме Херстейна — Клейнфелда — Осборна 18.8 алгебра D имеет один из типов в формулировке теоремы. Теорема доказана.

Переформулируем утверждение по внутренней структуре каждого объекта.

Следствие 18.10 (структурная форма записи теоремы о степени ≥ 3). Простая невырожденная йорданова алгебра степени n ≥ 3 изоморфна одной из следующих матричных алгебр:

1) Hn(Ex(∆, ex)) Mn(∆)+, где ∆ — ассоциативное тело;

207

2)Hn(∆, Γ), где ∆ — ассоциативное тело с инволюцией;

3)Hn(Q(Ω), Γ) = H2n(Ω, sp), где Q(Ω) — расщепляемые кватернионы над полем Ω; эквивалентно, эрмитовы 2n × 2n матрицы над

Ω с симплектической инволюцией Xsp = SXT S−1, где S — сим-

4) H3(O, Γ), где O — октонионы размерности 8 над своим центром

Ω.

Доказательство. Не очевиден только третий пункт. В нем D = M2(Ω) с инволюцией x = sxT s−1. Тогда Mn(D) M2n(Ω) (представляем матрицу порядка 2n как матрицу порядка n из блоков

2 × 2). Инволюция XT на Mn(D) дает матрицу, у которой блок ij имеет вид xji = sxTjis−1. Тогда, если Y M2n(Ω), то у SY S−1 = (sEn)Y (sEn)−1 блок ij имеет вид syijs−1, а у Y T блок ij имеет вид yjiT , так что у SXT S−1 блок ij имеет вид sxTjis−1. Таким образом,

XT = SXT S−1, то есть инволюция — симплектическая. Следствие доказано.

И еще одна маленькая деталь. Давайте убедимся, что на нашу вечеринку не занесло каких-нибудь сложно устроенных злодеев.

Теорема 18.11 (обращение теоремы о степени ≥ 3). Все алгебры в теореме 18.9 являются простыми невырожденными алгебрами конечной степени.

Доказательство. Поскольку очевидно наличие связной степени, то по теореме 17.8 эти алгебры просты. Остается доказать невырожденность. Алгебра H(D, ) является телом, а значит, полупервичной алгеброй, и алгебры D = ∆ ∆op, ∆ и C полупервичны, так что Hn(D, ) невырождена по предложению 4.13 о невырожденности Hn(D). Но тогда и ее изотоп Hn(D, Γ) невырожден по предложению 6.3 о йордановом гомотопе и предложению 6.7 о матричном изотопе. Теорема доказана.

208

Глава 19.

Теорема Осборна о степени 2

Остался последний шаг к построению структурной теории. Он оказался заметно сложнее всех остальных.

19.1.Коммутаторы в йордановых алгебрах

Вйордановых алгебрах отсутствует понятие коммутатора, поскольку он всегда равен нулю. Коммутатор из ассоциативной обертывающей вообще не обязан попадать в полную йорданову алгебру.

Авот некоторые функции от него обязаны. Как обычно, мы переносим особенности специального случая на произвольные йордановы алгебры.

Вассоциативных алгебрах для коммутатора [x, y] = xy − yx выполнены следующие соотношения:

[[x, y], z] = (xy − yx)z − z(xy − yx) = (xyz + zyz) − (yxz + zxy),

[x, y]2 = (xy − yx)2 = (xy + yx)2 − 2(xyyx + yxxy),

[x, y]z[x, y] = (xy + yx)z(xy + yx) − 2(xyzyx + yxzxy),

3

[[x, y] , z] = [x, y], [x, y], [[x, y], z] + 3 [x, y], [x, y]z[x, y] .

209

Соответственно, в йордановых алгебрах используем следующие обозначения:

[[x, y], z] = (Vx,y − Vy,x)z = Dx,y(z),

[x, y]2 = {x, y}2 − 2(Ux(y2) + Uy(x2)),

U[x,y]z = (U{x,y} − 2{Ux, Uy})z,

[[x, y]3, z] = (Dx,y3 + 3Dx,yU[x,y])z.

По формуле тройного переключения Dx,y = [Vx, Vy]. По сути, это призрак оператора Ad[x,y], но коммутатор [x, y] присутствует только в ассоциативной обертывающей.

Упражнение 19.A. Справедливо альтернативное выражение для квадрата:

[x, y]2 = {x, Uyx} − Uxy2 − Uyx2.

Упражнение 19.B. Справедливо следующее равенство:

U[x,y]1 = [x, y]2.

Пусть e2 — идемпотент йордановой алгебры J, строго связанный с e0 с помощью v1 J1, с инволюцией связи x → x = Uv(x). Определим след и косой след элемента x:

T r(x) = x + x, Sktr(x) = x − x.

Поскольку x = 12 T r(x) + 12 Sktr(x), то J = T r(J) Sktr(J). Используя обозначения из главы 8

σ(ai) = Vai |J1 : J2 + J0 → J1,

мы вводим обозначение

σk(ai) = σ(ai − ai) = VSktr(ai)|J1 .

Лемма 19.1 (о пирсовском коммутаторе). Если e2 — идемпотент в йордановой алгебре J, сильно связанный с e0 с помощью v1 J1, с инволюцией связи x → x, то

σk(a2)(v1) = 0, σk(a2)(σ(b2)(v1)) = [[a2, b2], v1].

210