Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

то есть x UxJ.

Элемент x J называется дважды регулярным, если для некоторого y J

x = UxUxy,

то есть x UxUxJ.

Йорданова алгебра называется регулярной по фон Нейману (или просто регулярной), если все ее элементы регулярны.

Элементы x и y называются регулярно парными, если

x = Uxy, y = Uyx.

В этом случае пара (x, y) называется регулярной парой. Обозначение: x y.

Упражнение 16.A. Все обратимые элементы, все идемпотенты и 0 всегда регулярны: обратимые парны со своими обратными, идемпотенты парны сами с собой. Ненулевые тривиальные элементы никогда не являются регулярными. В частности, регулярная алгебра невырождена.

Упражнение 16.B. Если (x, y) образуют регулярную пару, то (αx, α−1y) тоже образуют регулярную пару, если α обратим.

Докажем очень милый факт: у регулярного элемента всегда найдется пара.

Лемма 16.1 (о регулярно парных). 1) Каждый регулярный элемент может быть регулярно спарен: если x = Uxz, то x y для y = Uzx.

2) Регулярность не зависит от унитальности: x регулярен в Jb тогда и только тогда, когда x регулярен в J.

Доказательство. 1) Мы работаем с подалгеброй Φ[x, z] J, так что по принципу Ширшова — Кона 4.3 можно считать, что мы находимся в H(A, ) для некоторой ассоциативной -алгебры A, причем xzx = x. Но тогда для y = zxz получаем

xyx = x(zxz)x = (xzx)zx = xzx = x,

yxy = (zxz)x(zxz) = zxyxz = zxz = y.

Тем самым x y.

181

2) Если x регулярен в унитальной обертывающей, то x = Uxzb для некоторого zb Jb. Но тогда x = Uxy регулярен в алгебре J для

y = Uzx J. Обратное очевидно. Лемма доказана.

b

Упражнение 16.C. Второй пункт леммы можно перефразировать следующим образом: x (x) = UxJ тогда и только тогда, когда x (x] = UxJb.

Упражнение 16.D. Элемент x регулярен тогда и только тогда, когда

(x) = (x] = [x].

Упражение 16.E. Если x = xyx в ассоциативной алгебре, то e = xy и f = yx являются идемпотентами.

Научимся извлекать идемпотенты из дважды регулярных элементов.

Лемма 16.2 (о дважды регулярных). Если b дважды регулярен, то его главный внутренний идеал (b] = UbJb является унитальной пирсовской подалгеброй J2(e), в которой b обратим. Более точно, если b = UbUba, то b обратим в (b] = J2(e), где e = Ub2 Uab2.

Доказательство. Мы работаем с подалгеброй Φ[a, b] J, так что по принципу Ширшова — Кона 4.3 можно считать, что мы находимся в H(A, ) для некоторой ассоциативной -алгебры A, причем b = b2ab2. Рассмотрим e = (b2ab2)ab2 = bab2. Таким образом,

be = b(bab2) = b2ab2 = b.

Аналогично eb = b. Тогда b = ebe = Ueb и

e2 = e(bab2) = bab2 = e.

Таким образом,

b = Ueb J2(e).

Возвращаемся в алгебру J. Имеем e Ub2 J, b2 = Ubb1 UbJb, b = Ueb UeJb. Тогда получаем

(e] (b2] (b] (e].

Таким образом,

(b] = (b2] = (e] = J2(e).

182

Рассмотрим Ub:

Ub(b] = Ub(UbJb) = Ub2 Jb= (b2] = (b].

Таким образом, Ub сюръективен на унитальной подалгебре (b], значит, b обратим в (b] по критерию обратимости 5.1. Лемма доказана.

Сюръективность всего лишь одного U-оператора творит чудеса.

Лемма 16.3 (о сюръективной единице). Если йорданова алгебра J содержит элемент b с сюръективным U-оператором, то J унитальна и b обратим.

Доказательство. В самом деле, такой b является дважды регулярным:

J = UbJ = Ub(UbJ),

так что по лемме 16.2 алгебра J = (b] унитальна, причем b обратим в ней. Лемма доказана.

16.2.Структурные преобразования

На самом деле идею регулярных элементов можно вытащить на уровень линейных преобразований.

Определение. Линейное преобразование T на йордановой алгебре J называется слабо структурным, если оно структурно связано с некоторым линейным преобразованием T на J, то есть для всех x J имеем операторное равенство на J:

UT (x) = T UxT .

Линейное преобразование T на йордановой алгебре J называется структурным, если оно слабо структурно и является таким на унитальной обертывающей, то есть если T и T расширяются на Jb (сохраняем обозначения), и расширения структурно связаны на Jb, то есть для всех x Jb имеем операторное равенство на Jb:

UT (xb) = T UxbT .

Пара преобразований (T, T ) называется структурной парой, если это пара структурных трансформаций, связанных друг с другом, то есть имеем операторные равенства на Jb для любого xb Jb:

183

Любой автоморфизм φ образует структурную пару (φ, φ−1). Любой U-оператор образует структурную пару (Ux, Ux). Если J = A+, то (Lx, Rx) образуют структурную пару для операторов в A.

Упражнение 16.F. Любой автоморфизм φ образует структурную пару (φ, φ−1). Любой U-оператор образует структурную пару (Ux, Ux). Если J = A+, то (Lx, Rx) образуют структурную пару для операторов в A.

Упражнение 16.G. Операторы умножения в йордановой алгебре не всегда структурные. На самом деле они часто не структурные.

Убедимся, что структурные преобразования хорошо относятся к внутренним идеалам.

Лемма 16.4 (о структурной внутренности). 1) Если T —

структурное преобразование на J, то его образ T (J) — внутренний идеал.

2)Образ T (B) любого внутреннего идеала B J является внутренним идеалом.

3)Если T и S — структурные преобразования, то структурной является и их композиция, причем (T ◦ S) = S ◦ T .

Доказательство. 1-2) Пусть B — внутренний идеал. Это значит, что UBJb B. Но тогда

UT (B)Jb= T UBT (Jb) T (UB(Jb)) T (B),

так что T (B) — внутренний идеал. 3) Непосредственные вычисления:

UT (S(x)) = T US(x)T = T (SUxS )T = (T S)Ux(S T ).

Лемма доказана.

Упражнение 16.H. Если T — слабо структурное преобразование и B — слабо внутренний идеал (UB(J) B), то T (B) является слабо внутренним идеалом.

Упражнение 16.I. Если T и S — слабо структурные преобразования, то T ◦ S — слабо структурное преобразование.

Определение. Два внутренних идеала B, D J называются структурно парными, если существуют такие структурные

184

преобразования T и S на J, которые являются взаимно обратными биекциями между B и D:

T (B) D, T (S) D, T ◦ S = idD, S ◦ T = idB.

На самом деле отношение структурной парности задает поразительную схожесть структур внутренних идеалов.

Лемма 16.5 (о структурно парных). Если внутренние идеалы B, D J структурно парные, то решетка внутренних идеалов в J, содержащихся в B, и решетка внутренних идеалов в J, содержащихся в D, изоморфны. Иными словами, существует биекция между внутренними идеалами, содержащимися в B и в D, сохраняющая включение между своими элементами.

Доказательство. Если B и D структурно спарены посредством T и S, то T |B и S|D — взаимно обратные биекции модулей, сохраняющие внутренние идеалы по лемме 16.4: если B′ B — внутренний идеал в J, то D′ = T (B′) является внутренним идеалом в J и содержится в D. Таким образом, отображение φ : B′ → T (B′), заданное на решетке внутренних идеалов, содержащихся в B, является изоморфизмом решеток. Лемма доказана.

Нам осталось связать парность на элементах и парность на идеалах.

Лемма 16.6 (о парности главных). Если элементы b и d регулярно парны в йордановой алгебре J, то их главные внутренние идеалы (b] и (d] структурно парны с помощью Ud и Ub :

причем эти Ub и Ud являются взаимно обратными структурными биекциями, сохраняющими внутренние идеалы.

Доказательство. Во-первых, Ub(Jb) (b], Ud(Jb) (d]. Вовторых, пусть x (b], то есть x = Ubba для некоторого ba Jb. Тогда

UbUd(x) = UbUdUbba = UUbdba = Ubba = x.

Таким образом, UbUd = id(b]. Аналогично UdUb = id(d]. Лемма доказана.

Все эти факты мы применим уже в следующей главе.

185

Глава 17.

Минимальные внутренние идеалы и степень

Минимальные внутренние (или односторонние в ассоциативных алгебрах) идеалы — это весьма неестественная вещь. Но неразложимый идемпотент порождает минимальный внутренний идеал. Значит, придется о них поговорить. Но самое главное — здесь мы введем понятие степени.

17.1.Минимальные внутренние идеалы

Пусть J — йорданова алгебра.

Определение. Ненулевой внутренний идеал B J называется минимальным, если не существует других ненулевых внутренних идеалов, содержащихся в B:

0 < C ≤ B −→ C = B.

Внутренний идеал называется простым, если он минимальный и нетривиальный, то есть

UBJb̸= 0.

Элемент b J называется простым, если его главный внутренний идеал (b] является простым внутренним идеалом, содержащим b.

186

Поскольку b (b] тогда и только тогда, когда b (b) по лемме 16.1 о регулярно парных, то b — простой тогда и только тогда, когда он регулярен и порождает простой внутренний идеал (b].

Идемпотент e называется полностью примитивным, если пирсовская подалгебра (e] = J2(e) является алгеброй с делением.

Лемма 17.1 (о простоте парных). 1) Если внутренние идеалы B, D J структурно парные, то B минимален (прост) тогда и только тогда, когда D минимален (прост).

2) Если элементы b, d J регулярно парные, то b прост тогда и только тогда, когда d прост.

Доказательство. 1) Условие минимальности внутренних идеалов соответствует условию минимальности элементов в решетках внутренних идеалов, а эти решетки изоморфны в силу леммы 16.5 о структурно парных. Для простоты надо проверить сохранение тривиальности. Пусть B тривиален и T : B → D — структурное преобразование. Тогда UBJb= 0 и

UT (B)Jb= T UBT (Jb) T (UB(Jb)) = 0,

откуда D = T (B) тривиален.

2) Если b и d регулярно парные, то по лемме 16.6 главные внутренние идеалы (b] и (d] структурно парные, так что (b] минимален тогда и только тогда, когда (d] минимален. В то же время b и d регулярные (поскольку они регулярно парные), значит, b прост тогда и только тогда, когда d прост. Лемма доказана.

Рассмотрим, как выглядят простые элементы в наших старых знакомых примерах йордановых алгебр.

Пример (простых идемпотентов в полной и эрмитовой алгебрах). Пусть J — это йорданова матричная алгебра J = Mn(D)+ или эрмитова матричная алгебра J = Hn(D, ), где D

— ассоциативное тело (с инволюцией). Диагональная матричная единица e = Eii является простым идемпотентом, а ее главный внутренний идеал (e) = (e] = DEii ((e] = H(D)Eii) является простым внутренним идеалом.

В диагональном изотопе Hn(D, Γ) ситуация аналогична, поскольку Jii(uii) = H(D)(γi)Eii является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда H(D)Eii является алгеброй с делением по предложению 6.5 о тривиальных и обратных в изотопе.

187

В йордановой матричной алгебре Hn(C, Γ) для любой композиционной алгебры C над полем Φ диагональная матричная единица b = Eii является простым идемпотентом и его главный внутренний идеал Jii = H(C)(γi)Eii ΦEii является простым внутренним идеалом.

Пример (простых нильпотентов в полной и эрмитовой алгебрах). Рассмотрим йорданову матричную алгебру Mn(D)+, где D — ассоциативное тело. Внедиагональная матричная единица b = Eij является простым нильпотентом и его простой главный внутренний идеал B = Ub(J) = DEij регулярно парный, b d, b e с нильпотентом d = Eji и простыми идемпотентами e = Eii + Eji или e = Ejj + Eji. Внутренний идеал B является структурно парным с простыми идемпотентами

Вообще говоря, алгебра Hn(D, ) не обязана содержать нильпотенты (например, Hn(R)). Если D содержит элемент γ, γγ = −1, то элемент b = Eii + γEij + γ Eji − Eij является простым нильпотентом в Hn(D, ), спаренным с простым идемпотентом e = Eii.

Пример (тривиальных в алгебре треугольных матриц).

Пусть A = Tn(D) — матрица верхнетреугольных n × n матриц над ассоциативным телом D. Если J = A+, то внедиагональные матричные единицы Eij (i < j) являются тривиальными элементами. Внутренний идеал ΦEij является тривиальным. Если Φ — поле, то ΦEij минимален.

Пример (в алгебре с делением). Если J — йорданова алгебра с делением, то каждый ненулевой элемент b является простым,

(b) = (b] = J.

Пример (простых идемпотентов в алгебре квадратичной формы). Пусть J = RedSpin(q) = Φe1 M Φe2. Тогда Jii = Φei Φ+, где i = 1, 2. Таким образом, ei — простые идемпотенты (Jii — это подалгебра с делением и простой внутренний идеал) тогда и только тогда, когда Φ — поле.

Упражнение 17.A. В этих примерах все верно.

188

Мы готовы описать минимальные внутренние идеалы в йордановых алгебрах.

Теорема 17.2 (о минимальных внутренних идеалах). Если J — йорданова алгебра и B — минимальный внутренний идеал, то B имеет один из следующих типов:

Тривиальный тип: B = Φz, где z — тривиальный, UzJb= 0; Идемпотентный тип: B = (e] = UeJ, где e — простой идемпотент (тогда B — алгебра с делением);

Нильпотентный тип: B = (b] = UbJ, где b — простой нильпотент (тогда B — тривиальная подалгебра, UBB = 0, x2 = 0 для любого x B).

Если B = (b] имеет нильпотентный тип, то он структурно спарен с простым внутренним идеалом (e], где e — простой идемпотент. Кроме того:

1)идемпотент e прост тогда и только тогда, когда он является полностью примитивным;

2)внутренний идеал прост тогда и только тогда, когда он имеет идемпотентный тип с полностью примитивным идемпотентом, или нильпотентный тип с простым нильпотентом, структурно спаренным с полностью примитивным идемпотентом.

Доказательство. Всюду далее, B — минимальный внутренний идеал в J. Разобьем доказательство на несколько шагов.

Шаг 1. Допустим, B содержит ненулевой тривиальный элемент z. Тогда Φz является внутренним идеалом J, содержащимся в B, так что B = Φz. В частности, B имеет тривиальный тип.

Всюду далее считаем, что B не содержит тривиальных элементов!

Шаг 2. Если 0 ̸= b J, то, поскольку b нетривиален, (b] = UbJb ̸= 0 — ненулевой внутренний идеал J, содержащийся в B. Таким образом, если 0 ̸= b B, то B = (b] и b прост.

Шаг 3. Допустим, если 0 ̸= b B, то b2 ̸= 0. Тогда

b B = Ub2 Jb= Ub(UbJb) = UbB.

Таким образом, Ub сюръективен на B, значит, по лемме 16.3 о сюръективной единице B = (e] — унитальная подалгебра и b обратим. Тем самым, B = (e] — алгебра с делением, где e — простой идемпотент. В частности, B имеет идемпотентный тип.

189

Шаг 4. Можно считать, что найдется такой 0 ̸= b B, что b2 = 0. Пусть c B. Тогда c UbJb, так что c = Uby. Справедливо равенство

Таким образом, c2 = 0 для любого c B. Допустим, UcB ̸= 0. Тогда UcB является ненулевым внутренним идеалом по лемме 16.4 о структурной внутренности (и в силу упражнения 16.F о том, что оператор Uc является структурным). Но тогда

B = UcB = Uc(UcB) = Uc2 B = 0.

Противоречие, значит, UcB = 0 для любого c B и UBB = 0. Таким образом, B имеет нильпотентный тип.

Шаг 5. Пусть B имеет нильпотентный тип. Тогда по доказанному все элементы в нем простые, а значит, регулярные, так что по лемме 16.1 о регулярно парных элемент b B регулярно парен некоторому d, который по лемме 17.1 сам является простым, так

в J, структурно парный b. Докажем это. По принципу Ширшова —

Шаг 6. 1) Унитальная подалгебра (e] является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда она не содержит собственных внутренних идеалов по критерию тела 6.3.

2) Простой внутренний идеал имеет один из этих двух типов по доказанному. Обратно, по (1) внутренние идеалы идемпотентного типа просты, а по лемме 17.1 любой внутренний идеал, который структурно парен простому (e] является простым. Теорема доказана.

190