Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Таким образом, bj тривиален и 0 = bj = Uz(ˆai). Тем самым, Uz(Jbi) = 0. Осталось заметить, что по предложению 8.7 имеем

Uz(y1) = {qi(z, y1), z} − {qj(z), y1} =

= −{qj(z), y1} = −{Uz(ˆei), y1} = 0.

Таким образом, Uz зануляется на всех трех компонентах Jbj, Jbi, J1 алгебры Jb, так что z тривиален, откуда z = 0. Предложение доказано.

121

Глава 9.

Следствия пирсовского умножения

В любой математике случаются скучные и надоедливые вычисления. Предыдущую главу было сложно пережить. Остается совсем немного, и в следующих двух главах мы сможем применить все это. Ключевая цель данной главы: если дополнительные идемпотенты связаны, то усилим их связь, перейдя к очень похожей алгебре.

На протяжении этой главы мы фиксируем идемпотент e J и пирсовское разложение

J = J2 J1 J0

относительно идемпотента e J.

На протяжении этой главы будем постоянно использовать диагональную ортогональность: если ai Ji, где i = 0, 2 и j = 2 − i, то

Uai Jbj = Uai J1 = 0, Uai Jb= Uai Jbi Ji.

9.1.Инволюция связи

Начнем с небольшого предложения о том, что ряд свойств всей алгебры наследуется диагональными подпространствами. Обратное тоже верно — эти свойства элементов и подмножеств в диагональных подпространствах выполнены и глобально.

122

Предложение 9.1 (о диагональной наследственности).

Пусть i = 0, 2, zi Ji и Bi — подмодуль в Ji.

1)zi тривиален локально тогда и только тогда, когда он тривиален глобально. Иными словами, zi тривиален в Ji тогда и только тогда, когда он тривиален в J. В частности, если J невырождена, то Ji невырождена.

2)Bi является внутренним локально тогда и только тогда, когда он является внутренним глобально. Иными словами, Bi — внутренний идеал в Ji тогда и только тогда, когда Bi — внутренний идеал в J.

3)Внутренний идеал Bi минимален локально тогда и только тогда, когда он минимален глобально. Иными словами, внутренний идеал Bi минимален в Ji тогда и только тогда, когда Bi минимален в J. В частности, если J удовлетворяет условию минимальности по внутренним идеалам, то Ji также удовлетворяет этому условию.

Доказательство. 1) Uzi (Jbi) = 0 Uzi (Jb) = 0.

2) UBi (Jbi) Bi UBi (Jb) Bi.

3) Упражнение. Предложение доказано.

Упражнение 9.A. Внутренний идеал Bi минимален в Ji тогда и только тогда, когда Bi минимален в J. В частности, если J удовлетворяет условию минимальности по внутренним идеалам, то Ji также удовлетворяет этому условию.

Если в унитальной обертывающей от невырожденной алгебры какой-то элемент подозрительно похож на новую единицу — то это мягкий намек на то, что этот элемент является старой единицей.

Теорема 9.2 (о единичном идемпотенте). Если J — невырожденная йорданова алгебра и J0 = 0, то e является единицей алгебры J, e = 1.

Доказательство. Просто докажем, что J = J2, тогда все будет вытекать из предложения 7.3 о пирсовских корневых подпространствах. Таким образом, остается доказать, что J1 = 0. Пусть z1 J1. Покажем его слабую тривиальность. По теореме 7.4 о пирсовском умножении Uz1 J2 J0 = 0. Докажем, что Uz1 J1 = 0. По связи квадратичной формы с U-оператором 8.7 для этого достаточно показать, что q0(J1) = q2(J1) = 0. С первым все понятно. Заметим, что z2 = q2(z1) = z12. Тогда по теореме о пирсовском умножении

Uz2 (J) = Uz2 (J2) = U21 (J2) Uz1 (J0) = 0.

z

123

Таким образом, z2 = q2(z1) слабо тривиален. По предложению 4.11 о слабо тривиальных z2 = 0, откуда следует Uz1 J1 = 0, так что z1 = 0 и J1 = 0. Теорема доказана.

Наличие всего лишь одного обратимого элемента во внедиагональном пространстве позволяет выстроить всю теорию таких алгебр. А если этот элемент еще и инволюцией является, то результаты получаются еще лучше.

Определение. Будем говорить, что идемпотенты e и e′ = 1 − e связаны, если во внедиагональном J1 найдется обратимый элемент v1. Будем говорить, что идемпотенты e и e′ = 1 − e строго связаны, если найдется внедиагональная инволюция v12 = 1.

Если v1 J1 и v12 = 1, то назовем отображение x → x = Uv1 (x) инволюцией связи. По лемме 5.9 о инволюции отображение Uv1 является инволюцией (автоморфизмом порядка 2).

Предложение 9.3 (об инволюции связи). Инволюция связи сохраняет неподвижным v1 и переставляет e и e′ :

e = e′, e′ = e, v1 = v1.

Доказательство. Если считать e2 = e и e0 = e′, то по альтернативному выражению 8.5 получаем

Uv1 (e) = q0(v1) = E0(v12) = e′,

Uv1 (v1) = v13 = v1.

Предложение доказано.

Упражнение 9.B. Дополнительный идемпотент переходит в исходный:

e′ = e.

На самом деле инволюция связи сильно завязана на «следах» пирсовских квадратичных форм. След обычно определяется через формы следующим образом: один аргумент линеаризации формы полагается равным 1. В наших условиях вместо единицы выступает инволютивный элемент внедиагонального пространства.

Предложение 9.4. Если ti(x1) = qi(v1, x1), то для ai Ji :

124

Доказательство. В силу предложения 8.7 о связи квадратичной формы с U-оператором если j = 2 − i, то инволюция действует следующим образом:

ai = Uv1 ai = qj(v1, ai ◦ v1) = tj(ai ◦ v1),

x1 = Uv1 (x1) = {qi(v1, x1), v1}−{qj(v1), x1} = {ti(x1), v1}−{ej, x1} =

= {ti(x1), v1} − x1.

По альтернативному выражению 8.5 и предложению 9.3 получаем

qi(x1) = Ux1 ej = Ux1ej = Ux(ei) = qj(x).

Предложение доказано.

Эрмитовы элементы относительно инволюции всегда интересны. Оказывается, множество таких элементов совпадает с образом оператора умножения инволютивного элемента на любое из диагональных пространств.

Предложение 9.5 (о множестве неподвижных точек связи). Множество неподвижных точек инволюции связи x1 → x1 на J1 совпадает с {J2, v1} = {J0, v1} :

{ai, v1} = {ai, v1} = {ai, v1}.

Доказательство. Пусть x1 — неподвижная точка. Тогда по предложению 9.4

2x1 = x1 + x1 = {ti(x1), v1} {Ji, v1}.

Обратно, {Ji, v1} неподвижно, поскольку

{ai, v1} = Uv1 Vv1 (ai) = Uv12,v1 (ai) = Vv1 (ai) = {ai, v1}.

Аналогично {ai, v1} = {ai, v1}. Предложение доказано.

Упражнение 9.C. Имеет место равенство

{ai, v1} = {ai, v1}.

125

9.2.Создание инволюций

Если во внедиагональном пространстве есть обратимый элемент, но не инволюция, то мы не можем применять полученные выше утверждения. Пора расстраиваться. Но в этот момент в руку незаметно скользнула волшебная палочка изотопии. Осталось только научиться ею пользоваться — и создать инволюцию. Сперва поколдуем над изотопами.

Лемма 9.6 (о диагональных изотопах). Пусть J — унитальная йорданова алгебра, u = u2 + u0 J, где ui — обратимые в Ji элементы. Тогда диагональный изотоп J(u) обладает новой

единицей

1(u) = e(2u) + e(0u)

с новыми идемпотентами (обратные берутся в Ji)

Новое пирсовское разложение в J(u) совпадает со старым в J :

Jk(u)(e(u)) = Jk(e).

Новые пирсовские специализации и квадратичные формы:

σi(u)(ai) = σi(ai)σi(ui), qi(u)(x1) = qi(x1, uj ◦ x1).

˜ (u) −1

гомотопе получаем 1 = 1 = u . В то же время J2 J0 — это алгебра, являющаяся прямой суммой своих идеалов J2 и J0, так что по предложению 5.8 справедливо u−1 = u−2 1 + u−0 1. Заметим, что

126

˜

Аналогично J0 J0. Тем самым имеем два разложения модуля J в прямую суммую трех подмодулей, при этом J˜k Jk. Очевидно, что в этом случае J˜k = Jk. Заметим, что по предложению 6.3 и по связи квадратичной формы с U-оператором 8.7 получаем

˜

x2 = Ux(u) = Ux(u2) + Ux(u0) = q0(x, u2 ◦ x) + q2(x, u0 ◦ x).

Итак, утверждение для пирсовских квадратичных форм очевидно. Специализации тоже пересчитываются по предложению 6.3 и предложению 8.1:

˜

Vai = Vai,ui = Vai Vui .

Лемма доказана.

Нам понадобится небольшое замечание о том, что U-операторы очень естественно входят в композицию с пирсовскими квадратичными формами.

Предложение 9.7 (переворачивающее правило). Пусть vi = qi(v), где v J1 — обратимый в J. Тогда

Uv±1(vik) = vjk±1,

v0−1 = E0(v−2).

Доказательство. Поскольку v2 = v2 + v0, то v2k = v2k + v0k для всех k (из предложения 5.8 это верно даже для отрицательных k). Таким образом,

Uv±1(vik) = Ej(Uv±1(v2k)) = Ej(v2k±2) = vjk±1.

В частности, при j = k = 0 получаем v0−1 = E0(v−2). Предложение доказано.

Мы готовы воплотить план в жизнь. Создаем инволюцию.

Предложение 9.8 (о создании инволюций). Пусть v1

J1(e) обратим в J и положим u = u2 + u0, где u2 = e и u0 = q0(v1)−1. Тогда v1 J1(e(u)) становится инволюцией в J(u) :

v1(2,u) = 1(u) = e(2u) + e(0u),

127

где сдвинутые идемпотенты e(u) = e(2u) = e, e(0u) = q0(v1) образуют полное семейство ортогональных идемпотентов в J(u) с тем же пирсовским разложением:

Jk(u)(e(u)) = Jk(e).

Доказательство. Обозначим v = v1, vi = qi(v1). По лемме 9.6

−1 ˜ (u)

для u = u2 + u0, u2 = e, u0 = v0 мы знаем, что J = J содержит

˜ −1 −1 ˜

единицу 1 = e˜2+e˜0, где e˜2 = u2 = e, e˜0 = u0 = v0, причем Jk = Jk.

˜

В J по предложению 7.3 и предложению 9.7 новый квадрат имеет

˜ −1 ˜

вид v2 = Uvu = Uv(v20 + v0 ) = v01 + v20 = v0 + e = 1. Таким образом, v является инволюцией. Предложение доказано.

Надо понять, как будут выглядеть в нашем творении инволюция связи, пирсовские специализации и пирсовские квадратичные формы.

Предложение 9.9 (о сдвинутой инволюции связи). Пусть

Доказательство. Следующее отображение задает инволюцию:

˜

x = Uv(x) = UvUu(x).

На J2 получаем

a2 = UvUu(a2) = UvUu2 (a2) = UvUe(a2) = Uv(a2).

На J0 получаем

a0 = UvUu(a0) = UvUu0 (a0) = UvUE0(v−2)(a0) = UvUv−2 (a0) =

= UvUv−2(a0) = Uv−1(a0).

На J1 получаем

x1 = UvUu(x1) = UvUe,u0 (x1) = Uv{v0−1, x1}.

Предложение доказано.

128

Предложение 9.10 (о сдвиге пирсовских специализаций).

В условиях предложения 9.8 пирсовские специализации в изотопе принимают вид:

σ2(u)(a2) = σ2(a2), σ0(u)(a0) = σ0(a0)σ0(q0(v1))−1,

Доказательство. Используя лемму о диагональных изотопах, докажем первые два равенства:

σ2(u)(a2) = σ2(a2)σ2(u2) = σ2(a2)σ2(e) = σ2(a2).

Последнее равенство верно по предложению 8.1. Далее,

σ0(u)(a0) = σ0(a0)σ0(u0) = σ0(a0)σ0(v0−1) = σ0(a0)(σ0(v0))−1.

Вторая строчка предложения получается из применения к предложению 9.7 (при i = 0) гомоморфизма σ2(u) = σ2. Предложение доказано.

Упражнение 9.D. Выполнены соотношения для специализаций:

Предложение 9.11 (о сдвиге пирсовских квадратичных форм). В условиях предложения 9.8 пирсовские квадратичные формы в изотопе принимают вид:

q0(u)(x1) = q0(x1), q2(u)(x1) = q2(x1, v0−1 ◦ x1).

Доказательство. Используя лемму 9.6 о диагональных изотопах, получаем:

Аналогично

q2(u)(x1) = q2(x1, u0 ◦ x1) = q2(x1, v0−1 ◦ x1).

Предложение доказано.

Все получилось очень красиво. Осталось убедиться, что эта магия не пройдет даром. Впрочем, палочку далеко убирать не надо: изотопия нам еще пригодится.

129

Глава 10.

Координатизация редуцированной алгебры квадратичной формы

Координатизационная теорема — это утверждение следующего вида. “Пусть в объекте A есть нечто, похожее на подобъект B, причем какая-то важная константа у этих объектов совпадает. Тогда объект A имеет такую же структуру, как и объект B, но в качестве некой базовой конструкции может оказаться некоторая другая”. Слово «координатизация» означает определение алгебры координат, которые и выступают в качестве «базовой конструкции».

Например, если унитальная ассоциативная алгебра содержит множество элементов, которые перемножаются между собой в точности, как матричные единицы, причем сумма «диагональных» элементов равна настоящей единице алгебры, то эта алгебра сама изоморфна алгебре матриц над некоторой алгеброй. Это формулировка координатизационной теоремы Веддерберна.

Идея классификации так называемых «алгебр степени 2» состоит в том, чтобы доказать, что эти алгебры содержат один из двух типов так называемых фреймов, которые по так называемым координатизационным теоремам будут изоморфны уже известным нам объектам.

В этой главе мы разберемся с объектами, подозрительно похожими на алгебру квадратичной формы. На протяжении этой главы

130