Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Нам в дальнейшем не понадобятся эти тождества, хотя второй пункт этого предложения (унитальную замкнутость) мы будем неявно использовать много раз.

Упражнение 3.B. 1) Гомоморфный образ йордановой алгебры J является йордановой алгеброй, т.е. если φ : J → B — гомоморфизм, то φ(J) йорданова.

2)Если I — идеал в йордановой алгебре J, то J/I — йорданова алгебра.

3)Прямое произведение йордановых алгебр является йордановой алгеброй.

3.2.Полная йорданова алгебра

Квадратичный U-оператор на первый взгляд выглядит надуманным. В этом параграфе мы обоснуем его поразительную красоту и очень сильную полезность. Эта полезность станет неописуемой, когда мы начнем работать с пирсовскими разложениями.

Определение. Φ-подмодуль B алгебры J называется внутренним идеалом, если

UB(Jb) = B2 + UB(J) B.

В частности, внутренний идеал всегда является подалгеброй. Если J унитальна, то B — внутренний идеал тогда и только тогда, когда

UB(J) B.

Пришла пора рассмотреть первый пример йордановой алгебры. Он настолько естественный, что ассоциативные алгебры нервно озираются, опасаясь, как бы их место великой структуры ктонибудь не занял.

Пример. Если A — произвольная линейная алгебра с умножением xy, то через A+ обозначается векторное пространство A относительно йорданового произведения

x ◦ y = 12(xy + yx).

Убьем двух зайцев одним выстрелом: докажем, что ассоциативная алгебра с помощью этой конструкции дает жизнь йордановой,

41

и заодно изучим свойства этой йордановой алгебры. Точнее, первый залп оставим читателю для самостоятельной попытки.

Теорема 3.2 (о полной йордановой алгебре). Пусть A —

ассоциативная алгебра c умножением xy. Тогда справедливы следующие утверждения.

1)Алгебра A+ йорданова.

2)Вспомогательные операции принимают вид:

x2 = xx, {x, z} = xz + zx, Uxy = xyx, {x, y, z} = xyz + zyx.

3)Если B ассоциативна, то любой гомоморфизм или антигомоморфизм φ : A → B ассоциативных алгебр является гомоморфизмом йордановых алгебр φ : A+ → B+. Подалгебра (идеал) в A является подалгеброй (идеалом) в A+.

4)Алгебра A унитальна тогда и только тогда, когда A+ унитальна, причем в этом случае единицы совпадают.

5)Любой односторонний идеал алгебры A является внутренним идеалом алгебры A+. Подмодули xA, Ay, xAy являются внутренними идеалами алгебры A+.

6)Алгебра A проста тогда и только тогда, когда A+ проста. Если A не содержит нильпотентных идеалов, то каждый ненулевой идеал I A+ содержит ненулевой идеал B A.

Доказательство. 1) Остается читателю в качестве упражнения. Каждый математик (имеющий хоть какие-то теплые чувства к алгебре) должен один раз в жизни проверить это утверждение самостоятельно.

2) Первые два равенства очевидны. Третье тривиально:

2Uxy = {x, {x, y}} − {x2, y} =

= x(xy + yx) + (xy + yx)x − x2y − yx2 = 2xyx.

Четвертое является линеаризацией третьего:

{x, y, z} = (Ux+z−Ux−Uz)(y) = (x+z)y(x+z)−xyx−zyz = xyz+zyz.

3)Остается читателю в качестве упражнения. Или «очевидно», как читателю больше нравится.

4)Ассоциативная единица, очевидно, будет йордановой единицей. Пусть e — единица в A+. Тогда e2 = e, откуда ee = e. Кроме того, y = Uey = eye. Тогда

ey = e(eye) = eye = y,

42

ye = (eye)e = eye = y.

5)Пусть B — односторонний идеал или подмодуль вида xAy. Тогда BABb B. В частности, bab B для любых b B, a Ab, то есть B — внутренний идеал.

6)Каждый ассоциативный идеал, очевидно, является йордановым идеалом, так что если A+ проста, то A проста. Пусть A не содержит нильпотентных идеалов и I A+. Пусть 0 ̸= b I, тогда bAb ̸= 0 (иначе ассоциативный идеал AbAb тривиален). Но тогда иде-

ал B = AbAbAb ̸= 0. Он порождается (как подмодуль) элементами вида xbybz, где x, y, z Ab. Заметим, что

xbyb = (xb)yb + by(xb) − b(yx)b =

= {xb, y, b} − Ub(yx) {A,b A,b I} + UIAb I.

Тогда

xbybz = {xbyb, z} − (zx)byb {I, A} + I I.

Итого B I и вторая часть утверждения доказана. В частности, если A проста, то A+ проста. Теорема доказана.

Упражнение 3.C. Если алгебра A ассоциативна, то алгебра A+ йорданова. Эта алгебра называется полной йордановой алгеброй.

Упражнение 3.D. Если B ассоциативна, то любой гомоморфизм или антигомоморфизм φ : A → B ассоциативных алгебр является гомоморфизмом йордановых алгебр φ : A+ → B+. Подалгебра (идеал) в A является подалгеброй (идеалом) в A+.

Упражнение 3.E. Если A — такая ассоциативная алгебра, что A+ тривиальна, то умножение в A антикоммутативно, x2 = 0, xy = −yx и A3 = 0.

Мы увидели глубокие связи между структурой ассоциативной алгебры и создаваемой ей йордановой алгебры. В частности, заметили, что понятие внутреннего идеала довольно естественно.

Второй пункт теоремы можно применять и для подалгебр в полной йордановой алгебре. В связи с этим необходимой и крайне важной является следующая терминология.

Определение. Йорданова алгебра называется специальной, если она изоморфно вкладывается в алгебру A+ для некоторой ассоциативной алгебры A. Неспециальная йорданова алгебра называется исключительной.

43

С некоторыми затруднениями специальные йордановы алгебры можно изучать методами ассоциативной алгебры. Удивительно, но зачастую эти методы более «ассоциативные», чем те методы, которыми пользуются специалисты по ассоциативным кольцам в последние годы. В следующих трех параграфах мы рассмотрим большую серию примеров специальных йордановых алгебр. Отметим, что априори не очевидно существование исключительных йордановых алгебр.

3.3.Эрмитова йорданова алгебра

Пришло время для тяжелой артиллерии — алгебр с инволюцией. Именно с эрмитовых элементов таких алгебр в свое время начал исследование Паскаль Йордан. Именно на что-то подобное он надеялся в рамках описания квантовой механики. Немного жаль, что великая цель структурной теории йордановых алгебр заключалась в том, чтобы развеять эти надежды.

Определение. Если A — произвольная -алгебра, то через H(A, ) обозначается подмножество в A эрмитовых элементов, H(A, ) = {x A|x = x}. Если C — композиционная алгебра со стандартной эволюцией, то используем обозначение H(C).

На самом деле, вся суть алгебр эрмитовых элементов заключается в следующем предложении, хоть понятно это станет только в теореме чуть ниже. Обращаем внимание, что алгебра в этом утверждении не подразумевается ассоциативной.

Предложение 3.3 (о подалгебре неподвижных элементов). Пусть A — алгебра и φ : A → A — эндоморфизм. Тогда множество {a A|φ(a) = a} образует подалгебру в A.

Доказательство. Пусть x, y {a A|φ(a) = a}. Тогда

φ(x − y) = φ(x) − φ(y) = x − y,

φ(xy) = φ(x)φ(y) = xy,

так что {a A|φ(a) = a} — подалгебра в A. Предложение доказано.

В теории ассоциативных алгебр особое место занимают алгебры без тривиальных идеалов.

44

Определение. Алгебра называется полупервичной, если любой ее ненулевой идеал имеет ненулевое умножение:

I2 = 0 → I = 0.

Если алгебра ассоциативна, то это условие эквивалентно отсутствию нильпотентных идеалов.

Лемма 3.4 (о полупервичности -простой алгебры). Если

A — -простая ассоциативная алгебра, то A полупервична.

Доказательство. Пусть B A и B2 = 0. Тогда B∩B — -идеал, отличный от A, то есть B ∩ B = 0. В частности, BB = B B = 0. Заметим, что (B )2 = 0, так как для любых x, y B справедливо

xy = (y x ) = 0 = 0. В то же время B + B — -идеал. Допустим,

B + B = A. Но тогда (B + B )2 B2 + (B )2 + BB + B B = 0 и

A2 = 0, противоречие. Значит, B + B = 0 и B = 0. Таким образом, A полупервична, лемма доказана.

Опять будем стрелять очередями. Докажем йордановость эрмитовой йордановой алгебры. На самом деле она почти очевидна, но мы сделаем вид, что не заметили, что заяц поражен еще предыдущей серией выстрелов, и прицелимся еще раз. Живности будет поменьше, зато эти зайцы размером с хорошего волка.

Теорема 3.5 (об эрмитовой йордановой алгебре). Пусть

A — ассоциативная -алгебра.

1)Алгебра H(A, ) йорданова и является подалгеброй в A+. Любой -гомоморфизм или -антигомоморфизм (A, ) → (A′, ′) индуцирует гомоморфизм H(A, ) → H(A′, ′).

2)Если B — это подалгебра, а I — идеал в A, то H(B, ) — подалгебра, а H(I, ) — идеал в H(A, ). Для любого x A подмодуль xH(A, )x является внутренним идеалом в H(A, ).

3)Если A -проста, то H(A, ) — простая йорданова алгебра. Каждый ненулевой идеал I H(A, ) содержит H(B, ) для ненулевого -идеала B A. Обратно, если A унитальна и полупервична, то из простоты H(A, ) вытекает -простота алгебры A.

Доказательство. 1) является антиавтоморфизмом алгебры A, значит, является автоморфизмом алгебры A+ по теореме 3.2. Алгебра H(A+, ) является подалгеброй в A+ по предложению 3.3. Но H(A, ) = H(A+, ), так что H(A, ) — подалгебра в йордановой алгебре A+.

45

Пусть φ : (A, ) → (A′, ′) — -(анти)гомоморфизм. Тогда по теореме 3.2.(3) φ является гомоморфизмом A+ → (A′)+, причем

φ(x ) = (φ(x)) ′, так что образ ограничения φ на H(A, ) лежит в

H(A′, ′).

2) Пусть C — подалгебра (идеал) в A. Заметим, что H(C, ) = C ∩ H(A, ). Но C ∩ H(A, ), очевидно, является подалгеброй (иде-

является внутренним идеалом.

3) Обозначим H = H(A, ). Пусть I H(A, ) и 0 ̸= b I. Докажем, что UbI ̸= 0. Для этого сперва докажем, что UbH ̸= 0.

По лемме 3.4 алгебра A полупервична. В частности, b′ = bab ̸= 0 для некоторого a A. Тогда (bab)a′(bab) ̸= 0 для некоторого a′ A. С другой стороны,

(bab)a′(bab) = b((aba′) + (aba′) − (a′) ba )bab =

= b(t(aba′) − (a′)ba )(bab) = Ubt(aba′) · ab − b(a′) · Ub(a ba).

Таким образом, b′′ = Ubh ̸= 0 либо для h = t(aba′) H, либо для h = a ba H. Итак, UbH ̸= 0. В силу произвольности b получаем, что Ub′′h′ ̸= 0 для некоторого h′ H.

Осталось заметить, что

0 ̸= Ub′′h′ = (bhb)h′(bhb) = Ub{h, b, h′} · hb − bh′ · UbUhb.

xbcbx = (h − bx )c(h − xb) = hch + b(x cx)b − t(hcxb).

Здесь hch = Uhc UHI I, b(x cx)b = Ub(x cx) UIH I, t(hcxb) = t(h(k − x c)b) = t(hkb) − t(hx cb), где t(hkb) = {h, k, b}

{H, H, I} I и t(hx cb) = t(xbx cb) + t(bx x cb) = {xbx , c, b} +

Ubt(x x c) {H, H, I} + UIH I. Итого получаем, что xbcbx I.

46

Но, линеаризуя (подставляя вместо x элемент x + y и вычитая вы-

ражение для x и для y), получаем xbcby + ybcbx I, то есть t(xbcby ) I. Итого H(B, ) I.

Заметим, что из последнего включения вытекает простота алгебры H(A, ). В самом деле, если H(A, ) не проста, то существует собственный ненулевой идеал I H(A, ) и тогда существует ненулевой собственный -идеал B A, что противоречит -простоте алгебры A.

Обратно, пусть A унитальна и полупервична, а алгебра H(A, ) проста. Допустим, существует ненулевой собственный -идеал B A. Тогда H(B, ) H(A, ). Кроме того, если H(A, ) = H(B, ), то H(A, ) B. Однако 1 H(A, ), так что в этом случае 1 B и B = A, противоречие. Итак, H(B, ) — собственный идеал в H(A, ). В

то же время если H(B, ) = 0, то b + b = bb = 0 для любого b B, откуда bab = (ba + a b )b − a b b = ((ba) + (ba) )b − a (b b) = 0

для любого a A и bAb = 0, противоречие с полупервичностью алгебры A. Таким образом, H(B, ) — собственный ненулевой идеал в H(A, ), противоречие с простотой H(A, ), так что алгебра A - проста. Теорема доказана.

На самом деле полная йорданова алгебра входит в семейство эрмитовых. При желании их можно изучать общими методами.

Предложение 3.6 (о эрмитовости полной алгебры). Алгебра A+ изоморфна алгебре эрмитовых элементов алгебры Ex(A) относительно перестановочной инволюции:

A+ H(Ex(A), ex)

Доказательство. Элемент x A+ находится во взаимно однозначном соответствии с элементом x x H(Ex(A), ex). Остальное тривиально. Предложение доказано.

Если у нас есть алгебра с инволюцией, то, рассмотрев квадратные матрицы над этой алгеброй, мы получим новую алгебру с инволюцией (композицией транспонирования и инволюции исходной алгебры). Эрмитовы элементы матричных алгебр чрезвычайно важны и образуют ядро всей структурной теории йордановых алгебр.

Пример. Пусть D — произвольная -алгебра c инволюцией x → x. Тогда X = XT является инволюцией алгебры Mn(D)

47

относительно обычного матричного прозведения XY . Эрмитова матричная алгебра Hn(D) := H(Mn(D), ) состоит из всех эрмитовых матриц X = X относительно йорданового произведения X ◦ Y = 12 (XY + Y X) или относительно скобки {X, Y } = XY + Y X = X ◦Y . Если Eij — это матричные единицы, то будем использовать следующие обозначения (так называемые обозначения Джекобсона):

Тогда пространство Hn(D) порождается элементами:

δ[ii], d[kj], 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ̸= j ≤ n, δ H(D, ), d D.

Заметим, что выполнено соотношение d[ij] = d[ji].

Вычислим, как работает умножение в эрмитовой матричной алгебре. Поскольку речь идет о прямолинейных вычислениях, то оставим их читателю для самостоятельного развлечения.

Лемма 3.7 (о эрмитовой матричной алгебре). 1) Для квадрата X2 = XX и для скобки {X, Y } = XY + Y X скобочные произведения вычисляются следующим образом (все индексы i, j, k считаются различными):

d[ij]2 = dd[ii] + dd[jj], {d[ij], b[ij]} = (db + bd)[ii] + (db + bd)[jj],

{δ[ii], d[ij]} = δd[ij],

{d[ij], δ[jj]} = dδ[ij],

{d[ij], b[jk]} = db[ik].

Кроме того, если {i, j} ∩ {k, l} = , то выполнена скобочная ортогональность:

{d[ij], b[kl]} = 0.

2) Пусть либо алгебра D альтернативна и все эрмитовы элементы лежат в ядре, либо D ассоциативна. Тогда для любых x, y D элементы x, y, x, y порождают ассоциативную подалгебру. В частности, для Uxy = 12 ({x, {x, y}}−{x2, y}) U-произведения вычисляются следующим образом (i ̸= j) :

Uδ[ii]β[ii] = δβδ[ii],

48

Ud[ij]β[ij] = dβd[ij],

Ud[ij]β[jj] = dβd[ii].

Кроме того, если множество {k, l} не является подмножеством в {i, j}, то выполнена U-ортогональность:

Ud[ij]b[kl] = 0.

3) Пусть алгебра D ассоциативна. Тогда йордановы тройные произведения вычисляются следующим образом:

Кроме того, если j ̸= k или l ̸= p, то выполнена тройная ортогональность:

{d[ij], b[kl], c[pq]} = 0.

Доказательство. Все проверяется непосредственными матричными вычислениями. Лемма доказана.

3.4.Алгебра квадратичной формы

На вечеринке йордановых алгебр не все гости оказались старыми знакомыми. Кому-то приглашение прилетело случайно, но они быстро влились в дружную компанию.

Пример. Пусть M — Φ-модуль с заданной на нем квадратичной формой Q : M → Φ с базой c M. Тогда при T (x) = Q(x, c) на M определена структура Φ-алгебры с умножением

x ◦ y := 12(T (x)y + T (y)x − Q(x, y)c).

Эта алгебра обозначается Jord(Q, c) и называется квадратичным фактором, или алгеброй квадратичной формы.

В отечественной литературе более классическим является определение этой алгебры через билинейную форму, но мы гораздо чаще будем оперировать именно квадратичным вариантом. Впрочем, чуть позже мы приведем и билинейное определение.

49

При изучении композиционных алгебр мы сталкивались с тем, что нулевая, первая и вторая степень любого элемента линейно зависимы. Это свойство еще называют квадратичность, или алгебраичность второй степени. Оказывается, такое свойство вкупе с коммутативностью обеспечивают йордановость.

Лемма 3.8 (о квадратичных коммутативных алгебрах).

Пусть J — унитальная коммутативная алгебра, в которой каждый элемент является корнем квадратного уравнения:

x2 − αx + β1 = 0,

где α и β зависят от x. Тогда алгебра J йорданова.

Доказательство. В самом деле, мы уже замечали, что любая коммутативная алгебра эластична. Теперь, пользуясь тем, что 1 N(J), получаем:

(x2, y, x) = (αx − β1, y, x) = α(x, y, x) − β(1, y, x) = 0.

Лемма доказана.

При изучении вещественных квадратичных форм в рамках стандартного курса высшей алгебры мы сталкивались с тем, что такие формы могут зануляться при некоторых ненулевых значениях переменных. Для такой сущности существует очень красивая терминология.

Определение. Пусть Q — квадратичная форма на модуле M. Вектор x M называется изотропным относительно Q, если Q(x) = 0. Форма Q называется изотропной, если в M существует ненулевой изотропный вектор относительно Q. Если таких векторов нет, то форма Q называется анизотропной.

Изучим свойства алгебр квадратичной формы. Кроме уже привычных йордановости (которая будет вытекать из квадратичности и унитальности), условий простоты и вычисления U-оператора докажем так называемую йорданову композицию квадратичной формы. Звучит круто, но на самом деле все очень просто.

Теорема 3.9 (о квадратичном факторе). Справедливы следующие утверждения.

1) В Jord(Q, c) есть единица 1 = c.

50