Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Пусть D — унитальная альтернативная алгебра с ядерной инволюцией, A = (aij) Hn(D). Тогда aii = aii H(D) N(D) и

aij = aji.

Напомним, что через Eij обозначены матричные единицы. Легко проверяется следующее утверждение.

Предложение 3.15 (об ассоциаторе в матричной алгебре). В алгебре Mn(D) выполнено соотношение:

(aEij, bEkl, cEpq) = (a, b, c)EijEklEpq.

Упражнение 3.I. В алгебре Mn(D) выполнено соотношение:

(aEij, bEkl, cEpq) = (a, b, c)EijEklEpq.

Предложение 3.16. Пусть A = (aij) H3(D). Тогда в алгебре

M3(D) имеем [A2, A] = 2a, где a = (a12, a23, a31).

Доказательство. В силу предложения 3.15 имеем

Если i = j или j = k или k = l, то (aij, ajk, akl) = 0 (поскольку один из аргументов лежит в N(A)).

Если i = k, то aij = ajk и

(aij, ajk, akl) = (aij, ajk, akl) = −(aij, aij, akl) = 0.

Аналогично если j = l, то (aij, ajk, akl) = 0.

Предположим, ассоциатор не равен нулю. Тогда индексы i, j, k различны и k, j ̸= l. Но индексов всего 3, так что i = l. Следовательно,

X

[A2, A] = (aij, ajk, aki)Eii.

i,j,k̸=

Далее,

(aij, ajk, aki) = (aki, aij, ajk),

(aik, akj, aji) = (aki, ajk, aij) = −(aki, ajk, aij) = (aij, ajk, aki).

Таким образом,

(aij, ajk, aki) = (a12, a23, a31) = a.

61

Предложение доказано.

Немного перепишем тождества Муфанг на языке ассоциаторов при наличии ядерных элементов.

Предложение 3.17 (ассоциаторные тождества Муфанг).

Пусть D — альтернативная алгебра и x N(D). Тогда

(xa, b, c) = x(a, b, c),

(ax, b, c) = (a, b, c)x.

Доказательство. Обозначим d = bc, e = ab. Тогда

(xa, b, c) = ((xa)b)c − (xa)(bc) = (x(ab))c − (xa)d = (xe)c − x(ad) =

= x(ec) − x(ad) = x((ab)c) − x(a(bc)) = x(a, b, c).

Аналогично (c, b, ax) = (c, b, a)x. Но тогда

(ax, b, c) = −(c, b, ax) = −(c, b, a)x = (a, b, c)x.

Предложение доказано.

Читателю предоставляется самому развлечься и убедиться, что алгебра H4(D) не является йордановой при неассоциативной алгебре D. В частности, Hn(D) не будет йордановой при n > 3. При n = 2 можно показать, что H2(D) будет алгеброй квадратичной формы (мы это заметим только при координатизации). Настоящая магия происходит при n = 3.

Теорема 3.18 (йордановость алгебры Алберта). Пусть D

является унитальной альтернативной алгеброй с ядерной инволюцией. Тогда алгебра H3(D) йорданова.

Доказательство. Нам необходимо доказать, что для любых A, B H3(D) выполнено

(A2 ◦ B) ◦ A = A2 ◦ (B ◦ A),

то есть нужно показать, что (A, B, C)+ = 0 при C = A2. Для этого, без ограничения общности, достаточно показать, что коэффициенты при E11 и E12 у (A, B, C)+ равны нулю.

62

По предложению 3.12 об ассоциаторе йорданова произведения (A, B, C)+ является линейной комбинацией ассоциаторов матриц A, B и C в различных порядках и элемента [B, [A, C]] = [B, [A, A2]] = −[B, (A, A, A)] = [(A, A, A), B]. Последнее в силу предложения 3.14 о коммутаторе ассоциатора представляется в виде

[(A, A, A), B] = (A2, A, B) + (A2, A, B) + (A2, A, B) = 3(A2, A, B).

Таким образом, (A, B, C)+ является линейной комбинацией ассоциаторов матриц A, B и C в различных порядках.

В силу предложения 3.15 об ассоциаторе в матричной алгебре каждая компонента (A, B, C)+ является суммой ассоциаторов, следовательно, является кососимметричной. Однако элемент при E11 должен быть симметричным. Таким образом, он равен нулю.

Поскольку ассоциатор (A, B, C)+ линеен по B, то достаточно показать, что коэффициент при E12 у этого ассоциатора равен нулю в следующих четырех случаях:

B = biiEii,

Если B = biiEii, то bii N(D), так что по предложению 3.15 biiEii N(Mn(D)). Тогда по предложению 3.12

4(A, B, C)+ = [B, [A, C]] = 3(A2, A, B) = 0.

Таким образом, (A, B, C)+ = 0 при B = biiEii.

Пусть B = b13E13 + b31E31. Тогда коэффициент при E12 у элемента (A, B, C) в силу предложения 3.15 равен

X

(a1k, bkl, cl2) = (a11, b13, c32) + (a13, b31, c12) = (a13, b31, c12).

k,l

Аналогично коэффициенты при E12 элементов

−(C, B, A), (B, A, C), −(C, A, B), (A, C, B), −(B, C, A)

равны соответственно:

−(c13, b31, a12), (b13, a31, c12), 0, 0, −(b13, c31, a12).

63

По предложению 3.16 коэффициент при E12 элемента [B, [A, C]] равен

−2[b13E13 + b31E31, a] = 0,

где a = (a12, a23, a31). Тогда, по предложению 3.12, коэффициент при E12 у 4(A, B, C)+ равен

(a13, b31, c12) − (c13, b31, a12) + (b13, a31, c12) − (b13, c31, a12) =

= (a13, b31, c12) + (b31, a13, c12) − (c13, b31, a12) − (b31, c13, a12) =

=(a13, b31, c12) + (b31, a13, c12) − (c13, b31, a12) − (b31, c13, a12) = 0.

Для B = b23E23 +b32E32 утверждение доказывается аналогично.

Пусть теперь B = b12E12 + b21E21. Действуя в том же духе, используя предложение 3.12, находим выражение для коэффициента при E12 у элемента 4(A, B, C)+:

(a12, b21, c12) − (c12, b21, a12) + (b12, a21, c12) + (b12, a23, c32)−

−(c12, a21, b12) − (c13, a31, b12) + (a12, c21, b12)+

+(a13, c31, b12) − (b12, c21, a12) − (b12, c23, a32) − 2[b12, a],

где a = (a12, a23, a31). Например, пятое слагаемое преобразуется так:

−(c12, a21, b12) = −(a21, b12, c12) = −(a12, b21, c12) = −(a12, b21, c12).

Перепишем все выражение следующим образом:

−2(a12, b21, c12)+2(a13, c31, b12)+2(b12, a23, c32)−2[b12, (a12, a23, a31)].

Вспомним, что C = A2 и cij = Paikakj. Таким образом,

(cij, aji, b12) = (aiiaij, aji, b12) + (aijajj, aji, b12) + (aikakj, aji, b12),

где все коэффициенты i, j, k различны. Так как aii N(D), то по ассоциаторным тождествам Муфанг 3.17

(aiiaij, aji, b12) = aii(aij, aji, b12) = −aii(aij, aij, b12) = 0,

(aijajj, aji, b12) = 0.

64

Таким образом, (cij, aji, b12) = (aikakj, aji, b12). Тогда коэффициент при E12 у 4(A, B, C)+

−2(a12, b21, c12)+2(a13, c31, b12)+2(b12, a23, c32)−2[b12, (a12, a23, a31)]

принимает вид

−(2(a31a12, a23, b12) + 2(a23a31, a12, b12)+

+2(a12a23, a31, b12) + 2[b12, (a12, a23, a31)]).

Это равно нулю по предложению 3.15. Теорема доказана.

Упражнение 3.J. 1) В случае B = b23E23 + b32E32 все верно; 2) Полученное выражение для B = b12E12 + b21E21 имеет место.

Секрет магии прост. Разве может быть что-то прекраснее и красивее, чем число 27?

Пример (алгебра Алберта). Пусть O — алгебра октонионов (то есть полученная из кольца скаляров Φ трехкратным применением процесса Кэли–Диксона) с естественной инволюцией, задаваемой процессом Кэли–Диксона. Тогда алгебра H3(O) является йордановой по теореме 3.18 и называется алгеброй Алберта. Если Φ — поле, то размерность алгебры Алберта равна 27.

Упражнение 3.J. Если Φ — поле, O — октонионы над Φ, то алгебра Алберта H3(O) имеет размерность 27 над полем Φ.

Несколько позже мы докажем исключительность алгебры Алберта. Это будет сделано красиво и элегантно, однако потребует применения принципа Пирса, к которому мы пока не готовы. Читатель, во что бы то ни стало собирающийся немедленно понять причины исключительности алгебры Алберта, может ознакомиться с прямолинейным доказательством в главе 3 в [4]. Это доказательство использует лишь простоту и неассоциативность октонионов.

65

Глава 4.

Комбинаторные

результаты

Мы старательно избегаем в данной книге всех объектов, не имеющих прямого отношения к структурной теории йордановых алгебр. Не имеет никакого смысла вводить сущностей, которые нужны для доказательства одного результата, если далее мы этот результат не используем. Однако нам придется сделать исключение для элементов комбинаторной теории, поскольку без теоремы Макдональда мы не сможем сдвинуться с места. Да и теорема Ширшова — Кона пару раз нас очень сильно выручит. Мы ограничимся формулировками этих утверждений, отправив заинтересованного в работе со свободными алгебрами читателя за доказательствами в [4] (3 глава) или [1] (Аппендиксы A и B).

4.1.Теоремы Макдональда и Ширшова — Кона

Читателю стоит освежить в памяти понятие неассоциативного полинома из первой главы. Если кратко изложить суть теоремы Макдональда, то она позволяет переносить тождества ассоциативных алгебр на йордановы. Это работает только с тождествами от трех переменных, линейными по одной из них. В частности, все тождества ассоциативных алгебр от двух переменных переносятся на йордановы. Впрочем, суть этого «переноса» как раз поясняется

66

в теореме.

Теорема 4.1 (теорема Макдональда). Любой неассоциативный полином от трех переменных, имеющий степень ≤ 1 по одной из них и зануляющийся на алгебрах A+ для всех ассоциативных алгебр A, зануляется и на всех йордановых алгебрах, то есть является тождеством в йордановых алгебрах.

Без доказательства (см. [1] или [4]).

Пусть f(x, y, z) — полином как в теореме Макдональда, линейный по z. Тогда каждый одночлен в составе f можно представить как композицию нескольких операторов левого и правого умножения на x или y, примененную к z. Говоря о йордановых алгебрах, мы получаем композицию операторов Lx и Ly. Сам f представляется как линейная комбинация таких операторов, примененная к z. Таким образом, получаем следующую теорему.

Теорема 4.2 (операторная теорема Макдональда). Любой оператор алгебры умножений от двух переменных, который зануляется на всех алгебрах A+, зануляется и на всех йордановых алгебрах, то есть является операторным тождеством в йордановых алгебрах.

Утверждение про специальность двупорожденной йордановой алгебры доказал А. И. Ширшов. Утверждение про эрмитовость такой алгебры доказал П. Кон. К. Маккриммон соединил эти утверждения в одно.

Теорема 4.3 (теорема Ширшова — Кона). Двупорожденная йорданова алгебра специальна. Более того, такая алгебра изоморфна H(A, ), где A — некоторая ассоциативная двупорожденная -алгебра.

Без доказательства (см. [4] или [1]).

Легко видеть, что теорема Макдональда для двух переменных непосредственно вытекает из теоремы Ширшова — Кона. Перенесем теорему Ширшова — Кона на тождества.

Теорема 4.4 (теорема Ширшова — Кона о соотношениях). Если во всех алгебрах H(A, ) для ассоциативных -алгебр A из того, что f1(x, y) = · · · = fn(x, y) = 0 для многочленов fi(x, y) вытекает f(x, y) = 0, то аналогичная импликация верна и во всех йордановых алгебрах.

67

Доказательство. В самом деле, рассмотрим в йордановой алгебре J подалгебру B, порожденную элементами x и y, причем f1(x, y) = · · · = fn(x, y) = 0. По теореме Ширшова — Кона B H(A, ), так что f(x, y) = 0. Теорема доказана.

Следствие 4.5. Если во всех алгебрах A+ для ассоциативных алгебр A из того, что f1(x, y) = · · · = fn(x, y) = 0 для многочленов fi(x, y) вытекает f(x, y) = 0, то аналогичная импликация верна и во всех йордановых алгебрах.

Доказательство. В самом деле, любая H(A, ) вкладывается в A+. Таким образом, если f(x, y) = 0 в A+, то это верно и в ее подалгебре H(A, ). Тогда по теореме 4.4 f(x, y) = 0 и во всех йордановых алгебрах. Следствие доказано.

4.2.Фундаментальные формулы

В предыдущей главе мы сетовали на то, что не будет нормальной работы с ассоциаторами в йордановых алгебрах. Однако у нас будет свой оператор с третьей степенью и красивыми формулами. Точнее, он уже есть: квадратичный U-оператор.

Определение. Пусть J — йорданова алгебра. Степень элемента x J определяется рекурсивно:

Будем говорить, что e J — идемпотент, если

e2 = e.

Будем говорить, что x J — нильпотент, если для некоторого

n > 0

xn = 0.

Алгебра J называется ниль, если все ее элементы нильпотентны. Алгебра называется моноассоциативной (или с ассоциативными степенями), если любая ее однопорожденная подалгебра ассоциативна и коммутативна,

xn ◦ xm = xn+m.

Упражнение 4.A. 1) Если e — идемпотент, то en = e для любого натурального n.

68

2) Если x — нильпотент, то xn = 0 для любого достаточно большого натурального n.

В главе 1 мы приводили пример не моноассоциативной алгебры. Для альтернативных алгебр моноассоциативность несложно получить прямой индукцией, но у нас она будет вытекать из теоремы Артина, которую мы докажем ближе к концу книги (впрочем, моноассоциативностью альтернативных алгебр мы никогда не будем пользоваться). Для йордановых алгебр моноассоциативность тоже можно доказать непосредственно. Еще ее можно легко вывести из теоремы Ширшова — Кона. Давайте сделаем вид, что мы этого не заметили, и вытащим моноассоциативность из теоремы Макдональда.

Теорема 4.6 (о моноассоциативности). 1) Йорданова алгебра моноассоциативна. Если J A+, то йордановы степени в J совпадают с ассоциативными в A. Степени подчиняются элементным правилам моноассоциативности:

{xn, xm} = 2xn+m, {xn, xm, xp} = 2xn+m+p.

2) Вспомогательные операции подчиняются операторным правилам моноассоциативности:

Uf(x)Ug(x) = U(f·g)(x), Vf(x),g(x) = V(f·g)(x), Vf(x)Ug(x) = U(f·g)(x),g(x)

для любых полиномов f, g Φ[x]. В частности,

Доказательство. 1) По индукции легко проверить, что все йордановы степени элементов в специальной йордановой алгебре равны степеням в соответствующей ассоциативной алгебре. Все равенства справедливы для ассоциативной алгебры, значит и для специальной йордановой. Но тогда по теореме Макдональда эти утверждения верны во всех йордановых алгебрах.

2)Пользуемся операторной теоремой Макдональда. По теореме

ополной йордановой алгебре (теорема 3.2) в специальных йордановых алгебрах справедливо

Uf(x)Ug(x)z = Uf(x)(g(x)zg(x)) = f(x)(g(x)zg(x)) = Uf(x)g(x)z,

69

откуда

Uf(x)Ug(x) = Uf(x)g(x).

По определению Vf(x),g(x) = {f(x), g(x), ·}, так что по теореме о полной йордановой алгебре в специальных йордановых алгебрах

справедливо

Vf(x),g(x)z = {f(x), g(x), z} = f(x)g(x)z + zg(x)f(x) =

= (f(x)g(x))z + z(f(x)g(x)) = Vf(x)g(x)z,

откуда

Vf(x),g(x) = Vf(x)g(x).

Далее, U(f·g)(x),g(x) = {f(x)g(x), ·, g(x)}, так что по теореме о полной йордановой алгебре в специальных йордановых алгебрах справед-

ливо

U(f·g)(x),g(x)z = {f(x)g(x), z, g(x)}.

Вто же время

Vf(x)Ug(x)z = Vf(x)(g(x)zg(x)) =

=g(x)zg(x)f(x) + f(x)g(x)zg(x) = {f(x)g(x), z, g(x)}.

Таким образом,

Vf(x)Ug(x) = U(f·g)(x),g(x).

Теорема доказана.

Наш кандидат на роль «великого оператора» уже очевиден. Достаточно доказать что-то красивое для U-оператора и пожинать плоды. К счастью, из теоремы Макдональда можно получить все, что душе угодно (но только от трех переменных и линейное по одной из них). Что-нибудь из следующих формул мы будем использовать почти каждую главу.

Теорема 4.7 (фундаментальные формулы). Каждая йорданова алгебра удовлетворяет следующим элементным и операторным тождествам.

Фундаментальная формула:

Коммутирующая формула:

70