Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Глава 7.

Пирсовское разложение

Идея пирсовского разложения в ассоциативном случае схожа с разложением матриц на сумму матричных единиц с коэффициентами. Особое внимание уделяется диагональным компонентам, а влияние внедиагональных всеми силами пытаются уменьшить. В йордановом случае ключевым отличием является отсутствие различий между симметричными друг другу элементами матриц (благодаря коммутативности).

7.1.Пирсовские подпространства

Весь смысл пирсовского разложения теряется, если у нас нет идемпотента (элемента, степени которого совпадают с ним самим).

Пусть e2 = e и e′ = 1−e. В ассоциативной алгебре A разложение

idA = L1 = Le+e′ = Le + Le′

индуцирует разложение

A = eA e′A

алгебры A в сумму двух подпространств.

Разложение

idA = L1R1 = LeRe + LeRe′ + Le′Re + Le′Re′

101

индуцирует разложение

A = A11 A10 A01 A00

алгебры A в сумму четырех подпространств. Аналогично в йордановой алгебре J разложение

idJ = U1 = Ue+e′ = Ue + Ue,e′ + Ue′

индуцирует разложение

J = J2 J1 J0

алгебры J на три подпространства. Здесь J2 соответствует A11, J0 соответствует A00, J1 соответствует A10 A01.

Определение. Элемент e J называется идемпотентом, если e2 = e. Идемпотент называется собственным, или нетривиальным, если e ̸= 0, 1. Алгебра называется редуцированной, если в ней есть нетривиальный идемпотент. Два идемпотента e, f называются ортогональными, если e ◦ f = 0.

Легко видеть, что все степени идемпотента совпадают:

en = e.

ˆ

Напомним, что в алгебре Jb через 1 обозначается новая единица. Если e — идемпотент, то его дополнительным идемпотентом

Определение. Отображения Ei = Ei(e) задаются следующим образом:

E2 = Ue, E1 = Ue,e′, E0 = Ue′.

102

Отображения Ei называются пирсовскими проекциями. Их образы Ji = Ei(J) называются пирсовскими подпространствами. Будем называть J0 и J2 диагональными пирсовскими подпространствами, а J1 — внедиагональным пирсовским подпространством.

Теорема 7.1 (пирсовское разложение). Пирсовские проекции образуют полное ортогональное семейство идемпотентных операторов:

X

Ei = idJ , EiEj = δijEi.

В частности, J раскладывается в прямую сумму пирсовских подпространств:

J = J2 J1 J0.

Доказательство. Поскольку Ei инвариантны на J Jb, то достаточно доказать утверждение для унитальной алгебры J. Сперва заметим, что семейство операторов полное:

E0 + E1 + E2 = Ue + Ue,e′ + Ue′ = Ue+e′ = U1 = idJ .

Элементы e, e′ попадают в ассоциативную и коммутативную подалгебру Φ[e] = Φe+Φ1 алгебры J. По теореме о моноассоциативности 4.6 UpUq,q = Up◦q,p◦q. Линеаризуем это равенство по q:

UpUq,r = Up◦q,p◦r.

Тогда, если p ◦ q = 0, то

0= Up◦q = UpUq = UpUq,r = Uq,rUp.

Вчастности, E2 = Ue, E1 = Ue,e′ и E0 = Ue′ попарно ортогональны в силу e ◦ e′ = 0. Кроме того, по той же теореме о моноассоциатив-

ности Ux2 = UxUx, откуда

Ue = Ue2 = UeUe,

Ue,e′Ue,e′ = (Ue+e′ − Ue − Ue′)2 = Ue+e′ − Ue − Ue′ = Ue,e′.

Таким образом, операторы Ei образуют полное ортогональное семейство проективных операторов. Это означает, что пространство J представляется в виде прямой суммы образов Ei. Теорема доказана.

103

Упражнение 7.B. Доказать разложение в прямую сумму:

J = J2 J1 J0.

Полученное разложение с радостью переносится на идеалы и «хорошие» алгебры.

Следствие 7.2 (пирсовская наследственность). Если K —

идеал в J (или подалгебра, содержащая e), то

K = K2 K1 K0,

где Ki = Ki(e) = K ∩ Ji.

Доказательство. Легко видеть, что пирсовские проекции Ei отображают K в себя в обоих случаях. Таким образом, имеем разложение тождественного оператора на K:

idK = E2|K E1|K E0|K.

Тем самым имеем разложение

K = K2 K1 K0,

где Ki = Ei(K) K ∩Ei(J). С другой стороны, если x K ∩Ei(J), то x = Ei(x) Ei(K). Следствие доказано.

Упражнение 7.C. Если K — идеал в J (или подалгебра, e K), то Ei(K) K.

7.2.Пирсовские правила умножения

Все-таки от билинейного мышления отказаться не получается, потому было бы неплохо охарактеризовать пирсовские пространства в этих терминах. Да и в целом нам будет полезно научиться считать различные произведения в алгебре с разложением Пирса.

Определение. Пусть e — идемпотент в J, e′ = b1 − e и α Φ. Определим e(α) = e′ + αe Jb. Тогда оператором Пирса E(α) называется U-оператор элемента e(α):

104

Поскольку e(1) = b1 и e(α) ◦ e(β) = e(αβ), то оператор Пирса определяет гомоморфизм α → E(α) мультипликативных моноидов Φ и EndΦ(Jb):

E(1) = E0 + E1 + E2 = id, E(αβ) = E(α)E(β).

Через J[t] будем обозначать алгебру полиномов над J с естественными операциями сложения и умножения:

atn ◦ btm = (a ◦ b)tn+m.

Алгебру J[t] можно рассматривать как Φ[t]-алгебру. Если e — идемпотент в J, то он является идемпотентом в J[t]. Тем самым в J[t] имеет смысл оператор Пирса E(t).

Предложение 7.3 (о пирсовских корневых подпространствах). Пусть e — идемпотент. Пирсовское подпространство Ji совпадает с пересечением J и корневого подпространства в J[t] оператора Пирса E(t) относительно собственного значения ti J[t]. То же самое справедливо для оператора Ve (или Le) относительно собственного значения i (сответственно, 12 i) :

Ji = {x J | E(t)x = tix} = {x J | Vex = ix} = {x J | Lex = 2i x}.

Доказательство. Пусть x = x2 x1 x0 J2 J1 J0, тогда xi = Ei(x). Но справедливо

E(t)(x) = t2x2 + tx1 + x0.

Таким образом, E(t)(x) = tix тогда и только тогда, когда x = tixi и xj = 0 при j ̸= i. В то же время

2

X

Ve = Ue,1 = Ue,1−e + Ue,e = E1 + 2E2 = iEi. i=0

Таким образом, Ve(x) = 2x2 + x1 + 0x0 = ix тогда и только тогда, когда x = xi и xj = 0 при i ̸= j. Предложение доказано.

Упражнение 7.D. Справедливо представление

i

Ji = {x J | Lex = 2x}.

105

Пусть A = Φ[t, x] — ассоциативное и коммутативное кольцо многочленов от двух переменных. Рассмотрим в нем идеал B = (xt−1) и фактор-алгебру A/B. Можно рассматривать этот объект как алгебру элементов следующего вида:

M

X

αiti, N, M ≥ 0, αi Φ

i=−N

с естественными операциями сложения и умножения. Построенная алгебра обозначается Φ[t, t−1] и называется алгеброй полиномов Лорана. Как и в случае с обычными полиномами, мы можем рассмотреть алгебру J[t, t−1], которая состоит из всех сумм вида

M

X

aiti,

i=−N

где ai J.

Для однозначности для любого идемпотента e положим Jk(e) = 0 при k / {0, 1, 2}.

Далее подразумеваем, что элемент с индексом i лежит в Ji:

xi Ji, yj Jj, zk Jk.

Теорема 7.4 (о пирсовском умножении). Пусть J — йорданова алгебра с идемпотентом e и пирсовскими подпространствами Jk = Jk(e). Пусть k, l, m {0, 1, 2}, i {0, 2} и j = 2 − i. Справедливы следующие правила умножения:

Ji2 Ji, {Ji, J1} J1, J12 J2 + J0, UJk Jl J2k−l,

{Jk, Jl, Jm} Jk−l+m,

{Ji, Jj} = {Ji, Jj, J} = UJi Jk = 0 (k ̸= i).

В частности, диагональные пирсовские подпространства

J0 и J2 являются внутренними идеалами в J.

Доказательство. Честно применим оператор Пирса к Uxk ym:

E(t)(Uxk ym) = E(t)(Uxk (E(t)E(t−1)ym)) =

=Ue(t)Uxk Ue(t)E(t−1)ym = UUe(t)xk E(t−1)ym =

=UE(t)xk t−jym = Utkxk t−mym = t2k−mUxk ym.

106

Таким образом, Uxk ym является собственным вектором и лежит в J2k−m. В частности,

Ux2 y0 J4 = 0, Ux2 y1 J3 = 0, Ux0 y1 J−1 = 0, Ux0 y2 J−2 = 0.

Аналогично линеаризованная фундаментальная формула дает

E(t){xk, yl, zm} = (E(t)Uxk,zm E(t))E(t−1)yl =

=UE(t)xk,E(t)zm E(t−1)yl = {E(t)xk, E(t−1)yl, E(t)zm} =

=tk−l+m{xk, yl, zm}.

Таким образом, {xk, yl, zm} Jk−l+m. В частности, {J2, J0, Jm} J2+m = 0, если m ̸= 0 и {J0, J2, Jm} Jm−2, если m ̸= 2.

Заметим, что в алгебре Jbимеют место включения e J2, e′ J0. В самом деле E2(e) = Ue(e) = e, E0(e′) = Ue′e′ = e′ по теореме о моноассоциативности. Тогда

{J2, J0} = {J2, J0, 1} =

= {J2, J0, e + e′} {J2, J0, J0} + {J2, J0, J2} J2,

{J2, J0} = {e + e′, J2, J0} {J0, J2, J0} + {J2, J2, J0} J0.

Таким образом, {J2, J0} J2 ∩J0 = 0. Теперь по формуле тройного переключения

{J2, J0, J0} = {J0, J0, J2} = −{J0, J2, J0} + {{J2, J0}, J0} = 0.

Осталось:

J02 = UJ0 (e + e′) J−2 + J0 = J0,

{Ji, J1} = {Ji, e + e′, J1} {Ji, Ji, J1} J1, J12 = UJ1 (e + e′) J0 + J2.

Остальное — упражнение. Теорема доказана.

Упражнение 7.E. «Остальное» тоже верно:

J22 J2, {J0, J2, J2} = 0.

107

7.3.Примеры пирсовских разложений

Рассмотрим пирсовское разложение на примерах. Как обычно, рассматриваем полную и эрмитову йордановы алгебры, а также алгебру квадратичной формы. Алгебра Алберта вычисляется непосредственно, оставим ее в качестве упражнения.

Пусть A — ассоциативная алгебра. Тогда разложение

idA = L1R1 = LeRe + LeRe′ + Le′Re + Le′Re′

индуцирует разложение

A = A11 A10 A01 A00

алгебры A в сумму четырех подпространств. Иными словами,

J1 = Ue,e′J = eAe′ + e′Ae = A10 + A01.

Таким образом, мы доказали следующее

Предложение 7.5 (о пирсовском разложении полной алгебры). Пусть A — ассоциативная алгебра, e A — идемпотент и e′ = 1 − e. Тогда имеем пирсовское разложение алгебры A+

A+ = A+2 A+1 A+0 ,

где

A+2 = A11, A+1 = A10 A01, A+0 = A00.

Упражнение 7.F. Пусть D — ассоциативная алгебра. Как выглядит пирсовское разложение алгебры M2(D)+ относительно

Эрмитов случай легко вытекает из полного.

Предложение 7.6 (о пирсовском разложении эрмитовой алгебры). Пусть A — ассоциативная алгебра с инволюцией и

108

e = e — идемпотент. Тогда имеем пирсовское разложение алгебры H(A, ) :

H(A, ) = J2 J1 J0,

J2 = H(A11, ), J0 = H(A00, ),

J1 = H(A10 A01, ) = {x10 x10|x10 A10}.

Доказательство. В самом деле, H(A, ) — подалгебра в A+ и e H(A, ), так что по пирсовской наследственности 7.2 выполнено:

J2 = A+2 ∩ H(A, ) = H(A11, ),

J0 = A+0 ∩ H(A, ) = H(A00, ),

J1 = A+1 ∩ H(A, ) = H(A10 A01, ).

Осталось заметить, что если x10 A10, то x10 = e′ye, и x10 = ey e′ A01. Иными словами, (A10) = A01. Остальное очевидно.

Предложение доказано.

Упражнение 7.G. Справедливо

H(A10 A01, ) = {x10 x10|x10 A10}.

Определение. Пусть Q — квадратичная форма на йордановой алгебре J с базой c. Будем говорить, что элемент e J имеет первый тип, или тип 1, если

T (e) = 1, Q(e) = 0.

Упражнение 7.H. В этом случае e = 1 − e.

Элементы первого типа обеспечивают нас ассортиментом идемпотентов.

Предложение 7.7 (о элементах первого типа). Пусть J =

Jord(Q, c). Элемент e J первого типа является собственным идемпотентом, причем e = 12 (1 + v), где v M и Q(v) = −1 (σ(v, v) = 1).

Доказательство. В самом деле, по теореме 3.9 о квадратичном факторе e2 = T (e)e − Q(e)1 = e. Кроме того, пусть e = w + β1, где w M. Тогда

1 = T (e) = T (w + β1) = 2β,

109

откуда β = 12 . Поэтому e = 12 (2w + 1). Осталось заметить, что

0 = Q(2e) = Q(1 + 2w) = 1 + Q(2w),

откуда Q(2w) = −1. Предложение доказано.

Упражнение 7.I. Элемент e первого типа отличен от 0 и 1.

В алгебре квадратичной формы все тоже очень красиво.

Теорема 7.8 (критерий редуцированности алгебры квадратичной формы). Пусть Φ — поле и e Jord(Q, c). Тогда e Jord(Q, c) — собственный идемпотент тогда и только тогда, когда он имеет тип 1. Кроме того, если форма Q невырождена, то алгебра Jord(Q, c) редуцирована тогда и только тогда, когда форма Q изотропна.

Доказательство. Пусть e — собственный идемпотент. Тогда e / Φ1. Но из теоремы 3.9:

0 = e2 − T (e)e + Q(e)1 = (1 − T (e))e + Q(e)1,

откуда Q(e) = 1 − T (e) = 0 и e имеет первый тип. В обратную сторону верно по предложению 7.7.

Допустим, собственный идемпотент существует, тогда он имеет первый тип и нулевую норму, так что форма изотропна.

Обратно, пусть Q(x) = 0 для некоторого x Jord(Q, c). Если T (x) = λ ̸= 0, то e = λ−1x имеет первый тип и является собственным идемпотентом.

Пусть T (x) = Q(x) = 0. Заметим, что для любого y Jord(Q, c) верно Q(Uyx) = Q(y)Q(x)Q(y) = 0 по теореме 3.9. Предположим, T (Uyx) = 0 для любого y Jord(Q, c). Тогда

0 = T (Uy,yx).

Линеаризуем по y, подставляя вместо новой переменной единицу:

0= T (Uy,1x) = T ({y, x}) = T (T (y)x + T (x)y − Q(x, y)1) =

=2T (x)T (y) − 2Q(x, y) = −2Q(x, y).

Таким образом, Q(x, y) = 0 = Q(x) для любого y Jord(Q, c), откуда в силу невырожденности Q вытекает x = 0. Противоречие, значит найдется такой x, что T (x) ̸= 0, а значит найдется и собственный идемпотент. Теорема доказана.

110