Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Теорема доказана.

Мы пока не умеем перемножать разные пирсовские компоненты. Пора исправить это досадное недоразумение.

Теорема 12.6 (о пирсовском умножении). Пирсовские подпространства перемножаются по следующим правилам. Для различных индексов i, j, k справедливо:

Jii2 Jii, Jij2 Jii + Jjj, {Jii, Jij} Jij, {Jij, Jjk} Jik,

UJii (Jii) Jii, UJij (Jii) Jjj, UJij (Jij) Jij.

Для произвольных индексов i, j, k, l справедливо

{Jij, Jjk, Jkl} Jil.

Если {i, j} ∩ {k, l} = , то справедливо

{Jij, Jkl} = 0.

Если {k, l} не вложено в {i, j}, то справедливо

UJij (Jkl) = 0.

Если пары индексов не пересекаются, то

{Jij, Jkl, Jrs} = 0.

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 7.4, мы снова используем алгебру полиномов Лорана Ω = Φ[T, T −1], где T = {t0, t1, . . . , tn}. Над ней определена алгебра J[T, T −1]. Справедливо

E(t)(Uxij (ykl)) = E(t)Uxij E(t)E(t−1)(ykl) = UE(t)(xij)E(t−1)(ykl) =

151

= Utitjxij t−k 1t−l 1(ykl) = t2i t2j t−k 1t−l 1Uxij (ykl).

Таким образом, произведение равно нулю, за исключением случая t2i t2j t−k 1t−l 1 = trts для некоторых r и s, т.е.

{k, l} {i, j}.

Если k и l совпадают, то можно считать, что k = l = i и trts = t2j , откуда Uxij yii Jjj. Если k и l различны, то i и j тоже различны

и можно считать, что k = i, l = j, trts = titj, так что Uxij yij Jij. Аналогично для тройной скобки:

E(t){xij, ykl, zrs} = E(t)Uxij,zrs E(t)E(t−1)(ykl) =

=UE(t)(xij),E(t)(zrs)E(t−1)(ykl) =

={titjxij, t−k 1t−l 1ykl, trtszrs} = titjt−k 1t−l 1trts{xij, ykl, zrs}.

Это выражение равно нулю, за исключением случая, когда индексы связаны: j = k, l = r, откуда titjt−k 1t−l 1trts = tits. В этом случае выражение попадает в Jis. Теперь получаем

X

x2ii = Uxii 1 = Uxii ( ek) = Uxii ei Jii,

X

x2ij = Uxij 1 = Uxij ( ek) = Ixij (ei + ej) Jjj + Jii,

X

{xij, ykl} = {xij, 1, ykl} = {xij, ep, ykl}.

Последнее выражение равно нулю, за исключением того случая, когда множество {i, j} ∩ {k, l} ̸= содержит индекс p. Без ограничений общности, p = j = k, откуда {xij, ykl} = {xij, ej, yjl} Jil. Теорема доказана.

Упражнение 12.C. Убедиться, что мы ничего не забыли доказать.

12.2.Примеры пирсовских разложений и принцип Пирса

Аналогично предложению 7.5, мы получаем

Предложение 12.7 (о пирсовском разложении полной алгебры). Пусть E = {e1, . . . , en} — семейство ортогональных

152

идемпотентов в ассоциативной алгебре A. Тогда существует ассоциативное пирсовское разложение относительно E :

Справедливо

AijAkl δjkAil.

Полная йорданова алгебра J = A+ имеет следующее пирсовское

Аналогично предложению 7.6, мы получаем

Предложение 12.8 (о пирсовском разложении эрмитовой алгебры). В условиях предыдущего предложения, если алгебра A содержит инволюцию и ei = ei, то Aij = Aji и йорданова алгебра H(A, ) содержит E. Пирсовское разложение индуцируется таким же в A+ (Hii = H(Aii, ), Hij = H(Aij + Aji, )) :

n

M

H(A, ) = Hij.

i,j=0

Упражнение 12.D. Пирсовские разложения полной и эрмитовой алгебры имеют вид из предыдущих предложений.

Из предложений 12.7 и 12.8 вытекает

Предложение 12.9 (о пирсовском разложении матричной алгебры). Пусть A = Mn(D), где D — ассоциативная алгебра и ei = Eii — диагональные матричные единицы. Тогда Aij = DEij. Если J = A+, то пирсовское разложение J имеет вид

Jii = DEii, Jij = DEij + DEji.

Если на D определена инволюция, то на A = Mn(D) определе-

на инволюция X = XT . Эрмитова йорданова алгебра Hn(D, ) = H(Mn(D), ) имеет следующее пирсовское разложение:

Jii = H(D, )[ii] = {aEii | a H(D)},

153

Jij = D[ij] = {dEij + dEji | d D}.

С помощью леммы 3.7 непосредственно проверяется

Предложение 12.10 (о пирсовском разложении алгебры Алберта). Пусть J = H3(D, ), где D — альтернативная-алгебра с ядерной инволюцией. Тогда три диагональных идемпотента E11, E22, E33 образуют полное семейство ортогональных идемпотентов со следующим пирсовским разложением:

Jii = H(D)[ii] = {aEii | a H(D)},

Jij = D[ij] = {dEij + dEji | d D}.

Если D = O — алгебра октонионов над полем Φ, то Jii = ΦEii,

Jij = O[ij].

Следующий принцип доказывается несколько трудоемко, с привлечением техники, довольно далекой от йордановых алгебр. Опустим соответствующее доказательство.

Теорема 12.11 (принцип Пирса). Пусть xij Jij для всех i, j, где Jij — пирсовское разложение алгебры J относительно семейства ортогональных идемпотентов E. Тогда множество {xij} лежит в специальной подалгебре B алгебры J, содержащей E. В частности, если fα, f — неассоциативные полиномы и множество соотношений

fα(e1, . . . , en, xi1j1 , . . . , xirjr ) = 0

на элементах пирсовских пространств с различными парами индексов влечет выполнение соотношения

f(e1, . . . , en, xi1j1 , . . . , xirjr ) = 0

во всех специальных йордановых алгебрах, то эта импликация верна и во всех йордановых алгебрах.

Без доказательства.

Как и в случае двух идемпотентов, непосредственно из предыдущей теоремы получается следующее утверждение.

154

Следствие 12.12 (принцип Пирса). Любое пирсовское тождество

f(e1, . . . , en, xi1j1 , . . . , xirjr ) = 0

выполняется для всех пирсовских элементов xij с различными парами индексов во всех йордановых алгебрах, если во всех ассоциативных алгебрах A выполнено

f(e1, . . . , en, ai1j1 + aj1i1 , . . . , airjr + ajrir ) = 0

для всех пирсовских элементов aij Aij.

Требование различных пар индексов в принципе Пирса существенно. Пирсовское соотношение

f(x12, y12, x13, y13, z23) = [Vx12,y12 , Vx13,y13 ](z23) = 0

выполнено во всех ассоциативных алгебрах с как минимум тремя ортогональными идемпотентами, но не выполняется в алгебре Алберта H3(O). В самом деле, пусть xij = aij + aji, yij = bij + bji, z23 = c23 + c32. Тогда мы получаем

Vx12,y12 Vx13,y13 (z23) =

= a21b12c23b31a13 + a31b13c32b21a12 = Vx13,y13 Vx12,y12 (z23).

Однако полученное равенство НЕ является пирсовским соотношением на всех йордановых алгебрах, поскольку в алгебре Алберта H3(O), если взять

x12 = a[21], y12 = 1[12], x13 = c[13], y13 = 1[31], z23 = b[23]

для произвольных октонионов a, b, c O, то

Vx12,y12 Vx13,y13 (z23) = {a[21], 1[12], {b[23], 1[31], c[13]}} = a(bc)[23]

и аналогично

Vx13,y13 Vx12,y12 (z23) = (ab)c[23].

Таким образом, в силу того что (a, b, c) ̸= 0 на O, то f не является тождеством на алгебре Алберта. Однако оно выполнено на всех специальных йордановых алгебрах. Таким образом, мы доказали

Следствие 12.13. Алгебра Алберта H3(O) исключительна.

Это первый построенный нами пример исключительной йордановой алгебры.

155

Глава 13.

Следствия пирсовского разложения для нескольких идемпотентов

Если читатель еще не забыл об увлекательных вычислениях из глав 8–9, то придется пережить их снова. Но теперь ситуация изменилась, ведь читатель уже прекрасно понимает, зачем это нужно. Цель все та же — создать инволюцию.

13.1.Йордановы координаты при n ≥ 3 идемпотентах

Этот параграф стоит немного особняком, поскольку в ближайшее время мы не будем его применять, к тому же единственное утверждение в нем касается конкретной алгебры. Однако эта теорема доказывается с помощью теоремы о пирсовском умножении для нескольких идемпотентов. Мы пытаемся ответить на естественный вопрос: при каких координатах эрмитова матричная алгебра является йордановой?

Теорема 13.1 (о йордановых координатах). Если эрмитова матричная алгебра Hn(D, ) при n ≥ 3 является йордановой, то координатная -алгебра D является альтернативной алгеброй с

156

ядерной инволюцией, H(D, ) N(D). Кроме того, если n ≥ 4, то D ассоциативна.

Доказательство. Сперва заметим, что для a, b, c D и α

Все равенства выполнены в силу теоремы 12.6 о пирсовском умножении. В то же время, используя равенство 2Uxy = {x, {x, y}} − {x2, y} и его линеаризацию, получаем из (1′) для n ≥ 4:

0 = 2{b[13], a[21], c[34]} =

{b[13], {a[21], c[34]}} + {{a[21], b[13]}, c[34]} − {a[21], {b[13], c[34]}} =

Аналогично из (2′) и (3′) получаем при n ≥ 3

Из (1) вытекает, что D ассоциативна при n ≥ 4. Из (2) и (3), поскольку a + a H(D, ), получаем:

(a, a, b) = (a + a, a, b) − (a, a, b) = 0.

Аналогично получается правая альтернативность. В то же время в силу (3) получаем, что H(D, ) N(D). Теорема доказана.

Упражнение 13.A. Формулы (2) и (3) выводятся из формул

(2′) и (3′).

Заметим, что алгебра Hn(D, ) при ассоциативной D является йордановой, как алгебра эрмитовых элементов ассоциативной алгебры. При n = 3 и унитальной альтернативной алгебре D с ядерной инволюцией алгебра H3(D, ) тоже будет йордановой в силу теоремы 3.17.

Этот параграф дает нам сильную мотивацию в изучении альтернативных алгебр с ядерной инволюцией. Однако мы не будем разрывать наше изложение, вернувшись к альтернативным алгебрам ближе к концу пособия.

157

13.2.Пирсовские квадратичные формы в случае нескольких идемпотентов

Всюду далее на протяжении главы мы фиксируем ортогональное семейство идемпотентов E = {e1, . . . , en} в йордановой алгебре

J:

e2i = ei, ei ◦ ej = 0 (i ̸= j).

Мы будем рассматривать полное множество из n + 1 попарно ортогональных идемпотентов в унитальной обертывающей Jbс помощью элемента

Пересчитаем пирсовские специализации для нескольких идемпотентов. Разумеется, используем восстановление пирсовского разложения и результаты для двух идемпотентов. С их помощью доказательство получится короче формулировки. Оно даже получится короче этого абзаца текста, который мы старательно увеличивали, чтобы он получился длиннее доказательства.

Предложение 13.2 (о пирсовских специализациях). Если k ̸= i, то отображение σii : Jii → EndΦ(Jik), определенное по правилу σii(a) := Va|Jik , является йордановым гомоморфизмом и удовлетворяет условиям

Для разных i, j, k отображения σij(x) : Jii + Jij + Jjj → End(Jik + Jki), определенные по правилу σij(x) := Vx|Jik+Jjk , являются йордановыми гомоморфизмами и удовлетворяют условиям

σij(x2) = σij(x)2, σij(Uab) = σij(a)σij(b)σij(a),

σij(x)σij(y) = Vx,y|Jik+Jjk .

Доказательство. В силу теоремы 12.5 все получается из случая одного идемпотента (предложение 8.1), поскольку при e = ei и e = ei + ej мы получаем первый и второй случай соответственно, а Jik J1(e) инвариантно относительно VJii и зануляется посредством Vjj в силу теоремы 7.4. Предложение доказано.

158

Более подробная теорема о пирсовском умножении позволяет нам даже легче, чем в случае двух идемпотентов, доказать пирсовскую ассоциативность.

Предложение 13.3 (о пирсовской ассоциативности). Если

{i, j} ∩ {k, l} = , то пирсовские специализации Jij и Jkl на Jjk перестановочны:

Vxij Vzkl (yjk) = {xij, yjk, zkl} = Vzkl Vxij (yjk),

где элементы с индексами rs лежат в Jrs. На элементах это выглядит так:

(xij, yjk, zkl) = 0, (xij ◦ yjk) ◦ zkl = xij ◦ (yjk ◦ zkl).

Доказательство. В силу теоремы 12.6 о пирсовском умножении, если {i, j} и {k, l} нельзя связать, то

{xij, {yjk, zkl}} = {xij, yjk, zkl} + {xij, zkl, yjk} = {xij, yjk, zkl}.

Предложение доказано.

Упражнение 13.B. Предложение 13.3 можно вывести еще и из предложения 8.4 с помощью теоремы 12.5.

Как и в случае двух идемпотентов, введем пригодившиеся нам пирсовские квадратичные формы.

Определение. Для внедиагональных элементов xij Jij определим квадратичные отображения qii : Jij → Jii как проектирования квадрата внедиагонального элемента на диагональное про-

странство:

qii(xij) = Eii(x2ij) = Uxij ej.

Будем называть отображения qii пирсовскими квадратичными формами.

Предложение 13.4 (о q-свойствах). 1) Восстановление куба и четвертой степени:

x3ij = {qii(xij), xij}, Eii(x4ij) = Uxij qjj(xij) = qii(xij)2.

2) Квадратичная форма связана с U-операторами следующим образом (при i ̸= j) :

Uxij yij = {qii(xij, yij), xij} − {qij(xij), yij},

159

Uxij ajj = qii(xij, ajj ◦ xij),

{xij, ajj, zij} = qii({xij, ajj}, zij) = qii(xij, {ajj, zij}).

3) Правила q-композиции:

4) q-невырожденность: если алгебра J невырождена, то пирсовские квадратичные формы qii невырождены (т.е. Rad(qii) = 0).

Доказательство. Все, кроме последнего равенства в 3, выте-

ˆ −

кает из предложений 8.5–8.8. В самом деле берем e = ei и 1 ej. Тогда xij J1(ei), так что все утверждения, кроме 4, справедливы в J2(ei + ej). Для 4 нужна невырожденность J2(ei + ej), которая вытекает из предложения 9.1 о диагональной наследственности.

Докажем последнее равенство в 3. Делаем вид, что мы не знаем принципа Пирса. В силу второго равенства в 2:

2Uxij qjj(yjk) = 2qii(xij, qjj(yjk) ◦ xij) = 2qii(xij, yjk2 ◦ xij).

Последнее равенство верно в силу того, что qkk(yjk)|Jij = 0. Далее, по предложению 13.2,

2qii(xij, yjk2 ◦ xij) = qii(xij, {yjk2 , xij}) = qii(xij, {yjk, {yjk, xij}}) =

= qii({xij, yjk}, {yjk, xij}).

Предпоследнее равенство получено с помощью третьей части 2, где вместо ei,ej взяты ej + ek,ei. Осталось заметить, что последнее выражение равно 2qii({xij, yjk}). Предложение доказано.

Упражнение 13.C. Что-нибудь одно из предыдущего предложения можно попытаться вывести с помощью принципа Пирса.

13.3.Инволюция связи в случае нескольких идемпотентов

Обратимость диагонального элемента завязана на обратимости компонент этого элемента в диагональных подалгебрах.

160