Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Глава 15.

Координатизационная теорема Джекобсона

Первая вершина структурной теории, полученная Джекобсоном, заключается в координатизационной теореме для алгебр хотя бы с тремя ортогональными связными идемпотентами. Оказывается, в этом случае не нужно вообще никаких дополнительных ограничений.

15.1.Координатная алгебра

Сперва разберемся с тем, какой объект должен выступать в роли координат в йордановой алгебре с эрмитовым фреймом. Мы хотим не слишком многого, лишь некоторые детали. Этого нам хватит, чтобы в дальнейшем доказать, что нужные йордановы алгебры являются матричными, откуда по теореме о йордановых координатах мы получим точное описание координат в виде альтернативной алгебры с ядерной инволюцией.

Пусть n ≥ 3 и H = {hij} — эрмитов n-фрейм в унитальной йордановой алгебре J. Напомним, что если uij = 1−(ei+ej)+hij, то

U(ij) = Uuij , причем U(12)|J12 = Uh12 и U(ij)|Jik = Vhij при различных i, j, k по лемме 14.3.

Пусть D — это Φ-модуль J12 с произведением

a · b = {{a, h23}, {h31, b}} = {U(23)(a), U(13)(b)}.

171

Определение. На алгебре D введем координатную инволюцию:

a = Uh12 (a) = U(12)a.

Диагональным координатным пространством называется образ D0 = H(D, ) D пространства J11 относительно диагонализирующего отображения δ0 = Vh12 , т.е. D0 = δ0(J11).

Тогда алгебра D с инволюцией и диагональным координатным подпространством D0 называется эрмитовой координатной - алгеброй, определенной с помощью H.

Пример (координаты эрмитовой йордановой алгебры).

Пусть J = Hn(D, ) и hij = 1[ij]. Тогда умножение в координатной алгебре J12 = D[12] задано следующим образом по лемме 3.13:

a[12] · b[12] = {{a[12], 1[23]}, {1[31], b[12]}} = {a[13], b[32]} = ab[12].

Диагональное координатное пространство совпадает с

{H(D, )[11], 1[12]} = H(D, )[12].

Координатная инволюция имеет вид

a[12] = U1[12](a[12]) = (1a1)[12] = a[12].

Таким образом, эрмитова координатная -алгебра естественным образом изоморфна алгебре (D, ), а диагональное пространство D0 изоморфно H(D, ).

На самом деле, в общем случае мы не можем далеко уйти от этого примера. Он дает нам идею верной формулировки следующей теоремы.

Теорема 15.1 (о координатной алгебре). Пусть (D, ) —

координатная -алгебра унитальной йордановой алгебры J относительно эрмитового n-фрейма H, n ≥ 3. Тогда D — это унитальная алгебра с единицей 1 = h12, произведение на которой соответствует произведению {, } : J13 × J32 → J12, а координатная инволюция является инволюцией на координатной алгебре:

172

Кроме того, есть соответствие между координатной инволюцией и действием J11 на J12, а диагональное координатное пространство D0 = H(D, ) изоморфно (как йорданова алгебра) алгебре J11 относительно диагонального координатного отображения

Доказательство. (1) Воспользуемся леммой об эрмитовых инволюциях 14.3:

h12 · b = {U(23)(h12), U(13)(b)} = {h13, U(13)(b)} = U(13)(U(13)(b)) = b.

Аналогично, b · h12 = b.

(2) В самом деле, по лемме 14.3

U(23)(y13) · U(13)(z32) = {U(23)(U(23)(y13)), U(13)(U(13)(z32))} =

= {y13, z32}.

(3)В силу леммы 14.3 координатная инволюция имеет период

2.Проверим антигомоморфность:

d · b = U(12)({U(23)(d), U(13)(b)}) = {U(12)U(23)(d), U(12)U(13)(b)}.

Далее, по теореме 14.4 об эрмитовых симметриях и в силу того, что

(12)(23) = (13)(12), (12)(13) = (23)(12), получаем:

{U(12)U(23)(d), U(12)U(13)(b)} = {U(13)U(12)(d), U(23)U(12)(d)} =

= {U(23)(U(12)(b)), U(13)(U(12)(d))} = b · d.

Осталось заметить, что h12 = U(12)(h12) = h12 в силу леммы 14.3.

(4) Линейность и сюръективность справедливы по определению. Далее применяем принцип Пирса и предложение 15.2. Инъективность:

δ0(a11) = 0 a11e12+e21a11 = 0 a11 = (a11e12+e21a11)e21 = 0.

173

Гомоморфность:

δ0(a11) · δ0(a11) = (a11e12 + e21a11) · (a11e12 + e21a11) =

={{a11e12 + e21a11, e23 + e32}, {a11e12 + e21a11, e13 + e31}} =

={a11e13 + e31a11, e21a11e13 + e31a11e12} =

=a11e11a11e12 + e21a11e11a11 = a211e12 + e21a211 = δ0(a211).

(5)Вычисляем по принципу Пирса при d = a12 + a21:

d · d = (a12 + a21) · (e12(a12 + a21)e12) =

=(a12 + a21) · (e12a21e12 + e21a12e21) =

={a12e23 + e32a21, e32a21e12 + e21a21e23} =

=a12e22a21e12 + e21a12e22a21 =

=(a12a21)e12 + e21(a12a)a21 = δ0(a12a21) = δ0(q11(d)).

(5’) Линеаризуем (5) по d, подставляя вместо новой переменной h12. Получаем

d · h12 + h12 · d = δ0(q11(d + h12) − q11(d) − q11(h12)) = δ0(q11(d, h12)).

Осталось заметить, что в силу того, что h12 = 1, в левой части равенства стоит d + d, а в правой части стоит q0(t11(d)).

(6) В самом деле, по принципу Пирса при d = a12 + a21:

δ0(a11) · d = (a11e12 + e21a11) · d = {a11e13 + e31a11, a21e13 + e31a12} =

= a11e11a12 +a21e11a11 = a11a12 +a21a11 = {a11, a12 +a21} = {a11, d}.

Теорема доказана.

Упражнение 15.A. h12 — правая единица.

Упражнение 15.B. Если e — левая единица в алгебре D с инволюцией, то e — двусторонняя симметрическая единица.

Упражнение 15.C. Любой из пунктов (4)–(6) можно проверить с помощью принципа Пирса.

174

15.2.Координатизационная теорема Джекобсона

С координатами работать немного научились. С пирсовским разложением и эрмитовыми симметриями — тоже. Не упрощая задачу, продолжаем идти по строгому пути.

Теорема Джекобсона 15.2 (о строгой координатизации).

Пусть J — унитальная йорданова алгебра с полным ортогональным семейством идемпотентов {e1, . . . , en}, n ≥ 3, где e1 строго связан с ej с помощью v1j для всех j ≥ 2. Тогда J изоморфна алгебре эрмитовых n × n матриц посредством изоморфизма

δ : J → Hn(D, ),

δ(ei) = 1[ii] = Eii, δ(v1j) = 1[1j] = E1j + Ej1.

Алге6ра D альтернативна с ядерной инволюцией, ассоциативна при n ≥ 4.

Доказательство. В силу леммы 14.2 об эрмитовом пополнении можно считать, что J содержит семейство H эрмитовых n × n матричных единиц (n ≥ 3). Поскольку H содержит подсемейство эрмитовых 3 × 3 матричных единиц, то можно определить координатную -алгебру D с единицей 1 = h12. На данный момент это просто унитальная алгебра. Построим с ее помощью алгебру Hn(D, ), которая является прямой суммой внедиагональных подпространств D[ij] (i ̸= j) и диагональных подпространств D0[ii] = H(D)[ii].

Шаг 1. Имеем D = J12, D0 = Vh12 (J11). Определим координатизационные отображения (i ̸= j):

δij : Jij → D = J12, δij = Uπ, π(i) = 1, π(j) = 2, δii : Jii → D0 = Vh12 (J11), δii = δ0 ◦ Uπ, π(i) = 1.

По теореме 14.4 об эрмитовых симметриях эти отображения не зависят от конкретного выбора π. Склеиваем эти куски и получаем глобальное координатизационное отображение:

Поскольку J является прямой суммой пирсовских подпространств Jij, i ≤ j по теореме 12.2 о пирсовском разложении, а Hn(D, )

175

является прямой суммой подпространств D[ij] (i < j) и D0[ii], то отображение задано корректно. Поскольку Uπ и Vh12 — биекции, то отображения δij — биекции, и δ — тоже биекция, то есть изоморфизм модулей.

Шаг 2. Имеем Jij = Jji и d[ji] = d[ij]. Докажем

δ(xij) = δij(xij)[ij] = δji(xij)[ji].

Если i = j, то это тривиально, поскольку образ δii лежит в D0 = H(D, ). Пусть i ̸= j и σ — любая такая перестановка, что σ(j) = 1, σ(i) = 2. Тогда π = (12) ◦ σ удовлетворяет равенствам π(i) = 1, π(j) = 2, так что

δij = Uσ, δij = Uπ.

Но

δji(xij) = U(12)(δji(xij)) = U(12)Uσ(xij) = Uπ(xij) = δij(xij).

Тогда получаем, что

δij(xij)[ij] = δji(xij)[ij] = δji(xij)[ji].

Шаг 3. Итак, для гомоморфизма алгебр остается доказать, что δ({x, y}) = {δ(x), δ(y)}. Достаточно проверить все для линейно порождающего множества пирсовских элементов, x = xij, y = ykl. Применяем теорему 12.6 о пирсовском умножении и лемму 3.13 об эрмитовой матричной алгебре. Тогда алгебры J и Hn(D, ) имеют

одну и ту жу симметрию по индексам: δij(xij)[ji] = δji(xij)[ij] и

d[ji] = d[ij]. Кроме того при различных i, j, k для обеих алгебр вы-

полнено A2ii Aii, A2ij Aii+Ajj, {Aii, Aij} Aij, {Aij, Ajk} Aik,

если индексы связаны, и одинаковое соотношение ортогональности {Aij, Akl} = 0, если индексы нельзя связать. Таким образом, гомоморфность сводится к проверке четырех базовых соотношений (i, j, k различны):

176

Шаг 4. В теореме 15.1 имеем следующую согласованность обозначений:

δ11 = δ0, δ12 = idJ12 , δ21 = U(12) = , δ13 = U(23), δ32 = U(13).

Используем равенства (4), (5), (6), (2) из теоремы 15.1. Получаем

Шаг 5. Покажем, как равенства (3.i) сводятся к (4.i). Выберем произвольную π Sn такую, что π(1) = i, π(2) = j, π(3) = k. По теореме 14.4 эрмитовы симметрии являются автоморфизмами алгебр, так что найдутся такие элементы a11, x12, y13, z23, что

δii(aii) = δ11(a11), δii(a2ii) = δ11(a211), δii(qii(xij)) = δ11(q11(x12)),

δij(xij) = δ12(x12), δji(xij) = δ21(x12), δij({aii, xij}) = δ12({a11, x12}), δik(yik) = δ13(y13), δkj(zkj) = δ32(z32), δij({yik, zkj}) = δ12({y13, z32}).

Эти равенства сводят (3.1)-(3.4) к (4.1)-(4.4).

Шаг 6. Итак, δ — изоморфизм алгебр. По теореме 14.4 при i ̸= j имеем

δij(hij) = Uπ(hij) = hπ(1)π(j) = h12 = 1.

Кроме того,

δii(hii) = δ0(Uπ(hii)) = δ0(hπ(1)π(1)) = δ0(h11) = h12 = 1.

177

Таким образом, в любом случае δij(hij)[ij] = 1[ij]. Осталось заметить, что альтернативность (или ассоциативность при n ≥ 4) алгебры D вытекает из теоремы 13.1 о йордановых координатах, поскольку мы теперь знаем, что Hn(D, ) йорданова (как изоморфная J). Теорема доказана.

Еще одно заклинание изотопной школы — и мы получаем окончательную формулировку невероятно красивой теоремы Джекобсона.

Координатизационная теорема Джекобсона 15.3. Каждая унитальная йорданова алгебра J с полным ортогональным семейством из n ≥ 3 связных идемпотентов {ei} (достаточно, чтобы e1 был связан со всеми ej) изоморфна алгебре скрученных эрмитовых n × n матриц посредством изоморфизма

φ : J → Hn(D, Γ), φ(ei) = 1[ii] = Eii.

Алгебра D альтернативна с ядерной инволюцией, ассоциативна при n ≥ 4.

Доказательство. Допустим, e1 связан с ej с помощью элемента v1j J1j. Тогда по лемме 13.5 о диагональной обратимости qjj(v1j) обратим в Jjj. Положим ujj = qjj(v1j)−1, u11 = e1 = u−111, u = j ujj. По теореме 13.10 о создании инволюций изотоп

но v1j строго связывает e˜1 с e˜j. По теореме 15.2 имеем изоморфизм

D альтернативна с ядерной инволюцией: D0 N(D). Более того, по предложению 6.3 о йордановом гомотопе

◦ ˜

посредством φ = LΓ δ, так как по теореме 13.10 элемент

u−2 = Xu−2 XJjj

jj

jj

соответствует диагональному (следовательно, ядерному) элементу

P

Γ j D0[jj]. Под действием этого изоморфизма элемент ej переходит в обратимый идемпотент в Hn(D, Γ)jj, то есть в 1[jj]. Теорема доказана.

178

В доказательстве теоремы Джекобсона мы постоянно использовали три различных индекса. Таким образом, случай, когда единица не может быть разложена на сумму более чем двух идемпотентов, все еще требует рассмотрения.

179

Глава 16.

Регулярность по фон Нейману

Довольно вспомогательная глава, которая будет очень полезна при изучении минимальных внутренних идеалов. Впрочем, она достаточно простая, чтобы можно было без технических ограничений проникнуться сутью регулярных пар и структурных преобразований.

16.1.Регулярные пары

Если мы рассмотрим оператор левого умножения на элемент в ассоциативной алгебре, то этот элемент не будет гарантированно находиться в образе этого оператора (который является правым идеалом). Таким образом, этот правый идеал как бы «порождается» элементом, но не содержит его. Но в ассоциативных унитальных алгебрах таких ситуаций не бывает. В йордановых алгебрах все еще веселее — открытый внутренний идеал, порожденный элементом, не обязан содержать этот элемент даже в унитальной алгебре.

Пусть J — йорданова алгебра.

Определение. Элемент x J называется регулярным по фон Нейману (или просто регулярным), если для некоторого y J

x = Uxy,

180