Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Лемма 13.5 (о диагональной обратимости). Пусть J —

Pn

унитальная йорданова алгебра и x = i=0 xii, где xii Jii. Элемент x обратим в J тогда и только тогда, когда каждая компонента xii обратима в Jii. В этом случае x−1 = P

Доказательство. Проще всего проверять квадратичные условия. Пусть все компоненты обратимы, обозначим y = Pi x−ii1. Тогда

X X

x ◦ y = xii x−ii1 = 1,

ii

X X

x2 ◦ y = x2ii x−ii1 = x.

ii

совском подпространстве, то ограничения Ux|Jii = Uxii и Ux|Jij = Uxii,xjj (i ̸= j) обратимы. Поскольку x = Uxy, то xii = Uxii yii и

доказана.

Определение. Будем говорить, что два ортогональных идемпотента ei и ej связаны, если найдется связующий элемент vij Jij, обратимый в Jii + Jij + Jjj = J2(ei + ej). Идемпотенты называются строго связанными, если найдется строго связующий

элемент, который является инволюцией в J2(ei + ej). Кратко будем обозначать связь следующим образом:

ei vij ej.

Необходимо понять, какое отношение связующие элементы имеют к пирсовским квадратичным формам.

Лемма 13.6 (о внедиагональной обратимости). 1) Следующие условия эквивалентны:

a) элемент vij — связующий;

б) qii(vij) обратим в Jii и qjj(vij) обратим в Jjj;

в) Uvij (Jii) = Jjj и Uvij (Jjj) = Jii; г) ej Uvij (Jii) и ei Uvij (Jjj).

2) Элемент vij является сильно связующим тогда и только тогда, когда qii(vij) = ei и qjj(vij) = ej.

161

Доказательство. а)→ б). Если vij обратим в B = Jii + Jjj +

Jij, то vij2 обратим по предложению 5.8. Но vij2 = qii(vij) + qjj(vij), так что обратимы оба слагаемых в силу леммы о диагональной

обратимости 13.5.

б) → а). Повторить доказательство в обратном порядке.

а) → в). Обратимость vij влечет сюръективность Uvij на B по критерию обратимости 5.1. Таким образом, Uvij (Jii) = Jjj в силу теоремы 12.6 о пирсовском умножении.

в) → г) → а). Очевидно. Лемма доказана.

Упражнение 13.D. Стрелки б)→ а) и в)→г)→а) выполняют-

ся.

Нам пригодится осознание того, что отношение связи является эквивалентностью.

Лемма 13.7 (об эквивалентности связи). Бинарное отношение (строгой) связи

ei ej i = j или i ̸= j и ei, ej(строго) связаны

является отношением эквивалентности на множестве E :

ei vij ej, ej vjk ek → ei vik ek,

где vik = {vij, vjk} при различных i, j, k.

Доказательство. Рефлексивность и симметричность очевид-

на.

По лемме 13.6 о внедиагональной обратимости нам достаточно показать, что qii(vik) обратим в Jii (и то же самое для qkk). Но

qii(vik) = qii({vij, vjk}) = Uvij qjj(vjk)

по правилам q-композиции 13.4. Заметим, что Uvij (qjj(vjk) + ei) обратим по предложению 5.8, поскольку vij обратим в B и диагональный элемент qjj(vjk) + ei обратим по лемме 13.5 (поскольку оба слагаемых обратимы). Значит, элемент qii(vik) обратим в B = Jii+Bjj+Bij по лемме 13.5 о диагональной обратимости, как iiкомпонента обратимого диагонального элемента Uvij (qjj(vjk) + ei).

Для строгого случая по лемме 13.6 надо показать, что qii(vik) = ei. Но по правилам q-композиции 13.4 получаем

qii(vik) = Uvij qjj(vjk) = Uvij ej = qii(vij) = ei.

162

Лемма доказана.

Инволюция связи при нескольких идемпотентах станет даже более серьезным союзником, чем она была в простом случае.

Предложение 13.8 (об инволюции связи). Если ортогональные идемпотенты e1 и e2 произвольной йордановой алгебры J строго связаны, v122 = e1 + e2 для элемента v12 J12, то элемент

u = 1 − e1 − e2 + v12

является инволюцией связи в Jb, а Uu на Jbиндуцирует инволюцию на J, которая переставляет e1 и e2 и

отображение Uu является инволюцией на Jb, а значит Uu (и обратное к нему) действует инвариантно на J, так что оно индуцирует инволюцию на J. Применяя теорему 12.5 к e = e1 +e2, получаем = Uu = Ue0+v, откуда по правилам умножения 12.6 и предложению 9.4 вытекают все три требуемых утверждения. Предложение

доказано.

В условиях предыдущего предложения определим след как

ti(x) = qi(v12, x).

Результаты для следов и неподвижных точек инволюции связи переносятся непосредственно со случая двух идемпотентов.

Предложение 13.9 (о следах и неподвижных точках инволюции связи). В условиях предыдущего предложения справедливо

aii = tj(aii ◦ v12),

x12 = 2ti(x12) ◦ v12 − x12,

qi(x12) = qj(x12).

163

Множество неподвижных точек инволюции связи на J12 совпадает с {Jii, v12} :

Доказательство. Непосредственно вытекает из предложений 9.3-9.5, примененных к J2(e1 + e2). Предложение доказано.

Связь между идемпотентами усиливается за счет уже наколдованных ранее изотопов. Палочку нужно доставать, только чтобы посветить на созданные нами ранее объекты.

Теорема 13.10 (о создании инволюций). 1) Пусть J — унитальная йорданова алгебра и e1 связан с ej с помощью v1j J1j

v1j Jij(u) :

v1(2j,u) = e(1u) + e(ju).

2) Пирсовские разложения изотопа и оригинала совпадают, а новые квадратичные формы и специализации вычисляются по правилам

q11(u) = q11(x1j), qii(u)(xij) = qii(xij, qjj(v1j)−1 ◦ xij),

σ(u)(a11) = σ(a11), σ(u)(aii) = σ(aii)σ(qii(v1i))−1.

Доказательство. По правилам умножения 12.6 пространство J2(e1 + ej) является подалгеброй в J(u), совпадающей с J2(e(1u) +

e(ju))(e1+ujj). Таким образом, все вытекает из предложения о создании инволюции 9.8 и предложений 9.9-9.11. Теорема доказана.

164

Глава 14.

Эрмитовы симметрии

Если идемпотентов достаточно много, то далеко от эрмитовых матричных алгебр мы не уйдем. Изучим свойства того, что происходит при наличии элементов, подозрительно похожих на матричные единицы, после чего с их помощью введем специальные отображения.

14.1.Эрмитовы фреймы

Начнем с изучения чего-то, напоминающего матричные единицы. Точнее — эрмитовы матричные единицы.

Пусть n ≥ 3.

Определение. Эрмитовым n-фреймом в унитальной йордановой алгебре J называется семейство эрмитовых матричных единиц H = {hij | 1 ≤ i, j ≤ n}, состоящее из ортогональных идемпотентов h11, h22, . . . , hnn и строго связующих элементов hij = hji, удовлетворяющих следующим условиям.

1) Правило полноты:

n

X

hii = 1.

i=1

2) Правила эрмитова произведения для различных i, j, k:

h2ii = hii, h2ij = hii + hjj, {hii, hjj} = hij, {hij, hjk} = hik.

165

3) Правило эрмитовой ортогональности при {i, j} ∩ {k, l} = :

{hij, hkl} = 0.

Определение. Назовем в Hn(D, ) следующий набор

hii = 1[ii] = eii, hij = 1[ij] = eij + eji = hji

стандартным эрмитовым n-фреймом. Пусть A — ассоциативная алгебра и Ea = {eij | 1 ≤ i, j ≤ n} такое, что

n

X

1 = eii, eijekl = δjkeil. i=1

Тогда Ea называется семейством n×n ассоциативных матричных единиц.

Изучим ряд свойств эрмитовых фреймов на специальных йордановых алгебрах.

Предложение 14.1 (о специальном фрейме). 1) Стандартный эрмитов n-фрейм является эрмитовым n-фреймом.

2) Пусть Ea = {eij} — семейство n×n ассоциативных матричных единиц. Тогда следующее семейство

H(Ea) = {hij}, hii = eii, hij = eij + eji

образует эрмитов n-фрейм для йордановой алгебры A+ или для любой специальной подалгебры J A+, содержащей H(Ea). Если на A задана инволюция такая, что eij = eji для всех i, j, то H(Ea) образует эрмитов n-фрейм для H(A, ).

3) Обратно, в любой унитальной специальной йордановой алгебре J A+ нет других эрмитовых n-фреймов:

H = H(Ea), eii = hii, eij = eiihijejj.

Доказательство. Первые два пункта проверяются непосредственно в ассоциативной алгебре.

3) Семейство eii = hii является полным семейством ассоциативных идемпотентов. Кроме того, если {e, x} = 0, то

1

Uex = 2({e, {e, x}} − {e, x}) = 0

166

и

ex = e(ex + xe) − exe = 0.

Таким образом, семейство eii ортогонально. Но тогда ассоциативные пирсовские компоненты eij = eiihijejj удовлетворяют условию

hij = eij + eji и

h2ij = eii + ejj,

откуда при i ̸= j

eijeji = eii.

Кроме того, {hij, hjk} = hik, откуда eijejk = eik при различных i, j, k. Поскольку eij Aij из разложения Пирса в предложении 12.7, то eijekl = 0 при j ̸= k, так что Ea = {eij} является семейством ассоциативных матричных единиц. Предложение доказано.

Упражнение 14.A. Первые два пункта проверяются непосредственно в ассоциативной алгебре.

14.2.Эрмитовы симметрии

Для начала заметим, что нам не обязательно иметь в наличии целый фрейм. Хватит и набора ортогональных строго связанных идемпотентов.

Лемма 14.2 (об эрмитовом пополнении). Любое полное семейство E = {ei} из n строго связанных ортогональных идемпотентов можно вложить в эрмитов n-фрейм: если e1 связан с ej через v1j, то следующее семейство H = {hij} будет образовать эрмитов n-фрейм:

hii = ei, h1j = hj1 = v1j, hij = hji = {v1i, v1j}.

Доказательство. По принципу Пирса 12.12 достаточно доказать утверждение для специальных алгебр. В этом случае ei образуют полное семейство ортогональных идемпотентов в ассоциативной алгебре. По предложению 14.1 в каждом Bij = J11 + J1j + Jjj найдутся 2 × 2 ассоциативные матричные единицы e11, e1j, ej1, ejj такие, что v1j = e1j + ej1. Таким образом, мы получаем полное семейство n×n ассоциативных матричных единиц Ea = {eij = ei1e1j}. В самом деле,

eijekl = ei1e1jek1e1l = δjkei1e11e1l = δjkei1e1l = δjkeil.

167

Следовательно, H(Ea) = {eii, eij + eji} образуют эрмитово семейство. Здесь hii = eii = ei, h1j = e1j + ej1 = v1j,

hij = eij + eji = ei1e1j + ej1e1i = {e1i + ei1, e1j + ej1} = {v1j, v1j.}

Лемма доказана.

Квадратичные U-операторы на связующих элементах дают ряд интересных свойств.

Лемма 14.3 (об эрмитовых инволюциях). Пусть множество H = {hij} — эрмитов n-фрейм и uij = 1 − (hii + hjj) + hij. 1) Отображения Uij = U| = Uuij являются инволюциями.

2)

Uij(hkl) = hτ(k)τ(l), Uij(ukl) = uτ(k)τ(l), Uij(Jkl) = Jτ(k)τ(l).

4)

UijUklUij = Uτ(k)τ(l)

Доказательство. 1, 2) Заметим, что uij = uji и u2ij = 1. Тогда по предложению 13.8 об инволюции связи эти элементы задают инволюции: Uij = Uji на J, Uij2 = idJ . При этом по теореме 12.5 о восстановлении пирсовкого разложения получаем

X

=(Jki + Jkj), J2(hii + hjj) = Jii + Jij + Jjj.

k̸=i,j

3) Пусть k = l. Если k ̸= i, j, то τ(k) = k. По предыдущему пункту Uij действует тождественно на Jkk. Если k = i, то Uij(hii) = hjj по предложению 13.8.

Пусть k ̸= l. Если {i, j} ∩ {k, l} = , то все верно в силу пункта 2. Если {k, l} = {i, j}, то без ограничения общности (k, l) = (i, j), так что по предложению 13.8 Uij(hij) = hij = hji = hτ(i)τ(j). Если

168

пары {i, j} и {k, l} пересекаются только по одному элементу, то без ограничения общности i = k, l ̸= i, j, k. Тогда

Uij(hil) = Vhji (hil) = hjl = hτ(i)τ(l).

Второе требуемое равенство выполнено, поскольку ukl является линейной комбинацией hmr. Третье требуемое равенство вытекает из того факта, что автоморфизм U перестановочен с линеаризацией U-оператора:

U(Ue,f J) = UU(e),U(f)(J).

4) Вытекает из того, что

UijUklUij = Uuij Uukl Uuij = UUuij (ukl) =

= UUij(ukl) = Uuτ(k)τ(l) = Uτ(k)τ(l).

Лемма доказана.

Мы готовы получить ряд важных утверждений про эрмитовы симметрии. Обращаем внимание, что доказательство корректности задания мономорфизма в теореме отсутствует. Этот материал весьма далек от йордановых алгебр, в связи с чем дается без доказательства.

Теорема 14.4 (об эрмитовых симметриях). Если H = {hij}

— эрмитов n-фрейм и Uij — соответствующие инволюции, то отображение φ : Sn → Aut(J), заданное на порождающих по правилу (ij) → U(ij) = Uij и далее продолжающееся до отображения π → Uπ, является мономорфизмом. Uπ определяется следующим образом:

1) U1 = idJ , Uσ◦π = Uσ ◦ Uπ. Кроме того, справедливо

2) Uπ(hij) = hπ(i)π(j), Uπ(uij) = uπ(i)π(j), Uπ(Jij) = Jπ(i)π(j).

3)Если π(i) = i и π(j) = j, то Uπ|Jij = id.

4)Если π(i) = σ(i) и π(j) = σ(j), то Uπ|Jij = Uσ|Jij .

Доказательство. Выведем пункты 2–4 из 1.

2)Прямо вытекает из 1 и леммы 14.3.

3)Если π(i) = i и π(j) = j, то π можно записать в виде произведения транспозиций (k, l), где k, l ̸= i, j. Тогда в силу первого пункта Uπ представляется как композиция операторов U(kl), которые тождественны на Jij в силу леммы 14.3.

169

4) Поскольку σ−1π(i) = i, σ−1π(j) = j, то в силу 3 Uσ−1π = id|Jij . Тогда в силу 1 все доказано.

Корректность задания 1 опускаем, это теоретико-групповой материал. Теорема доказана.

170