Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

мы фиксируем идемпотент e = e2 J и пирсовское разложение

J = J2 J1 J0

относительно идемпотента e J. Используем обозначение e0 = 1 − e2.

10.1.Фреймы. Спин-соотношение Пирса

Мы уже убедились, что связанные идемпотенты позволяют нам раскрыть потенциал йордановых алгебр. Таким образом, два идемпотента и связующий элемент образуют важное множество элементов: по одному из каждого пирсовского пространства. Введем для этого подходящую терминологию.

Определение. Если J — унитальная йорданова алгебра, то тройка {e2, v1, e0} называется 2-фреймом, если e2 и e0 — это взаимно дополнительные ортогональные идемпотенты, связанные с помощью элемента v1 J1. Фрейм называется строгим, если e2 и e0 строго связаны с помощью v1, v12 = e2 + e0 = 1; в этом случае инволюция связи x → x := Uv1 (x) является автоморфизмом, переставляющим e2 и e0 (по предложению 9.3 об инволюции связи).

Определение. Будем говорить, что йорданова алгебра J удовлетворяет спин-соотношению Пирса относительно пары взаимно дополнительных идемпотентов e2 и e0, если для всех x1, y1

J1

q2(x1) ◦ y1 = q0(x1) ◦ y1.

Если йорданова алгебра J удовлетворяет спин-соотношению Пирса относительно e2 и e0, то 2-фрейм {e2, v1, e0} называется

спин-фреймом.

Классическим (и единственным!) примером спин-фрейма является стандартный спин-фрейм на старом знакомом.

Предложение 10.1 (пример стандартного спин-фрейма).

Пусть J = RedSpin(q) = Ω M Ω — редуцированная алгебра квадратичной формы, построенная из Ω-модуля M с Ω-квадратичной формой q, где Ω — кольцо скаляров над Φ, и умножением

(α, w, β)2 = (α2 + q(w), (α + β)w, β2 + q(w)).

131

Тогда J удовлетворяет спин-соотношению Пирса относительно идемпотентов e2 = (1, 0, 0) и e0 = (0, 0, 1).

Для любого обратимого v1 = (0, v, 0) мы получаем стандартный спин-фрейм {e2, v1, e0}. Этот фрейм является строгим тогда и только тогда, когда q(v) = 1. В этом случае инволюция связи имеет вид (α, w, β) = (β, q(w, v)v − w, α).

Доказательство. По следствию 7.9 пирсовское разложение J относительно e = e2 является естественным: Ji = Φei (i = 0, 2), J1 = M. По формуле умножения получаем

qi(w1) = Ei(w12) = q(w)ei,

откуда

1

qi(w1) ◦ v1 = 2q(w)v1.

Тем самым, {e2, v1, e0} — это спин-фрейм, который является строгим тогда и только тогда, когда q(v1) = 1. В этом случае

(α, w, β) = Uv1 (αe2 + w1 + βe0) =

=αe0 + ({q2(v1, w1), v1} − {q0(v1), w1}) + βe2 =

=αe0 + (q(v, w)v1 − q(v)w1) + βe2 = (β, q(w, v)v − w, α).

Предпоследнее равенство верно в силу предложения 8.7, а последнее — в силу строгости фрейма. Предложение доказано.

На эрмитовых матрицах второго порядка спин-фреймы тоже бывают, но только для центральных инволюций. Правда, в этом случае мы все равно скатываемся в алгебру квадратичной формы.

Предложение 10.2 (пример йорданового матричного спин-фрейма). Пусть J = H2(D, ) — эрмитова матричная алгебра, где D — ассоциативная -алгебра. Алгебра J удовлетворяет спин-соотношению Пирса относительно e2 = 1[11], e0 = 1[22] тогда и только тогда, когда инволюция на D центральна. В этом случае алгебра является редуцированной алгеброй квадратичной формы над своим -центром Ω со строгим спин-фреймом

{1[11], 1[12], 1[22]}.

Доказательство. По лемме 3.7 о эрмитовой матричной алгебре получаем q2(x[12]) = xx[11], q0(x[12]) = xx[22],

2(q2(x[12]) − q0(x[12])) ◦ y[12] = ((xx)y − y(xx))[12].

132

Таким образом, спин-соотношение Пирса выполнено, только если все нормы xx = xx центральны. Тогда H(D, ) = Ω и

H2(D, ) = H(D, )[11] D[12] H(D, )[22] =

= Ωe2 M Ωe0 RedSpin(q),

где q(w) = ww — квадратичная форма на M = D. Предложение доказано.

Следующая идея — усложнить инволюцию, то есть скрутить матричную алгебру. Но даже в этом случае мы не убежим от алгебры квадратичной формы, разве что спин-фрейм утратит строгость.

Предложение 10.3 (пример скрученного матричного спин-фрейма). Пусть J = H2(D, Γ) — скрученная матричная алгебра, где Γ = diag(1, γ). Если J удовлетворяет спин-соотношению Пирса относительно e2 = 1[11]Γ = E11, e0 = γ−1[22]Γ = E22, то Γ лежит в центре, Γ = и алгебра J совпадает с H2(D, ). В частности, J является редуцированной алгеброй квадратичной формы над своим -центром.

Доказательство. По предложению 6.7 о матричном изотопе имеем

q2(x[12]Γ) = xγx[11]Γ, q0(x[12]Γ) = xx[22]Γ,

2(q2(x[12]Γ) − q0(x[12]Γ)) ◦ y[12]Γ = ((xγx)y − yγ(xx))[12]Γ.

Таким образом, спин-соотношения Пирса справедливы тогда и только тогда, когда xγx = γxx централен для всех x. При x = 1 получаем, что γ обратим в центре D, так что Γ лежит в центре M2(D) и Γ = . Тем самым, по предложению 10.2 предложение доказано.

Диагональные компоненты при наличии спин-фреймов творят чудеса. В частности, они ассоциативны. Мы уже обсуждали, почему в йордановых алгебрах ассоциативность на элементах является коммутативностью на операторах, так что читателя уже не должно удивлять название следующего утверждения.

Лемма 10.4 (о диагональной коммутативности). 1) Если J

удовлетворяет спин-соотношению Пирса относительно пары дополнительных ортогональных идемпотентов e2 и e0, то для всех ai Ji, x1 J1 выполнено

σi(qi(x1, ai ◦ x1)) = σi(ai)σi(qi(x1)) = σi(qi(x1))σi(ai).

133

2) Если {e2, v1, e0} образует спин-фрейм, то Ω = σ2(J2) = σ0(J0) является ассоциативной и коммутативной подалгеброй EndΦ(J1), причем σi : Ji → σi(Ji) — это изоморфизм.

Доказательство. 1) Из спин-соотношения Пирса вытекает равенство Vq2(x1) = Vq0(x1) на J1. Тогда Vqi(x1) коммутирует со всеми Vai по предложению 8.4 о пирсовской ассоциативности, так что

Vai Vqi(x) = Vqi(x)Vai = Vai ◦ Vqi(x) = Vai◦qi(x) = Vqi(x,ai◦x).

Предпоследнее равенство верно по предложению 8.1 о пирсовской специализации, а последнее равенство — по правилам q-композиции 8.5.

2) По пирсовской ассоциативности 8.4 получаем, что Ωi = σi(Ji) коммутирует с Ωj = σj(Jj) σj(qj(J1)). Последнее совпадает с σi(qi(J1)) по спин-соотношению Пирса. По правилам q-композиции получаем

Ωj σi(qi(J1)) σi(qi(v, Jj ◦ v)) = σi(Uv(Jj)) = σi(Ji) = Ωi.

Таким образом, Ω2 = Ω0 = Ω — это Φ-модуль Φ-линейных преобразований. Также Ω является унитальной йордановой подалгеброй, замкнутой относительно квадратов по предложению 8.1 о пирсовской специализации, так что Ω является также ассоциативной подалгеброй в EndΦ(J1):

σ(ai)σ(bi) = σ(ai) ◦ σ(bi) = σ(ai ◦ bi).

Более того, сюръекция σi : Ji → Ωi инъективна (откуда Ji Ω+i = Ω как алгебры) по лемме 8.2 о пирсовской инъективности и в силу обратимости v. Лемма доказана.

Мы уже умеем создавать инволюции, подбирая правильный изотоп. Тем самым мы умеем превращать фрейм в строгий. Осталось убедиться, что при правильной изотопии мы сможем сохранить спин-соотношение Пирса.

Лемма 10.5 (о спин-соотношениях в диагональном изотопе). Если J удовлетворяет спин-соотношению Пирса относительно e2 и e0, то диагональный изотоп J(u) тоже удовлетво-

ряет спин-соотношению Пирса относительно e(2u) = u−2 1 и e(0u) = u−0 1, где u = u2 + u0.

134

Доказательство. По лемме 9.6 о диагональном изотопе e(2u) является идемпотентом с тем же пирсовским разложением, как и у e2. Кроме того,

(u)

Vqj(u)(x) = Vqj(x,ui◦x)Vuj = Vqi(x,ui◦x)Vuj = Vqi(x)Vui Vuj = Vqi(x)Uui,uj .

Последнее равенство справедливо по пирсовской ассоциативности 8.4. В силу спин-соотношения Пирса на J последнее выражение симметрично по i и j, так что спин-соотношение Пирса на J(u) относительно e(2u) и e(0u) тоже выполнено. Лемма доказана.

Мы научились переходить к строгому спин-фрейму. Стоит изучить их свойства поподробнее. На самом деле здесь прослеживается сильная связь с инволюцией связи: она не влияет на пирсовскую специализацию.

Лемма 10.6 (спин-соотношение инволюции). Строгий 2- фрейм {e2, v1, e0} удовлетворяет спин-соотношению Пирса тогда и только тогда, когда инволюция связи удовлетворяет следующему спин-соотношению инволюции:

a2 ◦ y1 = a2 ◦ y1.

Из спин-соотношения инволюции вытекают также следующие соотношения:

1)форма qi является Ji-билинейной: ai ◦qi(x1, y1) = qi({ai, x1}, y1);

2)инволюция на J1 изометрична: qi(x1) = qi(x1);

3)инволюция переставляет q2 и q0: qi(x1) = qj(x1).

Доказательство. По предложению 9.3 об инволюции связи x →

x является инволюцией и переставляет e2 и e0, а значит и их диагональные подпространства. Из спин-соотношения Пирса вытекает спин-соотношение инволюции:

a2 ◦ y = q0(a2 ◦ v, v) ◦ y = q2(a2 ◦ v, v) ◦ y = (a2 ◦ q2(v)) ◦ y = a2 ◦ y.

Здесь первое равенство верно в силу предложения 9.4, второе равенство в силу спин-соотношений Пирса, третье равенство по правилам q-композиции 8.5, последнее — в силу строгости q2(v) = e2.

Докажем первое соотношение. В силу линеаризованных правил q-композиции получаем:

ai ◦qi(x, y)−qi({ai, x1}, y) = qi(ai ◦x, y)+qi(ai ◦y, x)−2qi(ai ◦x, y) = = qi(ai ◦ y, x) − qi(ai ◦ x, y) = 0.

135

Последнее верно в силу спин-соотношения инволюции и предложения 8.7.

Докажем второе соотношение. В силу предложения 9.3 об инволюции связи и правил q-композиции:

qi(x) = qi({ti(x), v} − x) = Uti(x)qi(v) − qi({ti(x), v}, x) + qi(x) =

= ti(x)2 − ti(x) ◦ qi(v, x) + qi(x) = qi(x).

Последние два равенства верны в силу того, что qi(v) = ei и в силу пункта 1.

В силу предложения 9.3 второе и третье соотношения эквивалентны. Осталось заметить, что в силу третьего соотношения из спин-соотношения инволюции вытекает спин-соотношение Пирса:

q2(x) ◦ y = q2(x) ◦ y = q0(x) ◦ y.

Лемма доказана.

10.2.Координатизация редуцированной алгебры квадратичной формы

Чтобы координатизировать квадратные матрицы порядка n, требуется n2 матричных единиц. Чтобы координатизировать алгебру квадратичной формы, нужны всего лишь три элемента.

Теорема 10.7 (координатизация строгих спин-фреймов).

В йордановой алгебре существует строгий спин-фрейм {e2, v1, e0} тогда и только тогда, когда она изоморфна редуцированной алгебре квадратичной формы RedSpin(q) над Ω — расширением кольца скаляров Φ — со стандартным спин-фреймом, причем q(v1) = 1.

Доказательство. По лемме 10.4 о диагональной коммутативности σ2(J2) = σ0(J0), причем Ω = σi(Ji) является подалгеброй в EndΦJ1. Таким образом, J1 является Ω-модулем с действием wx1 = w(x1). По спин-соотношению Пирса σ(q2(x1)) = σ(q0(x1)), так что мы можем определить q(x1) = σ(qi(x1)). Линеаризация q(x, y) является Ω-билинейной. В самом деле, она Φ-билинейна и по лемме 10.6

q(wx, y) = q(σ(a2)x, y) = σ(a2)q(x, y) = wq(x, y).

136

Таким образом, q(x) — квадратичная форма на J1. Так как фрейм строгий, то

v12 = e2 + e0 = 1, q2(x1) ◦ y1 = q0(x1) ◦ y1.

В наших обозначениях:

a = Uv1 a,

σ(ai) = σ(ai) = Vai |J1 .

Тогда определим отображение φ : J → RedSpin(q)

φ(a2 y1 b0) = (σ(a2), y1, σ(b0)).

Докажем, что φ(x2) = φ(x)2 для всех x = a2 y b0. По соотношениям Пирса

x2 = [a22 + q2(y)] [2(a2 + b0) ◦ y] [b20 + q0(y)] = = [a22 + q2(y)] [σ(a2 + b0)y] [b20 + q0(y)].

Тогда

φ(x2) = (σ(a22 + q2(y)), σ(a2 + b0)y, σ(b20 + q0(y))).

С другой стороны, умножение в RedSpin(q) дает

φ(x)2 = (σ(a2), y, σ(b0))2 =

= (σ(a2)2 + q(y), σ(a2 + b0)y, σ(b20) + q0(y)).

Заметим, что в силу предложения 8.1 о пирсовской специализации σ(c2i ) = σ(ci)2 и по определению формы σ(qi(y)) = q(y). Осталось показать, что φ — биекция. Но по лемме о диагональной коммутативности φ|Ji — это биекции σi : Ji → Ω, в то время как φ|J1 = idJ1 .

Утверждение в обратную сторону верно в силу предложения

10.1.Теорема доказана.

Учитателя в рукаве с прошлой главы оставалась волшебная палочка изотопии. Пришло время эффектно ее извлечь.

Теорема 10.8 (координатизация спин-фреймов). В йордановой алгебре существует спин-фрейм {e2, v1, e0} тогда и только тогда, когда она изоморфна редуцированной алгебре квадратичной формы RedSpin(q) над Ω — расширением кольца скаляров Φ — со стандартным спин-фреймом, причем q(v1) обратим.

137

Доказательство. Пусть v12 = v2 + v0. Тогда vi обратим в Ji.

По предложению 9.8 о создании инволюций для u = e2 + v0−1 диа-

˜ (u)

гональный изотоп J = J имеет то же пирсовское разложение, что и J, и тем самым удовлетворяет спин-соотношению Пирса (по-

скольку ему удовлетворяют все диагональные изотопы по лемме

для диагонального u−2 = e2 +v02 (по предложению 6.3 о йордановом гомотопе и предложению 5.8 о произведении обратных), то J изоморфна RedSpin(˜q)(˜u), где u˜ = (1, 0, µ). Последняя алгебра по предложению 6.4 о изотопах квадратичного фактора является алгеброй RedSpin(q), где q = µq˜ все еще принимает обратимое значение на v1. В обратную сторону утверждение верно в силу предложения 10.1. Теорема доказана.

Спин-соотношение Пирса выглядит сравнительно естественным, поскольку возникает в алгебрах квадратичной формы. Однако оно еще более естественным образом возникнет в конце книги при окончательном построении структурной теории.

138

Глава 11.

Эрмитова

координатизация

Эрмитовы матрицы второго порядка с алгебрами квадратичной формы объединяет то, что единицу в них нельзя разложить на сумму более чем двух ортогональных идемпотентов. С этим мы будем разбираться ближе к концу книги.

С алгебрами квадратичной формы мы уже разобрались, заодно посмотрели, что происходит с эрмитовыми матрицами при наличии спин-фрейма. Оказывается, можно рассматривать более широкий класс алгебр, просто нужно фрейм строить иначе. В этой главе мы координатизируем эрмитовы матрицы второго порядка.

Как обычно, на протяжении этой главы мы фиксируем идемпотент e2 = e J и пирсовское разложение

J = J2 J1 J0

относительно идемпотента e J. Используем обозначение e0 = 1 − e2.

11.1.Циклические фреймы

Мы уже убедились в предыдущей главе, что специализации по любому диагональному пространству творят чудеса. Возникает вопрос: что изменится, если внедиагональная компонента будет, в некотором смысле, однопорожденной?

139

Определение. Будем говорить, что йорданова алгебра J удовлетворяет циклическому условию Пирса относительно пары дополнительных идемпотентов e2 и e0, если внедиагональное пространство J1 содержит циклический пирсовский порождающий y1

J1 = D(y1),

где координатная алгебра D является подалгеброй в EndΦ(J1), порожденной σ(J2).

Циклический 2-фрейм {e2, v1, e0} унитальной йордановой алгебры J состоит из пары дополнительных идемпотентов e2, e0 и обратимого циклического порождающего v1 J1. Фрейм называется строгим, если v1 сильно связывает e2 и e0:

v12 = e2 + e0 = 1.

Построим стандартный (и единственный!) эрмитов фрейм.

Пример (циклического эрмитового фрейма). Пусть J —

скрученная 2 × 2 эрмитова алгебра H2(A, Γ), где A — унитальная ассоциативная -алгебра и Γ = diag{1, γ2}. Тогда e2 = 1[11]Γ = E11, e0 = γ2−1[22]Γ = E22 являются дополнительными идемпотентами с J1 = A[12]Γ и J2 = H(A)[11]Γ. Если отождествить J1 с A и J2 с H(A), то эндоморфизм σ2(b[11]Γ) на J1 соответствует оператору левого умножения Lb в A, так что D EndΦ(J1) соответствует всем левым умножениям LB EndΦ(A) на элементы подалгебры B = H(A) A, порожденной элементами

D(a[12]Γ) = (Ba)[12]Γ.

Надо понять, в каком случае построенная конструкция удовлетворяет циклическому условию Пирса.

Предложение 11.1 (о циклическом эрмитовом фрейме).

Элемент a[12]Γ является циклическим порождающим для пространства J1 тогда и только тогда, когда:

1)a A обратим слева: ba = 1 для некоторого b A;

2)A симметрично порождена: H(A) порождает A как ассоциативную алгебру, т.е. B = A.

Доказательство. По предложению 6.7 мы знаем, что

σ(b[11]Γ)(a[12]Γ) = ba[12]Γ = (Lb(a))[12]Γ.

140