Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Глава 2.

Композиционные

алгебры

Перед стартом изучения йордановых алгебр нам необходимо подготовить почву для одного важного примера. Этот пример основан на так называемых композиционных алгебрах. Они настолько же естественно появляются при построении структурной теории йордановых алгебр, как тела появляются при построении структурной теории ассоциативных алгебр. Как мы докажем далее, все такие алгебры удовлетворяют так называемым тождествам левой и правой альтернативности. С них и начнем.

2.1.Альтернативные алгебры

Определение. Пусть Φ — кольцо скаляров. Тогда линейная алгебра A над Φ называется альтернативной алгеброй, если

A удовлетворяет тождествам левой и правой альтернативности:

(x, x, y) = 0,

(y, x, x) = 0.

Линеаризуя первое тождество, получаем

(x, z, y) = −(z, x, y).

21

Линеаризуя второе тождество, получаем

(y, z, x) = −(y, x, z).

Таким образом, ассоциатор в альтернативной алгебре является кососимметрической функцией от своих аргументов. В частности, в альтернативной алгебре справедливо равенство (x, y, z) = −(z, y, x), откуда вытекает тождество эластичности:

(x, y, x) = 0.

Заметим, что альтернативная алгебра — это в точности алгебра, у которой ассоциатор кососимметричен. Поскольку два определяющих тождества кососимметричности трилинейны и ассоциатор зануляется, если один из аргументов равен единице, то унитарное расширение альтернативной алгебры является альтернативной алгеброй.

На самом деле термин «альтернативная» возник исключительно по той причине, что это в точности алгебры, в которых ассоциатор является «альтернативной» (то есть кососимметрической, если говорить современным языком) функцией своих аргументов.

На языке операторов тождества левой-правой альтернативности и эластичности можно переписать следующим образом:

Lx2 = L2x,

Rx2 = Rx2,

LxRx = RxLx.

2.2.Ядерные инволюции

В многообразии альтернативных алгебр ядро и центр играют особую роль. По сути, на их основе построена вся структурная теория альтернативных алгебр, столь подробно, понятно и интересно изложенная в [4].

Пусть D — альтернативная алгебра. Тогда ядро и центр выглядят следующим образом (в силу кососимметричности ассоциатора):

N(D) = {n D|(n, D, D) = 0},

Z(D) = {z D|[z, D] = (z, D, D) = 0}.

22

Во многих хороших алгебрах с инволюцией множество эрмитовых элементов лежит в одной из красивых ассоциативных подалгебр: ядре, центре или кольце скаляров. Немного ломая язык, можно сказать, что инволюция называется «хорошей», если все ее эрмитовы элементы лежат в «хорошем» множестве.

Определение. Инволюция на алгебре A называется ядерной, если все эрмитовы элементы x = x лежат в ядре:

H(A, ) N(A).

Инволюция называется центральной, если все эрмитовы элементы x = x лежат в центре:

H(A, ) Z(A).

Инволюция называется скалярной, если алгебра унитальна и все эрмитовы элементы x = x лежат в Φ1:

H(A, ) Φ1.

Пусть алгебра A унитальна. Поскольку H(A, ) = t(A) и t(x) = n(x + 1) − n(x) − n(1), то достаточно проверить, что n(x) = xx лежит в ядре (центре, кольце скаляров) для любого x A, чтобы убедиться, что инволюция является ядерной (центральной, скалярной).

2.3.Композиционные алгебры

Настало время великих свершений: наконец-то у нас появятся утверждения, которые можно сформулировать в виде полноценных предложений и леммы с доказательствами. Еще пара параграфов — и мы сможем сформулировать первую настоящую теорему. Начнем с изучения свойств квадратичных форм на модулях.

Определение. Пусть V — Φ-модуль. Отображение Q : V → Φ называется квадратичной формой на V , если:

1)Q(αx) = α2Q(x) для любых x V , α Φ;

2)линеаризация Q(x, y) = Q(x + y) − Q(x) − Q(y) билинейна.

По определению Q(x, x) = Q(2x) − Q(x) − Q(x) = 2Q(x), то есть квадратичная форма Q(·) однозначно определяется по ее билинейной линеаризации Q(·, ·).

23

Базой для квадратичной формы Q называется элемент c V с единичной нормой, Q(c) = 1. Если у квадратичной формы зафиксирована база, то мы можем определить форму следа T (x) := Q(x, c). След линеен и T (c) = Q(c, c) = 2.

Предложение 2.1 (о подмодуле нулевого следа). Модуль

V с квадратичной формой Q и базой c V раскладывается в прямую сумму M = Φc M0, где

M0 = {x V |T (x) = 0}.

Доказательство. В самом деле, пусть y V . Тогда положим x := y − 12 T (y)c. Получаем

T (x) = T (y) − 12T (y)T (c) = 0.

Таким образом, y = 12 T (y)c + x Φc + M0. Осталось заметить, что T (αc) ̸= 0, если α ̸= 0. Предложение доказано.

Инволюцией следа называется отображение

x := T (x)c − x.

Сразу отметим, что вопрос, является ли инволюция следа инволюцией, не имеет смысла, поскольку на нашем модуле нет умножения. Но наличие периода 2 мы в состоянии проверить.

Предложение 2.2 (свойства инволюции следа). Справедливы следующие соотношения:

T (c) = 2, c = c, T (x) = T (x), Q(x) = Q(x), x = x.

Доказательство. В самом деле,

c = T (c)c − c = 2c − c = c,

T (x) = T (x)T (c) − T (x) = 2T (x) − T (x) = T (x),

Q(x) = Q(T (x)c − x) = 12Q(T (x)c − x, T (x)c − x) =

=T (x)2Q(c) − T (x)Q(x, c) + Q(x) = Q(x), x = T (x)c − x = T (x)c − x = x.

Предложение доказано.

24

На билинейную форму можно смотреть как на что-то вроде скалярного произведения. Если скалярный квадрат ненулевого вектора равен нулю (Q(x) = 12 Q(x, x) = 0), то это еще не повод для паники. Но если какой-то вектор будет ортогонален всему пространству, то это хороший повод зажечь сигнальные огни.

Определение. Радикалом квадратичной формы Q : V → Φ называется подмодуль Rad(Q) := {z V |Q(z, V ) = 0}. Квадратичная форма называется невырожденной, если Rad(Q) = 0, то есть если невырождена соответствующая ей билинейная форма Q(·, ·). Таким образом, квадратичная форма невырождена, если из Q(z, V ) = 0 следует z = 0.

В книге [4] различают строгую невырожденность (как мы ввели только что) и невырожденность (отсутствие ненулевых элементов z таких, что Q(z, V ) = Q(z) = 0). Однако 12 Φ, поэтому эти понятия в нашем случае совпадают.

Пришла пора подумать о том, как связать умножение с квадратичной формой. Ключевой здесь является проблема Гурвица, поставленная в 1898 году. На вещественных числах легко проверяется тождество

(a1a2 − b1b2)2 + (a1b2 + a2b1)2 = (a21 + b21)(a22 + b22).

Оно характеризует представление формулы |z1z2|2 = |z1|2 ·|z2|2 для комплексных числел z1 и z2 через вещественную и мнимую части. Грубо говоря, «произведение суммы двух квадратов на сумму двух квадратов снова является суммой двух квадратов».

Аналогичную формулу для 4 квадратов придумал Эйлер в 1748 году. В 1818 году Деген построил аналогичную формулу для 8 квадратов. Возникает вопрос о существовании таких формул для другого количества квадратов (только нужно немного уточнить ограничения). Если рассматривать сумму квадратов как квадратичную форму, то имеет смысл рассматривать формы Q такие, что Q(x)Q(y) = Q(f(x, y)), где f — некоторое отображение (скорее всего, билинейное), сопоставляющее x и y некоторый элемент f(x, y).

Определение. Пусть A — унитальная Φ-алгебра, на которой задана квадратичная форма Q. Будем говорить, что Q допускает композицию, если она нормирована Q(1) = 1 и удовлетворяет

закону композиции Q(xy) = Q(x)Q(y).

25

Иными словами, на композиционной алгебре задана квадратичная форма Q с базой c = 1.

Определение. Унитальная алгебра называется композиционной, если на ней задана невырожденная квадратичная форма Q, которая допускает композицию.

Проблема Гурвица заключается в определении всех квадратичных форм, допускающих композицию, то есть всех форм, для которых существует билинейное умножение на модуле, превращающее его в композиционную алгебру. Иными словами, проблема Гурвица сводится к описанию всех композиционных алгебр.

Изучим ряд свойств композиционных алгебр. Именно эти свойства (особенно то, что теперь известно как тождества Кирмси) около 100 лет назад спровоцировали Дж. Кирмси (того же самого) на рассмотрение алгебр с этими тождествами. Немного позднее Э. Артин и его студент М. Цорн (да, тот самый) немного упростили эти тождества и ввели понятие альтернативной алгебры.

Лемма 2.3 (о композиции). Пусть C — композиционная алгебра с квадратичной формой Q. Справедливы следующие утверждения.

1) Выполнены левая и правая формула о сопряженных:

Q(xy, z) = Q(y, xz), Q(yx, z) = Q(y, zx).

На языке сопряженных линейных операторов относительно билинейной формы это выражается как

Lx = Lx, Rx = Rx.

2) Выполнены левое и правое тождества Кирмси:

x(xy) = x(xy) = Q(x)y, (yx)x = (yx)x = Q(x)y.

На языке операторов получаем

LxLx = LxLx = Q(x)IdC = RxRx = RxRx.

3) Алгебра C альтернативна и любой элемент x C удовлетворяет тождеству второй степени, т.е. является корнем квадратного уравнения

x2 − T (x)x + Q(x)1 = 0.

26

4) Инволюция следа на C является скалярной инволюцией, которая изометрична относительно нормы Q :

x = x, xy = y x, T (x)1 = x + x, Q(x)1 = xx = xx,

1 = 1, T (x) = T (x), Q(x) = Q(x), Q(x, y) = T (xy) = T (xy).

Доказательство. 1) Линеаризуем равенство Q(xy) = Q(x)Q(y) по y:

Q(x(y + z)) − Q(xy) − Q(xz) = Q(x)Q(y + z) − Q(x)Q(y) − Q(x)Q(z).

Далее получаем

Q(xy + xz, xy + xz) − Q(xy, xy) − Q(xz, xz) =

Q(x)Q(y + z, y + z) − Q(x)Q(y, y) − Q(x)Q(z, z),

Q(xy, xz) = Q(x)Q(y, z).

Далее, линеаризуем по x (вместо новой переменной используем единицу):

Q(xy, xz) + Q(xy, z) + Q(y, xz) + Q(y, z) − Q(xy, xz) − Q(y, z) =

= Q(x + 1)Q(y, z) − Q(x)Q(y, z) − Q(1)Q(y, z).

Воспользовавшись равенством Q(x+1) = 12 Q(x+1, x+1), получаем:

Q(xy, z) + Q(y, xz) = Q(x, 1)Q(y, z) = T (x)Q(y, z) = Q(y, T (x)z).

Таким образом,

Q(xy, z) = Q(y, (T (x) − x)z) = Q(y, xz).

Правая формула о сопряженных получается аналогично.

2) По левой формуле о сопряженных и линеаризованному закону композиции получаем:

Q(z, (x(xy) − Q(x)y)) = Q(xz, xy) − Q(x)Q(z, y) = 0.

Поскольку это верно для любого z C, то в силу невырожденности формы Q получаем часть левого тождества Кирмси:

x(xy) = Q(x)y.

27

Заменив x на x, получаем

x(xy) = Q(x)y.

По свойствам инволюции следа (предложение 2.2) x = x и Q(x) = Q(x), откуда вытекает вторая часть левого тождества Кирмси.

3)Подставив y = 1 в тождество Кирмси, получаем

xx= xx = Q(x)1.

Тогда

x2 − T (x)x + Q(x)1 = (x − T (x)1)x + Q(x)1 = −xx + Q(x)1 = 0.

Для альтернативности воспользуемся тождеством Кирмси в операторной форме:

0 = LxLx − Q(x)IdC = LT (x)1−xLx − Q(x)L1 =

LT (x)x − L2x − LQ(x) = Lx2 − L2x.

Правая альтернативность доказывается аналогично.

4) Все, кроме второго, четвертого и восьмого, вытекает из определения инволюции следа и свойств инволюции следа (предложение 2.2). Четвертое вытекает из тождеств Кирмси при y = 1. Для второго равенства заметим, что по формулам о сопряженных:

Q(z, (xy − y x)) = Q((xy)z, 1) − Q(zx, y) = Q(xy, z) − Q(x, z y) = 0.

Это верно для любого z C, так что в силу невырожденности формы Q получаем

xy = y x.

Осталось доказать последнее. Подставим в левую формулу о сопряженных y = 1:

Q(x, z) = Q(1, xz) = T (xz).

По правой формуле о сопряженных аналогично получаем второе требуемое равенство. Лемма доказана.

Упражнение 2.A. Справедлива правая формула о сопряженных для композиционной алгебры.

Упражнение 2.B. Справедливо правое тождество Кирмси.

Упражнение 2.C. Справедливо тождество правой альтернативности для композиционной алгебры.

Упражнение 2.D. Справедливо “второе требуемое равенство”

Q(x, z) = T (xz).

28

2.4.Расщепляемые композиционные алгебры

Примеры композиционных алгебр над вещественными числами хорошо известны. Речь идет о вещественных и комплексных числах, кватернионах и алгебре чисел Кэли (октонионах). Последние две, возможно, читателю незнакомы, но это хороший повод с ними ознакомиться по любой научно-популярной литературе. В данном же параграфе мы рассмотрим менее классические, но не менее важные примеры расщепляемых композиционных алгебр.

Определение. Алгеброй расщепляемых унарионов называется алгебра U(Φ) = Φ с тривиальной инволюцией α = α. Тогда легко вычислить по лемме о композиции 2.3 след T (α) = 2α и норму

N(α) = α2.

Алгеброй расщепляемых бинарионов называется алгебра

B(Φ) = Φ Φ с инволюцией (α, β) = (β, α). Тогда легко вычислить след T ((α, β)) = α + β и норму N((α, β)) = αβ.

Алгеброй расщепляемых кватернионов называется алгебра Q(Φ) = M2(Φ) с симплектической инволюцией

Тогда легко вычислить след T (a) = Tr(a) = α + β и норму N(a) = det a = αβ − γδ.

Пример. Для векторов x = (α1, α2, α3), y = (β1, β2, β3) Φ3 введем обозначения:

x · y = α1β1 + α2β2 + α3β3,

x × y = (α2β3 − α3β2, α3β1 − α1β3, α1β2 − α2β1).

Эти обозначения являются формализацией скалярного и векторного произведения трехмерного пространства. Рассмотрим Φ-модуль

композиционную алгебру Zorn(Φ) на этом модуле с нормой

N(A) = αβ − x · y

29

и инволюцией

Получаем композиционную альтернативную неассоциативную алгебру. Она называется векторно-матричной алгеброй Цорна, или алгеброй расщепляемых октонионов.

Композиционность проверяется непосредственно, как и неассоциативность. Поскольку мы никогда не будем пользоваться явной конструкцией расщепляемых октонионов, то позволим себе отправить заинтересованного в сложных вычислениях читателя к профессору К. Маккриммону [1], вторая часть, параграф 2.4.

Упражнение 2.E. Алгебра расщепляемых октонионов является композиционной неассоциативной алгеброй.

2.5.Процесс Кэли — Диксона

Вещественные числа дают жизнь комплексным числам по известной схеме, причем мы добавляем новый элемент i такой, что i2 = −1. В этом параграфе мы обобщим эту схему на произвольную унитальную алгебру с инволюцией, причем мы будем добавлять новый элемент m такой, что m2 = µ, где µ Φ — обратимый скаляр. В частности, именно этот процесс позволяет не только строить новые композиционные алгебры по имеющимся, но и является единственным способом такого построения, что мы докажем через пару параграфов.

Пусть A — унитальная алгебра с инволюцией x → x над кольцом скаляров Φ, где µ Φ является обратимым. Рассмотрим прямую сумму модулей A A и зададим на ней произведение и инволюцию по правилам:

(a1, b1) · (a2, b2) := (a1a2 + µb2b1, b2a1 + b1a2),

30