Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Упражнение 17.B. Если Φ — поле, то каждый тривиальный элемент z порождает тривиальный минимальный внутренний идеал B = Φz = [z].

17.2.Степень

После введения простых элементов можно формализовать следующую ситуацию: единица представляется в виде суммы n ортогональных идемпотентов, но не представляется в виде суммы большего количества ортогональных идемпотентов.

Определение. Будем говорить, что йорданова алгебра J обладает степенью n, если она содержит единицу, которая является суммой n попарно ортогональных простых идемпотентов

1 = e1 + · · · + en, ei — простые идемпотенты.

Будем говорить, что J обладает связной степенью (строго связной степенью) n, если есть такое разложение единицы, где ei, ej связны (строго связны) для каждой пары i ̸= j. Будем говорить, что J обладает степенью, если она обладает степенью n для некоторого n > 0. Иногда будем использовать словосочетание «йорданова алгебра конечной степени», подразумевая под этим, что рассматриваемая алгебра обладает степенью.

Из теоремы о минимальных внутренних идеалах 17.2 получаем

Теорема 17.3 (о степени 1). Йорданова алгебра обладает степенью 1 тогда и только тогда, когда она является алгеброй с делением.

Упражнение 17.C. Алгебра RedSpin(q) обладает связной степенью 2 при q ̸= 0. Если q невырождена, то и RedSpin(q) невырождена.

Упражнение 17.D. Йордановы матричные алгебры Mn(∆)+, Hn(∆, Γ), где ∆ — ассоциативное тело, и Hn(C, Γ), где C — композиционная алгебра над полем, обладают связной степенью n. Эти алгебры невырождены.

Нам надо успокоить умы мечтающих об артиновых алгебрах. Обоснуем, что наличие степени — это более общее понятие, чем

191

условие минимальности. Однако для этого нужны простые идемпотенты. Наличие минимальных идеалов не тривиального типа обеспечит нас простыми идемпотентами. Таким образом, надо убедиться, что не все минимальные внутренние идеалы имеют тривиальный тип и нужное нам условие появится естественным образом. Пришла пора менять волшебную палочку на что-то посерьезнее: огненный шар под названием «невырожденность» уберет все препятствия с нашего пути.

Теорема 17.4 (о существовании степени). Если J — невырожденная йорданова алгебра с условием минимальности на внутренние идеалы, то J обладает степенью.

Доказательство. Поскольку J невырождена, то в ней нет простых внутренних идеалов тривиального типа, так что теорема 17.2 гарантирует нам существование простых идемпотентов в алгебре J. Рассмотрим множество всех идемпотентов e = e1 + · · · + en, где ei — простые ортогональные идемпотенты. Рассмотрим множество всех J0(e) — нулевых компонент пирсовских разложений. Среди них выберем минимальный внутренний идеал J0(e). Тогда J0(e) невырождена и удовлетворяет условию минимальности по предложению 9.1 о диагональной наследственности. Если J0(e) ̸= 0, то в J0(e) содержится простой идемпотент en+1 (который прост в J по предложению 9.1). По теореме 7.4 о пирсовском умножении en+1 J0(e) ортогонален всем ei J2(e), так что идемпотент

ee˜ + en+1 = e1 + · · · + en+1

является суммой ортогональных идемпотентов с меньшим пирсовским подпространством J0(˜e) = J00 < J00 J0,n+1 Jn+1,n+1 = J0(e) (здесь мы используем теорему о восстановлении пирсовского разложения 12.5 на наборе идемпотентов {e1, . . . , en+1}). Осталось заметить, что неравенство строгое, поскольку en+1 Jn+1,n+1. Это противоречит минимальности J0(e), так что J0(e) = 0. Но тогда e = 1 по теореме 9.2 о единичном идемпотенте. Теорема доказана.

Нам полезно представлять как выглядят несвязующие элементы во внедиагональных компонентах. Следующий критерий проясняет их суть.

Лемма 17.5 (критерий внедиагональной необратимости).

Пусть e1, e2 — ортогональные простые идемпотенты в J. Тогда следующие шесть условий на элемент x12 J12 эквивалентны:

192

(1) x12 необратим в J2(e1 + e2) = J11 + J12 + J22;

(2a) Ux12 J11 = 0;

(2b) Ux12 J22 = 0; (3a) q22(x12) = 0;

(3b) q11(x12) = 0;

(4) x212 = 0.

Доказательство. Поскольку x212 = q11(x12) + q22(x12), то (4) выполнено тогда и только тогда, когда выполнены одновременно (3a) и (3b). Далее, элемент x12 необратим в J2(e1 + e2) ←→ x212 = q11(x12) + q22(x12) необратим (по предложению 5.9 об обратных произведения) ←→ один из q22(x12) и q11(x12) необратим (по лемме 13.5 о диагональной обратимости) ←→ q22(x12) = 0 или q11(x12) = 0 (поскольку J11 и J22 — алгебры с делением). Таким образом, мы доказали, что (1) эквивалентно тому, что выполнено (3a) или (3b).

Пусть верно (3b). Тогда

(Ux12 J11)2 = Ux12 UJ11 x212 = Ux12 UJ11 q11(x12) = 0,

то есть Ux12 J11 = 0, поскольку в J22 нет нильпотентов. Таким образом, из (3b) вытекает (2а). В то же время, из (2а) вытекает (3a) в силу того, что q22(x12) = Ux12 e2. Таким образом, имеем цепочку (3b)→(2a)→(3a). Аналогично, получаем (3a)→(2b)→(3b), так что (2a), (2b), (3a) и (3b) попарно эквивалентны. Из доказанного выше получаем эквивалентность всех шести условий. Лемма доказана.

Упражнение 17.E. Цепочка (3a)→(2b)→(3b) выполнена.

Таким образом, внедиагональные U-операторы не любят несвязность простых идемпотентов. Настолько, что становятся тривиальными. А когда U-операторы становятся тривиальными — нужна невырожденность.

Лемма 17.6 (о простых связанных). Если e1, e2 — простые ортогональные идемпотенты в невырожденной йордановой алгебре J, то либо e1 и e2 связаны, либо J12 = Ue1,e2 J = 0.

Доказательство. Если e1 и e2 не связаны, то в J12 нет обратимых элементов. Тогда по критерию внедиагональной необратимости 17.5 qii(J12) = UJ12 Jii = 0. В силу предложения 13.4 получаем U12(J11 + J12 + J22) = 0. По теореме о пирсовском умножении 12.6 получаем U12J = 0, откуда в силу невырожденности имеем J12 = 0. Лемма доказана.

193

Мы готовы разложить задачу на кирпичики. Докажем, что степень складывается из связных степеней. Разумеется, в невырожденном случае.

Теорема 17.7 (о связной степени). Невырожденная йорданова алгебра J конечной степени распадается в прямую сумму J = J1 · · · Jn конечного числа невырожденных идеалов Jk, имеющих связную степень.

Доказательство. Имеем 1 = e1 + · · · + en, где ei — простые ортогональные идемпотенты. В силу леммы 13.7 отношение "быть связными" на идемпотентах e1, . . . , en является отношением эквивалентности на множестве индексов {1, . . . , n}: i j тогда и только тогда, когда i = j или i ̸= j и ei, ej связаны. Рассмотрим классы

P

эквивалентности K и положим fK = {ei|i K}. Тогда при K ̸= L

В силу теоремы 7.4 о пирсовском умножении это разложение на прямую сумму пирсовских подалгебр JK = UfK J с единицей fK и связной степенью. Теорема доказана.

Есть разумное желание уточнить структуру этих невырожденных идеалов со связной степенью. Впрочем, все очень просто. В том смысле, что все они простые.

Теорема 17.8 (о простой алгебре конечной степени). Невырожденная йорданова алгебра конечной степени проста в том и только том случае, когда степень связна.

Доказательство. Если J проста, то в разложении в предыдущей теореме может быть только одно слагаемое, так что степень связна. Обратно, пусть степень связна. Пусть K — ненулевой идеал в J, а идемпотенты ei и ej связаны с помощью vij Jij. Тогда по следствию 12.3 о пирсовской наследственности получаем пир-

по предложению 13.4 о q-свойствах. Но Kii = K ∩ Jii — это идеал в

194

алгебре с делением Jii, так что Kii = Jii и при j ̸= i получаем K

Итак, мы убедились, что построение структурной теории разумно делать над невырожденными алгебрами — именно в них содержится естественный аналог полупростоты. Последняя теорема на этом языке утверждает, что «полупростая» йорданова алгебра является прямой суммой простых. Осталось разобраться с простыми невырожденными алгебрами. На самом деле любая простая алгебра невырожденна, но, по всей видимости, у этого факта нет ни одного доказательства сравнительно небольшого объема.

195

Глава 18.

Теорема Херстейна — Клейнфелда — Осборна

Из координатизационной теоремы Джекобсона мы уже знаем, что было бы здорово описать альтернативные алгебры с ядерной инволюцией. Однако чуть позже мы выясним, что в случае простых невырожденных йордановых алгебр появится еще и условие невырожденности координат.

18.1.Теорема Артина

Мы пока не умеем работать с альтернативными алгебрами. Нам нужно что-то в духе теоремы Макдональда и теоремы Ширшова — Кона. Сперва получим вспомогательное тождество, которое так очевидно (в смысле «легко доказывается»), что абсолютно неочевидно (в смысле «сложно догадаться»).

Предложение 18.1 (равенство Тейхмюллера). В любой алгебре выполнено тождество:

(xy, z, w) − (x, yz, w) + (x, y, zw) = (x, y, z)w + x(y, z, w).

Доказательство заключается в раскрытии всех ассоциаторов в обеих частях равенства.

Упражнение 18.A. В любой алгебре выполнено тождество Тейхмюллера.

196

Докажем, что альтернативные алгебры очень близки к ассоциативным. На самом деле, если мы ограничимся двумя порождающими, то все ассоциативно.

Теорема 18.2 (теорема Артина). Алгебра A альтернативна тогда и только тогда, когда каждая ее двупорожденная подалгебра ассоциативна.

Доказательство. Пусть каждая двупорожденная подалгебра в

Aассоциативна. Если x, y A, то подалгебра Φ[x, y], порожденная x и y, ассоциативна, откуда (x, x, y) = (x, y, y) = 0, то есть алгебра

Aальтернативна.

Пусть теперь алгебра A альтернативна и x, y A. Нам надо доказать, что

(p(x, y), q(x, y), r(x, y)) = 0

для любых неассоциативных многочленов p, q, r от двух переменных. В силу линейности ассоциатора можно считать, что p, q, r — это мономы. Докажем это равенство индукцией по

n = deg p + deg q + deg r,

где степень deg f определяется как количество вхождений всех переменных в моном f.

Для n = 0, 1, 2 все очевидно: в этих случаях по принципу Дирихле один из мономов должен быть тривиальным, то есть равным 1. Для n = 3 все вытекает из тождеств левой/правой альтернативности и тождества эластичности.

Далее считаем, что равенство верно при степени меньшей, чем n. Можно считать, что степени p, q и r ненулевые. Тогда степень каждого из p, q и r меньше, чем n, так что мы можем переставить скобки внутри p, q и r любым способом по предположению индукции.

Хотим доказать следующий принцип: ассоциатор (p, q, r) зануляется, если один из аргументов начинается с переменной x или y, а другой заканчивается на ту же переменную.

С учетом кососимметричности ассоциатора и в силу симметрии переменных x и y без ограничения общности можно считать, что p начинается на x, а r заканчивается на x. Тогда ассоциатор пред-

197

ставляется в виде

(p, q, r) = (xp′, q, r′x) = ((xp′)q)(r′x) − (xp′)(q(r′x)) = = (x(p′q))(r′x) − (xp′)((qr′)x) =

x((p′q)r′)x − x(p′(qr′))x = x(p′, q, r′)x = 0.

Предпоследнее равенство вытекает из центрального тождества Муфанг.

Итак, принцип доказан. Воспользуемся им. Допустим, (p, q, r) ̸= 0. Тогда все p, q, r должны начинаться на одинаковую переменную, и заканчиваться на другую одинаковую переменную. В силу симметрии можно считать, что все p, q, r начинаются на x и заканчиваются на y. Тогда, если p = xp′, то по тождеству Тейхмюллера

(p, q, r) = (xp′, q, r) = (x, p′q, r) − (x, p′, qr) + (x, p′, q)r + x(p′, q, r).

Последние два ассоциатора равны нулю по предположению индукции, а первые два — по принципу. Теорема доказана.

Теорема Макдональда утверждает, что тождества от трех переменных, линейные по одной из них, перетекают из ассоциативных алгебр в йордановы. В случае альтернативных алгебр невозможно ожидать тождеств третьей степени, но тождества второй степени переносятся непосредственно с помощью теоремы Артина.

Следствие 18.3 (аналог теоремы Макдональда). Пусть некоторое тождество от двух переменных выполнено во всех ассоциативных алгебрах. Тогда оно выполнено и во всех альтернативных алгебрах.

Упражнение 18.B. Теорема Макдональда утверждает, что любое тождество ассоциативных алгебр от 3 переменных, линейное по одной из них, выполняется и во всех йордановых алгебрах. Не найдется ли тождества ассоциативных алгебр от 3 переменных, линейного по какой-нибудь из них, выполняющегося не во всех альтернативных алгебрах?

Упражнение 18.C. Пусть A — альтернативная алгебра и (x, y, z) = 0, где x, y, z A. Тогда подалгебра в A, порожденная элементами x, y, z, ассоциативна.

198

18.2.Алгебры с центральной инволюцией

Ядерная нецентральная инволюция — это даже звучит странно. Поэтому давайте сперва разберемся с менее странным случаем. Изучим свойства альтернативных алгебр с центральной инволюцией. Но начнем с общих свойств ядер альтернативных алгебр.

Лемма 18.4 (об альтернативном ядре). Пусть D — альтернативная алгебра с ядром N = N(D), n, m N(D), x, y, z D. Тогда:

(1)n(x, y, z) = (nx, y, z) = (xn, y, z),

(3)[n, x]x N, [n, x](x, y, z) = 0,

(4)[n, m]x N, [n, m](x, y, z) = 0.

Если B — подалгебра и [B, D] B N, то для любых b, c B

(5a) [b, c]x B, [b, x]x B.

(5b) Кроме того, если для элемента b [B, B] существует b−1 D, то D = B и D ассоциативна.

Доказательство. 1) В силу предложения 3.17 остается доказать, что n(x, y, z) = (xn, y, z). Но в самом деле,

(xn, y, z) = ((xn)y)z − (xn)(yz) = (x(ny))z − (x(n(yz))) =

=(x(ny))z − (x((ny)z)) = (x, ny, z) = n(x, y, z).

2)Из (1) получаем ([n, x], y, z) = 0, откуда [n, x] N.

[n, x](x, y, z) = 0 в силу (1) и (2). Таким образом, оба пункта в

(3) эквивалентны. Докажем второе:

[n, x](x, y, z) = nx(y, z, x) − xn(y, z, x) = n(x, y, zx) − x(ny, z, x) =

199

=(x, ny, zx) − x(x, ny, z) = 0.

4)Линеаризуем (3) по x:

[n, m]x + [n, x]x = c N,

откуда в силу (3) [n, m]x = c − [n, x]x N. Линеаризуем второе равенство в (3):

[n, m](x, y, z) + (n, x)(m, y, z) = 0, [n, m](x, y, z) = 0.

5a) Поскольку b, c N, то

[b, c]x = (bc)x−(cb)x = b(cx)−(cx)b+c(xb)−c(bx) = [b, cx]−c[b, x] B,

2[b, x]x = ([b, x]x + x[b, x]) + ([b, x]x − x[b, x]) = [b, x2] + [[b, x], x] B.

5b) Пусть b = [a, c]. Тогда по левому тождеству Муфанг

D = 1D = (bb−2b)D = b(b−2(bD)) bD = [a, c]D B.

Таким образом, B = D и D ассоциативна. Лемма доказана.

Упражнение 18.D. В альтернативной алгебре A для n N(A), x, y, z A выполнено

(nx, y, z) = (xn, y, z) = (x, ny, z) = (x, yn, z) = (x, y, nz) = (x, y, zn).

Определение. Пусть A — алгебра с инволюцией . Тогда ее-центром называется пересечение центра с множеством эрмитовых элементов. Легко видеть, что -центр является кольцом скаляров.

Теперь имеет смысл внимательнее изучить альтернативные алгебры с центральной инволюцией.

Теорема 18.5 (о центральной инволюции). В каждой унитальной альтернативной алгебре с центральной инволюцией норма n(x) = xx и след t(x) = x + x лежат в -центре и удовлетворяют следующим свойствам:

200