Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

(a, b) = (a, −b).

Обозначим m := (0, 1) и будем отождествлять a A c (a, 0) (поскольку A 0 изоморфна алгебре A). Тогда (0, b) = (b, 0) · (0, 1) = bm Am, так что (a, b) = a + bm. Таким образом, мы получаем алгебру

KD(A, µ) = A Am,

(a1 b1m) · (a2 b2m) = (a1a2 + µb2b1) (b2a1 + b1a2)m, (a bm) = a − bm.

Определение. Алгебра KD(A, µ) называется алгеброй, полученной применением процесса Кэли — Диксона к алгебре A. Легко проверяется, что — это инволюция на алгебре KD(A, µ). С одной стороны,

((a1, b1) · (a2, b2)) = (a1a2 + µb2b1, −b2a1 − b1a2) =

= (a2 a1 + µb1b2, −b2a1 − b1a2).

С другой стороны,

(a2, b2) ·(a1, b1) = (a2, −b2)·(a1, −b1) = (a2 a1 +µb1b2, −b2a1 −b1a2).

Если научимся перемножать элементы A и Am как между собой, так и внутри друг друга, то дальше умножение продолжится по линейности. Оказывается, это сделать совсем не сложно.

Предложение 2.4 (правила умножения Кэли — Диксона).

В алгебре KD(A, µ) выполнены следующие соотношения:

Доказательство. Все равенства вытекают из определения процесса Кэли — Диксона. Предложение доказано.

Упражнение 2.F. В алгебре KD(A, µ) выполнены соотношения (KD1)–(KD4).

Теперь мы готовы доказать теорему, описывающую свойства алгебр, построенных с помощью процесса Кэли — Диксона. Тождества

31

на этих алгебрах постепенно ослабляются (от ассоциативности и коммутативности до альтернативности), а след с нормой легко пересчитываются через старые.

Теорема 2.5 (о наследовании Кэли — Диксона). Пусть A

— алгебра с центральной инволюцией. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Инволюция на KD(A, µ) всегда нетривиальная. Если исходная инволюция была скалярной со следом a + a = t(a) и нормой aa = n(a)1, то на алгебре KD(A, µ) инволюция является скалярной со следующими следом и нормой:

T (a bm) = t(a), N(a bm) = n(a) − µn(b).

2)KD(A, µ) коммутативна тогда и только тогда, когда A коммутативна с тривиальной инволюцией.

3)KD(A, µ) ассоциативна тогда и только тогда, когда A ассоциативна и коммутативна.

4)KD(A, µ) альтернативна тогда и только тогда, когда A ассоциативна.

Доказательство. 1) Инволюция на KD(A, µ) меняет знак в Am, так что является нетривиальной. Пусть инволюция на A скалярна. Тогда a = t(a)1−a коммутирует с a и n(a) = aa = aa. Таким образом, новый след имеет вид

(a bm) + (a bm) = (a + a) 0 = t(a)1.

Новая норма по правилам Кэли — Диксона 2.4 имеет вид:

(a bm)(a bm) = (a bm)(a (−b)m) =

=(aa − µbb) (−ba + ba)m = (n(a) − µn(b))1.

2)Пусть KD(A, µ) коммутативна. Тогда A коммутативна, как

ееподалгебра. Кроме того, am = ma, так что

0 = am − ma = ma − ma = (a − a)m = (0, a − a),

откуда a = a для любого a A.

Обратно, пусть A коммутативна с тривиальной инволюцией. То-

гда

(a1, b1) · (a2, b2) := (a1a2 + µb1b2, a1b2 + a2b1),

32

что в силу коммутативности A, очевидно, равно (a2, b2) · (a1, b1).

3) Пусть KD(A, µ) ассоциативна. Тогда A ассоциативна, как ее подалгебра. Кроме того,

0 = (a, b, m) = (ab)m − a(bm) = (ab − ba)m = (0, ab − ba),

откуда ab = ba для любых a, b A.

Обратно, пусть A ассоциативна и коммутативна. Тогда

((a1 + b1m)(a2 + b2m))(a3 + b3m) =

=((a1a2 + µb2b1) + (b2a1 + b1a2)m)(a3 + b3m) =

=(a1a2a3 + µa3b1b2 + µa1b2b3 + µa2b1b3)+

+(a1a2b3 + µb1b2b3 + a1a3b2 + a2 a3b1)m.

Вто же время

(a1 + b1m)((a2 + b2m)(a3 + b3m)) =

=(a1 + b1m)((a2a3 + µb3b2) + (b3a2 + b2a3)m) =

=(a1a2a3 + µa1b2b3 + µa2b1b3 + µa3b2b1)+

+(a1a2b3 + a1a3b2 + a2 a3b1 + µb1b2b3)m.

4)Пусть KD(A, µ) альтернативна. Тогда

0 = (c, am, b) + (am, c, b) = ((ac)b − (ab)c + (ac)b − a(cb))m =

= ((at(c)1)b − (a, b, c) − a(bt(c)1))m = −(a, b, c)m,

откуда (a, b, c) = 0 для всех a, b, c A.

Обратная проверка — упражнение. Теорема доказана.

Упражнение 2.G. Если A ассоциативна, то KD(A, µ) альтернативна.

Несложно заметить, что после третьего применения процесса Кэли — Диксона к полю мы всегда получаем неассоциативную алгебру. Но тогда четвертое применение процесса дает алгебру, которая не альтернативна по только что доказанному, так что по лемме 2.3 она не является композиционной. Таким образом, мы можем рассчитывать только на трехкратное применение этого процесса с целью получения композиционной алгебры.

33

2.6.Теорема Гурвица

Решение проблемы Гурвица состоит в следующем. Допустим, мы знаем, что процесс Кэли — Диксона, примененный к собственной подалгебре композиционной алгебры, снова дает ее подалгебру. Тогда мы берем базовое поле и действуем на него процессом Кэли — Диксона, пока не получим всю алгебру. Теперь пора доказать, что это «допустим» является верным утверждением.

Теорема 2.6. (необходимые условия Джекобсона). Пусть

A — собственная конечномерная унитальная подалгебра композиционной алгебры C над полем Φ, такая что норма N невырождена на A. Тогда существуют элементы m A с нормой N(m) = −µ ̸= 0 и для каждого такого элемента A + Am является подалгеброй в C, изоморфной алгебре KD(A, µ), причем изоморфизм сохраняет норму N.

Доказательство. Квадратичная форма N невырождена, если невырождена соответствующая ей билинейная форма N(x, y) = N(x + y) − N(x) − N(y). Поскольку N — это невырожденная билинейная форма на конечномерном пространстве A, то существует разложение C = A A , причем A ̸= 0. Тогда по невырожденно-

сти

0 ̸= N(A , C) = N(A , A A ) = N(A , A ),

так что N не тождественно нулевая на A . По определению, тогда и соответствующая квадратичная форма тоже ненулевая на A . Пусть m A такой, что N(m) = −µ ̸= 0. Докажем, что пространство K = A + Am имеет вид KD(A, µ).

По левой формуле о сопряженных (лемма 2.3 о композиции)

N(am, A) = N(m, aA) N(m, A) = 0.

Таким образом, Am A и A ∩ Am = 0. Итак, K = A Am. Тогда

N(a + bm) = N(a) + N(a, bm) + N(b)N(m) = N(a) − µN(b),

T (am) = N(1, am) N(A, Am) = 0.

Таким образом, норма и след (а значит, и инволюция) совпадают в

K и KD(A, µ):

N(a + bm) = N(a) − µN(b), a + bm = a − bm.

34

Осталось доказать, что произведения в K и KD(A, µ) совпадают. Для этого достаточно проверить правила умножения Кэли– Диксона 2.4. Поскольку m = −m, то

m2 = −mm = −N(m)1 = µ1.

Тогда

µba − (am)(bm) = b(am2) + (am)(bm) = b((am)m) + (am)(bm).

Линеаризованное левое тождество Кирмси 2.3 дает

N(x, z)y = x(zy) + z(xy),

откуда

µba − (am)(bm) = N(b, am)m = 0,

поскольку Am A . Итак, (KD4) доказано. Далее, линеаризованное правое тождество Кирмси 2.3 дает yN(x, z) = (yx)z + (yz)x. Тогда

(ab)m − (am)b = (ab)m + (am)b = aN(b, m) = 0.

Итак, (KD3) доказано. Далее,

a(bm) − (ba)m = −a(bm) + (ba)m =

= −(1a)(bm)−(1(bm))a+(bm)a+(ba)m = −1N(a, bm)+bN(a, m) = 0,

что дает (KD2). Осталось заметить, что (KD1) вытекает из

ma = −m a = −am = am.

Теорема доказана.

Как уже упоминалось выше, трехкратно примененный процесс Кэли–Диксона всегда дает неассоциативную алгебру. В связи со всем вышесказанным осталось лишь разобраться с техническими деталями.

Теорема 2.7 (теорема Гурвица). Любая композиционная алгебра C над полем Φ имеет размерность 1, 2, 4 или 8 и является одной из алгебр из следующего списка:

1) основное поле C0 = Φ1 — ассоциативная и коммутативная алгебра с тривиальной инволюцией;

35

2)бинарионы C1 = KD(C0, µ1) — ассоциативная и коммутативная алгебра с нетривиальной инволюцией;

3)кватернионы C2 = KD(C1, µ2) — ассоциативная и некоммутативная алгебра;

4)октонионы C3 = KD(C2, µ3) — альтернативная неассоциативная и некоммутативная алгебра.

Доказательство. Рассмотрим подалгебру C0 = Φ1 алгебры C. Если C0 C, то C0 — собственная унитальная конечномерная подалгебра с невырожденной на ней нормой. По необходимым условиям Джекобсона 2.6 существует элемент i C такой, что N(C0, i) = 0, причем N(i) = −µ1 ̸= 0 и в C есть двумерная подалгебра C1 = KD(C0, µ1). По теореме 2.5 о наследовании Кэли — Диксона эта алгебра ассоциативна и коммутативна, но инволюция

на ней нетривиальна.

Если C1 C, то C1 — собственная унитальная конечномерная подалгебра с невырожденной на ней нормой. Тогда мы можем выбрать элемент j C, j C1, такой что N(j) = −µ2 ̸= 0 и в C есть четырехмерная подалгебра C2 = KD(C1, µ2). По теореме 2.5 эта алгебра ассоциативна, но некоммутативна.

Если C2 C, то C2 — собственная унитальная конечномерная подалгебра с невырожденной на ней нормой. Тогда мы можем выбрать элемент k C, k C2, такой что N(k) = −µ3 ̸= 0 и в C есть восьмимерная подалгебра C3 = KD(C2, µ3). По теореме 2.5 эта алгебра альтернативна, но неассоциативна.

Если C3 C, то C3 — собственная унитальная конечномерная подалгебра с невырожденной на ней нормой. Тогда мы можем выбрать элемент m C, m C3, такой что N(m) = −µ4 ̸= 0 и в C есть шестнадцатимерная подалгебра C4 = KD(C3, µ4). По теореме 2.5 эта алгебра не является альтернативной. Это означает, по лемме 2.3, что она не допускает композиции, откуда и алгебра C не допускает композиции. Противоречие, теорема доказана.

Упражнение 2.H. Над полем вещественных чисел квадра-

тичная форма

n(x) = x21 + x22 + x23 − x24

не допускает композиции.

Упражнение 2.I. Определить с точностью до эквивалентности все невырожденные квадратичные формы над полем вещественных чисел, допускающие композицию.

36

В частности, мы решили проблему Гурвица: не существует квадратичных форм, допускающих композицию, за исключением размерностей 1, 2, 4 и 8. Впрочем, этот вывод — лишь жалкий бонус по сравнению с самой теоремой. Мы уже убедились, что композиционные алгебры — это важный объект. Тем не менее, мы описали все композиционные алгебры без каких-либо ограничений на размерность, условий конечности и прочих странных ограничений. Это одна из немногих классификационных теорем, не требующая дополнительных ограничений.

37

Глава 3.

Йордановы алгебры

Построенная в предыдущей главе теория композиционных алгебр полезна, в частности, для построения и изучения примеров йордановых алгебр. Теперь у нас достаточно материала, чтобы ввести ключевой объект в нашем изложении.

3.1.Определение йордановой алгебры

Многие представители нематематических наук вроде физики или информатики, а также некоторые математики искренне убеждены, что очень сложно запомнить определения алгебраических систем, задаваемые тождествами (даже такое простое понятие, как группа, вызывает непреодолимые трудности). К счастью, если читатель взялся за это пособие, то он готов к подобному уровню абстракции.

Определение. Пусть Φ — кольцо скаляров. Тогда линейная алгебра J над Φ с умножением x ◦ y называется йордановой алгеброй, если умножение коммутативно:

[x, y] = 0,

и удовлетворяет тождеству Йордана:

(x2, y, x) = 0.

38

На языке операторов это можно переписать следующим образом:

Lx = Rx,

[Lx2 , Lx] = 0.

Всюду далее J — йорданова алгебра

Определение. Из произведения x ◦ y выводятся следующие

вспомогательные операции:

Uxy := 2x ◦ (x ◦ y) − x2 ◦ y,

{x, y, z} := Ux,zy := (Ux+z − Ux − Uz)y =

= 2(x ◦ (z ◦ y) + z ◦ (x ◦ y) − (x ◦ z) ◦ y),

На языке операторов это переписывается следующим образом:

Ux = 2L2x − Lx2 , Ux,z = {x, ·, z} = Ux+z − Ux − Uz, Vx = {x, ·} = 2Lx.

Если алгебра J унитальна, то справедливо:

Ux1 = x2, U1y = y, {x, 1} = 2x, {x, y, 1} = {x, 1, y} = {x, y}.

Таким образом, у нас есть квадратичные U-операторы, скобочное произведение, или скобка, тройное произведение, или тройная скобка.

Все перечисленные вспомогательные операции устойчивы относительно действия гомоморфизма. Алгебры и идеалы замкнуты относительно вспомогательных операций.

Тождество Йордана имеет третью степень по одной из переменных. Для наглядности покажем, какие тождества четвертой степени (квадратичные или линейные по своим переменным) из него вытекают. Заодно это выступит полезным для читателя примером частичной и полной линеаризации тождеств степени выше двойки по одной из переменных (линеаризации подробно разобраны в первой главе в [4]).

Предложение 3.1 (линеаризация и унитальная замкнутость). 1) В любой йордановой алгебре J выполнены тождества:

(x2, y, z) + 2(x ◦ z, y, x) = 0,

39

(x ◦ z, y, w) + (z ◦ w, y, x) + (w ◦ x, y, z) = 0.

2) Унитальное расширение йордановой алгебры является йордановым.

Доказательство. 1) Заменим в тождестве Йордана x на x+λz, где λ Φ, z J. Получим

(x2 + 2λx ◦ z + λ2z2, y, x + λz) = 0.

Вычтем из этого равенства (x2, y, x) и λ3(z2, y, z), которые равны нулю в силу тождества Йордана:

λ[2(x ◦ z, y, x) + (x2, y, z)] + λ2[(z2, y, x) + 2(x ◦ z, y, z)] = 0.

Если обозначить f(x, y, z) = 2(x◦z, y, x)+(x2, y, z), то мы получили

λf(x, y, z) + λ2f(z, y, x) = 0.

Возьмем λ1 = 1, λ2 = −1 и вычтем из первого второе. Получим 2f(x, y, z) = 0, откуда вытекает f(x, y, z) = 0, и первое тождество доказано.

Линеаризуем f(x, y, z): справедливы равенства

f(x + λw, y, z) − f(x, y, z) − λ2f(w, y, z) = 0,

λ[(2x ◦ w, y, z) + 2(w ◦ z, y, x) + 2(x ◦ z, y, w)] = 0.

При λ = 12 получаем второе тождество.

ˆˆ

2)Пусть xˆ = x + α1, yˆ = y + β1 — элементы из Jb. Тогда

(ˆx2, y,ˆ xˆ) = (x2 + 2αx, y, x),

ˆ

поскольку 1 лежит в ядре Jb. Продолжим равенство:

(x2 + 2αx, y, x) = (x2, y, x) + 2α(x, y, x) = 2α(x, y, x).

Однако в любой коммутативной алгебре выполнено тождество эластичности: (x, y, x) = 0. Таким образом, алгебра Jbйорданова. Предложение доказано.

Упражнение 3.A. В любой коммутативной или антикоммутативной алгебре выполнено тождество эластичности (x, y, x) = 0. В частности, оно выполнено в йордановых алгебрах.

40