Йордановы алгебры классическая теория. Учебное пособие

Порождающие σ(b[11])Γ алгебры D соответствуют левым умножениям Lb и D соответствует LB. Тогда a[12]Γ является циклическим порождающим для J1 тогда и только тогда, когда Ba[12]Γ = A[12]Γ, т.е. Ba = A. Очевидно, это верно, если A = B и a обратим слева, так как ba = 1 влечет

Ba = Aa Aba = A1 = A.

Обратно, Ba = A влечет ba = 1 для некоторого b B, так что

A = Ba = Ba1 = Baab BH(A)B B

и B = A. Предложение доказано.

Теперь нужны условия на строгость такого фрейма.

Предложение 11.2 (о строгом циклическом эрмитовом фрейме). Если a обратим, то {1[11]Γ, a[12]Γ, γ2−1[22]Γ} является циклическим 2-фреймом. Такой фрейм является строгим тогда и только тогда, когда γ2 является нормой обратимого элемента в

A :

γ2−1 = aa.

В частности, если A симметрично порождена и γ2 = 1, то стандартный 2-фрейм {1[11], 1[12], 1[22]} является строгим циклическим 2-фреймом для H2(A).

Доказательство. По предложению 6.7

a[12]2Γ = aγ2a[11]Γ + aa[22]Γ.

Поэтому

1 = 1[11]Γ + γ2−1[22]Γ

тогда и только тогда, когда aa = γ2−1 и aγ2a = 1. Таким образом, a и a обратимы. Обратно, если a обратим и aa = γ2−1, то aaγ2 = 1 влечет aγ2a = 1. Предложение доказано.

Упражнение 11.A. Скрученная алгебра H2(A, Γ), где A = R с тривиальной инволюцией и γ2 = −1 не содержит строгого циклического 2-фрейма.

Мы еще не разучились создавать инволюции, подбирая правильный изотоп. Фрейм все еще может быть превращен в строгий. Осталось убедиться, что при правильной изотопии мы сможем сохранить циклическое условие Пирса.

141

Лемма 11.3 (о цикличности диагональных изотопов).

Диагональные изотопы наследуют циклическое условие Пирса: если {e2, y1, e0} — это циклический фрейм для J, то любой диагональный изотоп J(u) содержит циклический фрейм (u = u2 + u0)

{e(2u) = u−2 1, y1(u) = y1, e(0u) = u−0 1}.

Доказательство. По лемме о диагональных изотопах 9.6 в любом диагональном изотопе J(u) элементы e(2u) и e(0u) являются дополнительными идемпотентами с тем же пирсовским разложени-

ем. Далее, σ(a2)(u) = σ(a2)σ(u2) D влечет D(u) D. Обратно,

σ(a2) = (σ(a2)σ(u2))(σ(u−2 2σ(u2))) D(u) влечет D D(u). Тем самым, D = D(u) и J1 = D(y) циклический в J1 тогда и только тогда,

когда J1(u) = D(u)(y) циклический в J(u). Лемма доказана.

Нам следует более подробно изучить строгие циклические фреймы. Сейчас мы зададим отображение, которое позволит определить координаты алгебры.

Лемма 11.4 (о координатном отображении). Пусть

{e2, v1, e0} — строгий циклический 2-фрейм. Тогда для всех эле-

ментов ak J2, σ(a) = Va|J1 относительно инволюции a = Uv1 (a) имеем следующие соотношения:

1)σ(a1) . . . σ(an)(v1) = σ(an) . . . σ(a1)(v1);

2)J1 = D2(v1) = D0(v1) циклический как левый J2 или J0-модуль,

где Di — это подалгебра в EndΦ(J1), порожденная σ(Ji);

3)d D определяется его значением на v1: d(v1) = 0 → d = 0;

4)ψ(d) = d(v1) определяет Φ-линейную биекцию ψ : D → J1.

Доказательство. По предложению 9.3 об инволюции связи инволюция a → a переставляет e0 и e2, а значит и диагональные пирсовские подпространства. Докажем первый пункт индукцией по n. Для элементов a1, . . . , an+1 J2 получаем (в силу предложения 9.5 о множестве неподвижных точек связи и предложения о пирсовской ассоциативности 8.4)

σ(a1) . . . σ(an+1)(v) = σ(a1) . . . σ(an)σ(an+1)(v) =

=σ(an+1)σ(a1) . . . σ(an)(v) = σ(an+1)σ(an) . . . σ(a1)(v).

Вчастности, отсюда вытекает второй пункт (D2(v) = D0(v)). Третий и четвертый пункты остаются в качестве упражнения. Лемма доказана.

142

Упражнение 11.B. Справедливы третий и четвертый пункты предыдущей леммы. Они выводятся из пирсовской ассоциативности.

На координатной алгебре можно задать инволюцию, которая просто меняет порядок применения специализаций. Построим ее и изучим.

Лемма 11.5 (об обратной инволюции). Пусть {e2, v1, e0} —

строгий циклический 2-фрейм. Тогда на координатной алгебре D

можно задать обратную инволюцию ρ :

(σ(a1) . . . σ(an))ρ = σ(an) . . . σ(a1),

которая взаимодействует с координатным отображением ψ следующим образом:

1)dρ(v1) = d(v1), ψ(dρ) = ψ(d);

2)q2(d(v1), c(v1)) = t2(cdρ(v1)) = t2(ψ(cdρ));

3)d + dρ = σ(t2(d(v1))) = σ(t2(ψ(d)));

4)ddρ = σ(q2(d(v1))) = σ(q2(ψ(d)));

5)H(D, ρ) = σ(J2).

Доказательство. Обратимость ψ из леммы 11.4 позволяет нам использовать следующую запись на D:

ρ = ψ−1 ◦ ◦ ψ.

Тогда первое соотношение проверяется непосредственно. Заметим, что

ψ((σ(a1) . . . σ(an))ρ) = ψ(σ(a1) . . . σ(an))(v) = σ(an . . . σ(a1))(v) =

= σ(an) . . . σ(a1)(v) = ψ(σ(an) . . . σ(a1)).

Таким образом, ρ является инволюцией на D.

Докажем второе соотношение. Достаточно проверить это утверждение на мономах d = σ(a1) . . . σ(an):

q2(d(v), c(v)) = q2(σ(an) . . . σ(a1), c(v)) = q2(v, σ(a1) . . . σ(an)c(v)).

Последнее равенство верно по предложению 8.7, которое было применено несколько раз. Далее, по пирсовской ассоциативности 8.4

q2(v, σ(a1) . . . σ(an)c(v)) =

=q2(v, cσ(a1) . . . σ(an)(v)) = q2(v, cσ(an) . . . σ(a1)(v)) =

=q2(v, cdρ(v)) = t2(cdρ(v)).

143

Докажем третье соотношение. Используем предложение 9.5:

d(v) + dρ(v) = d(v) + d(v) = σ(t2(d(v)))(v).

Докажем четвертое соотношение для мономов d = σ(a1) . . . σ(an). Используем правила q-композиции 8.7:

σ(q2(d(v))) = σ(Ua1 Ua2 . . . Uan q2(v)) =

= σ(a1) . . . σ(an)1σ(an) . . . σ(a1) = ddρ.

Последнее равенство верно в силу пирсовской специализации 8.1 и

σ(q2(v)) = 1.

Докажем четвертое соотношение для сумм мономов:

σ(q2(d(v), c(v))) = σ(t2(cdρ(v))) = cdρ + (cdρ)ρ = cdρ + dcρ.

Осталось доказать пятое соотношение. Если dρ = d, то

d= 12(d + dρ) = 12σ(t2(d(v))) σ(J2)

всилу третьего соотношения. В обратную сторону — упражнение. Лемма доказана.

Упражнение 11.C. Справедливо обратное включение σ(J2)

H(D, ρ).

11.2.Координатизация эрмитовой 2 × 2 матричной алгебры

Как обычно, начинаем со строгого случая.

Теорема 11.6 (строгая 2 × 2 эрмитова координатизация).

Йорданова алгебра J содержит строгий циклический 2-фрейм {e2, v1, e0}, v12 = e2 + e0 = 1, J1 = D(v1) тогда и только тогда, когда она изоморфна алгебре 2 × 2 матриц со стандартным фрей-

мом и симметрично порожденной координатной алгеброй. Более точно, отображение

φ : a2 d(v1) b0 → σ(a2)[11] + d[12] + σ(b0)[22]

144

является изоморфизмом φ : J → H2(D, ρ), переводящим данный циклический 2-фрейм {e2, v1, e0} в стандартный циклический 2- фрейм {1[11], 1[12], 1[22]}. Координатное отображение σ, координатная инволюция ρ и координатная алгебра D определяются следующим образом:

σ(a2) = Va2 |J1 , dρ(v1) = Uv1 (d(v1−1)),

D = σ(J2) EndΦ(J1).

Доказательство. По лемме 11.4 каждый x J может быть единственным образом записан в виде

x = a2 d(v) b0.

По теореме 7.4 о пирсовском умножении, пирсовской ассоциативности 8.4 и лемме 11.4 получаем

x2 = [a22 + q2(d(v))] [2(a2 + b0) ◦ d(v)] [b20 + q0(d(v))] =

= [a22 + q2(d(v))] [σ(a2)d(v) + dσ(b0)(v)] [b20 + q0(d(v))] = = [a22 + q2(d(v))] [σ(a2)d + dσ(b0)](v) [b20 + q0(d(v))].

Таким образом,

φ(x2) =

=σ(a22 + q2(d(v)))[11] + (σ(a2)d + dσ(b0))[12] + σ(b20 + q0(d(v)))[22].

Сдругой стороны,

φ(x)2 = (σ(a2)[11] + d[12] + σ(b0)[22])2 =

= (σ(a2)2 + ddρ)[11] + (σ(a2)d + dσ(b0))[12] + (σ(b0)2 + dρd)[22].

Легко видеть, что φ(x2) = φ(x)2.

Докажем, что φ — это биекция на каждом пирсовском подпространстве. С одной стороны, в силу леммы о пирсовской инъективности 8.2 и леммы 11.5 φ биективно отображает J2 в H2(D, ρ)[11] и биективно отображает J0 в H2(D, ρ)[22]. С другой стороны, в силу леммы 11.4 φ биективно отображает J1 в D[12]. Таким образом, φ биективно.

145

В то же время, по предложению 11.2 алгебра H2(A) содержит строгий циклический 2-фрейм для каждой симметрически порожденной алгебры A. Теорема доказана.

Упражнение 11.D. Равенство φ(x2) = φ(x)2 действительно выполняется.

Упражнение 11.E. Отображение φ действительно переводит 2-фрейм {e2, v1, e0} в стандартный.

Кажется, читателя забыли предупредить, что изотопия скоро снова понадобится. Но он же все предусмотрел и не убрал далеко волшебную палочку?

Теорема 11.7 (эрмитова 2×2 координатизация). Йорданова алгебра J содержит циклический 2-фрейм {e2, v1, e0}, v12 = v2 + v0 для обратимых vi в Ji, J1 = D(v1) тогда и только тогда, когда J изоморфна скрученной эрмитовой 2 × 2 матричной алгебре со стандартным фреймом и симметрически порожденной координатной алгеброй.

Доказательство. По лемме о диагональных изотопах 9.6 для

−1 ˜ (u)

u = e2 + v0 диагональный изотоп J = J имеет то же пирсовское

˜

разложение, что и J. Кроме того, J удовлетворяет циклическому условию Пирса (в силу леммы 11.3). Однако, 2-фрейм в изотопе

Теорема доказана.

146

Глава 12.

Пирсовское разложение для нескольких идемпотентов

Мы больше не можем позволить себе ограничиваться знанием о существовании одного нетривиального идемпотента. Чтобы добраться до эрмитовых матриц произвольного порядка, нам нужно целое семейство диагональных матричных единиц.

В этой главе мы будем переносить результаты главы 7 на случай нескольких идемпотентов. Это требует некоторых однообразных действий. Многие утверждения останутся в качестве упражнения, поскольку они доказываются аналогично схожим утверждениям из главы 7.

На протяжении главы мы фиксируем ортогональное семейство идемпотентов E = {e1, . . . , en} в йордановой алгебре J:

e2i = ei, ei ◦ ej = 0 (i ̸= j).

Мы будем рассматривать полное множество из n + 1 попарно ортогональных идемпотентов в унитальной обертывающей Jb, добавляя элемент

147

12.1.Умножение пирсовских компонент

Терминология по пирсовским проекциям не меняется. Разве что оператор Пирса нам нужен сразу.

Определение. Пирсовскими проекциями Eij = Eji в J, определенными ортогональным множеством идемпотентов E, называются линейные преобразования J, определяемые для i, j = 0, 1, . . . , n следующим образом:

Eii = Uei , Eij = Uei,ej = Eji (i ̸= j).

Заметим, что для индексов i, j ̸= 0 проекция Eij определяется только с помощью ei и ej.

Определение. Для произвольного (n + 1)-кортежа скаляров t = (t0, t1, . . . , tn) Φn+1 определим оператор Пирса E(t) как линейное преобразование J, заданное U-оператором элемента e(t) =

Pn

i=0 tiei Jb:

Тот факт, что гомоморфность оператора Пирса остается, абсолютно не очевиден. Придется это доказывать.

Предложение 12.1 (об операторе Пирса). Отображение

E : Φn+1 → EndΦ(J), определенное по правилу E : t → E(t), является гомоморфизмом:

Доказательство. Как и в случае с двумя идемпотентами, можно считать, что J = Jb. Все суммирования будут вестись от 0 до n. Легко видеть, что

k l

148

Если {i, j} не содержит {k, l}, то положим e = ei +ej (или e = ei, если i = j). Тогда ei, ej J2(e) и один из ek, el попадает в J0(e). Но тогда

UJ2 UJ0,J J UJ2 (J0 + J1) = 0

в силу теоремы 7.4 о пирсовском умножении.

Аналогично, если {i, j} не содержится в {k, l}, то EijEkl = 0. Если {i, j} = {k, l}, то

X

EijEkl = EijEij = Eij Ers = EijidJ = Eij.

r,s

Предложение доказано.

Упражнение 12.A. Случай {i, j} не содержится в {k, l} приводит к равенству EijEkl = 0.

Ряд следующих доказательств опущен, поскольку они полностью дублируют соответствующие доказательства из главы 7. Однако в некоторых из этих доказательств активно использовалась гомоморфность оператора Пирса (особенно о пирсовских корневых подпространствах), которая была очевидна при n = 1. Для произвольного n она доказана выше.

Аналогично теореме 7.1, мы получаем

Теорема 12.2 (пирсовское разложение). Справедливо

0 i≤j≤n

В частности, если Jij = Eij(J), то

J = i≤jJij.

Аналогично следствию 7.2, мы получаем

Следствие 12.3 (пирсовская наследственость). Если K —

идеал в J или K — подалгебра в J, содержащая E, то

K = i≤jKij = i≤jEij(K) = i≤j(K ∩ Jij).

Аналогично предложению 7.3, мы получаем

149

Предложение 12.4 (о пирсовских корневых подпространствах). Пирсовское подпространство Jij совпадает с пересечением J и корневого подпространства в J[T ] оператора Пирса E(t) относительно собственного значения titj, где J[T ] = J[t0, t1, . . . , tn]. То же самое справедливо для операторов Ve относительно собственного значения 1 (или 2, если i = j) :

Jij = {x J | E(t)x = titjx},

Jij = J1(ei) ∩ J1(ej) = {x J | Vei (x) = Vej (x) = x} (i ̸= j),

Jii = J2(ei) = {x J | Vei (x) = 2x}.

Упражнение 12.B. Теорема о пирсовском разложении, следствие о пирсовской наследственности и предложение о пирсовских корневых подпространствах справедливы для случая нескольких идемпотентов.

Результаты глав 8–9 переносятся проще, если заметить, что один идемпотент и сумма остальных образуют полную систему из двух ортогональных идемпотентов. Осталось понять, как связаны соответствующие пирсовские разложения: для двух идемпотентов и для ситуации, когда один из них разложен на сумму.

Теорема 12.5 (о восстановлении пирсовского разложения). 1) Пирсовское разложение J относительно идемпотента ei

150