книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf461
выполнение которого в достаточно широком диапазоне изме нения концентрации включений р требует повышенной точ
ности построения корреляционной функции 'Р (|х|) (см.§7.4). Рассмотрим теперь случай, когда идентичные включения
образуют регулярную решетку в пространстве. Свойства функ ции Ф(Х) в случае регулярных композитов обсуждались в §5.6, откуда следует, что эта функция является периодической с нулевым средним значением на ячейке периодичности. Иск лючение составляет ячейка с центром в нуле, где функция
Ф(Х) равна единице. Поэтому интеграл в множителе / равен объему ячейки периодичности
(9.3.5)
Отсюда и из (9.3.3) следует, что уL~yr=0. Это соответст вует известному факту отсутствия затухания длинных волн на периодической решетке неоднородностей.
В заключение отметим, что точность полученных здесь формул для скоростей распространения упругих волн совпада ет с точностью вычисления эффективных упругих постоянных композитных материалов в рамках метода эффективного поля. Область применимости формул для эффективных упругих мо дулей обсуждалась в главах V и VI путем сравнения с резуль татами экспериментов и точными решениями. Следует отме тить, что экспериментальные данные по измерению коэффи циентов затухания упругих волн в композитных материалах в литературе практически отсутствуют. Поэтому столь же де тально проанализировать область применимости формул для
уL и утне представляется возможным. Однако можно утвер ждать, что при малой концентрации включений (с точностью до членов порядка р) эти формулы являются точными, а для регулярных структур приводят к правильным результатам - отсутствию затухания длинных волн при их распространении через композитную среду.
Действительно, если концентрация включений столь мала, что их взаимодействием можно пренебречь, то в выражениях (9.3.3) следует отбросить члены, имеющие порядок выше, чем р. При этом формулы (9.3.3) переходят в следующие
464
e'afi{X) = eap{X) + \\^apXf,{X- X')TXfipT{x,X')epXx,) +
+<o2^ {ag^x{ x - x ,)tXft{x,x')ufl{x')]dx'. |
(9.4.7) |
Обозначим теперь символом <|x,m> осреднение по ансам блю реализаций случайного множества включений при усло вии, что точка X находится на срединной поверхности диска, имеющего ориентацию т. Выражения для средних значений эффективных полей
(9.4.8)
в которых находится включение с ориентацией т9 получим, осреднив обе стороны уравнений (9.4.6) и (9.4.7) при указан ных условиях. Переходя к безындексной форме записи, будем иметь
U*{x,m) = и (х) + |
*'>"*) + |
+a2g { x - x ,)(t(xtx,)u {x ,)\xix,tTi}jfa,t |
(9-4.9) |
$*{x,ni) = £°(дс) + J[K (X - х')(7Т(х,х')£*(х')|дс,дс',т) +
+a2&efg{x - x')(t{x,x')u { х ' ) \ х , х ' , (9.4.10)
\x',x,m> обозначена операция осреднения при
условии xeQ (m ), xeQ . Это условное среднее в общем случае
отличается от <-|х,т> и уравнения (9.4.9) и (9.4.10) оказыва ются незамкнутыми. Для их замыкания, как и ранее, восполь зуемся квазикристаллической аппроксимацией, в силу кото
рой <-|x',x,m>=<-|x,m>. В результате получаем следующую систему уравнений:
U*(x,m) = w°(x) + J[Vg-(x - х ')( г (х ,х ') £*(x')|*>WI) +
466
U{x) = u°(x) + f [Vg(x - х')Г*(х') + a>2g(x - x')t* (x'^Vhc',
(9.4.14)
fi(x) - s°(x) - J[K (X - х')Т\х') - (v2defg(x - x')t*(x')]dx’,
U(x) = (u{x)), £{x) = (s(x)). |
(9.4.15) |
Исключив с помощью этих соотношений падающее поле из уравнений (9.4.11) и (9.4.12) с учетом (9.4.13), найдем
uXx,m)=U{x)-\\yg{x-x')T(x')+(o2g{x-x')t\x')\<bm(x-x')dx\
0(х, т)=$(x)+J[к(х-х07^(х')+йгМеГ£(х-х')7Х*0]Фт(*_*0^ '»
Фт(х) = \-'¥т{х). |
(9.4.16) |
Фигурирующая в этих выражениях функция Фт (Х) - не прерывная функция, быстро стремящаяся к нулю вне области порядка характерных размеров корреляционной ямы. Это по зволяет в длинноволновом приближении пренебречь измене
нием полей U*(x,m) и 0 (х,т) этой области. Заметим, что это предположение эквивалентно замене экспоненты под зна ком инте1ралов в формулах (9.1.20) единицей. Правда, как это следует из предыдущего, учет дополнительных (кроме едини цы) слагаемых в (9.1.21) приводит к тому, что эквивалентная среда обладает пространственной дисперсией. Последняя от ветственна за возникновение в среде быстро затухающих волн, которые во многих случаях можно не учитывать. Таким образом, отказ от учета изменения эффективных полей в об ласти корреляционной ямы равносилен отказу от распростра нения в дальнейшем волн такого типа уже на этом этапе вы вода выражения для эффективного волнового оператора.
Итак, в силу указанного предположения Т*(х) и /*(Х) в (9.4.16) можно вынести за знаки интегралов и уравнения (9.4.16) переходят в следующие:
U*{x,rn) = U {x)-G mT*(x)-co2gJ*{x),
(9.4.17)
0{x,m ) = £(х) - A j\ x ) - 1o2G / {x ),
468
где величины vA и vX осредняются по ансамблевым распре делениям размеров и ориентаций включений. Аналогично оп
ределяются и средние <t(x)gm(x)> , <Т(х)Ат(х)>.
Разрешая уравнения (9.4.19) относительно t\x) и Т {х ) с
той же, что и выше, степенью точности, получим |
|
||
<:(*) = |
М . |
£ М = Ч * А , ( * ) . |
(9.4.21) |
где обозначено |
|
|
|
dap —по {pRSap+ ico рар) , PR —(vph), |
|
||
Pip = ((VV A) - |
(vPhJm)(vPh) )# 2 , |
(9.4.22) |
|
D = n0(c R-ico^C®), CR=D °(v\°), D° = (l+ n 0(v\°Asm))~\
C-=D-[(vA-)-«.((vA*4:)+(vAV1,)^)c*]>
авеличина ph определена в (8.3.77).
Обратимся теперь к уравнению (9.4.14) и после подстанов ки в его правую часть выражений (9.4.21) перепишем его сле дующим образом:
и°(х) = U(x)~ ffV g(x-x')D f(x') + a 2g (x - x ,)d[/(x,)'ld!x'.
(9.4.23) Применив аналогично предыдущему к обеим сторонам
этого уравнения оператор L° = VC°V + <у2/?0, найдем, что среднее поле смещений в среде со случайным множеством тонких эллипсоидальных неоднородностей удовлетворяет вол новому уравнению
(*) + 032pJ Jx(х) = 0 , |
(9.4.24) |
в котором тензор "динамических" упругих модулей С*и инер
ционная характеристика р определяются выражениями
С = С - ia>\C° , С = С + njCR, |
(9.4.25) |
Рар = PsSap+i^noplp, A = A +n0pR.
469
Статические части этих величин по-прежнему характери зуют скорость распространения упругих волн, а мнимые - за тухание волн вследствие рассеяния. Рассмотрим эти эффекты более подробно для некоторых частных случаев.
1°. Изотропная среда с трещиноподобнымидефектами. Рас смотрим изотропную среду со случайным множеством тонких трещиноподобных дефектов эллипсоидальной формы. Будем считать, что плотность материала, заполняющего включения,
сравнима с плотностью основной среды (р,/р о~(9(1)), так что
величина ph будет порядка <5, и ею можно пренебречь по сра
внению с единицей. Тогда р^ =pcSap, а тензор С*определен
формулами (9.4.25) и (9.4.22), в которые следует подставить
величины Л° и Л*" из (8.3.54) и (8.3.56).
Рассмотрим сначала включения, хаотически ориентирован ные в пространстве. Будем считать, что функция, определяю щая форму корреляционной ямы, сферически симметрична
(Фи(х)=Ф и(|*|)). Тогда тензор Asm совпадает с тензором А° из (8.2.22), а формулы (9.4.22) и (9.4.5) принимают вид
CR=D °(vЛ°), Сш= (v2CR{a],a2)HCR{al,a2))-n 0JC RHCR,
£ > Ч /+ и.( уЛ-)л -)‘ ', С” (а„ аг)=Л -(я„а2)В-, У = (| ф ,(И Ц .
(9.4.26) При равномерном распределении множества включений по
ориентациям тензор <vA°>=<vC°nAnC°> будет изотропным:
(v A V ,) = М Л +2r X l* * “ Н А . ) •<9-4-27»
Входящие сюда величины kp и рр известным образом вы
ражаются через линейные инварианты тензора vC°nAnC °
* , = i ( v ( c
VP -То (c°nAnC°)afiaf} " I1 (C°nAnC°)