книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

531

При этом Р -базис состоит из шести четырехвалентных тензоров, которые определяются выражениями

P<ifiXft = @а(Х @(1)Р > ^сфХц ~ ^ctfi^Xft > ^afiXft = ^ а / ПХГПц > ( П 1 .1 . 8 )

где матрицы а и а~х имеют следующую структуру

(П1.1.10)

Шесть тензоров Р' также образуют замкнутую алгебру от­ носительно операции умножения (П1.1.2). Таблица умноже­ ния этих тензоров имеет вид

(П1.1.11)

532

Заметим, что тензор Р х- Р 2/2 ортогонален всем элемен­ там базиса Р', за исключением Рх, т.е.

Рх(р х- \ Р 2) = {р х- \ Р 2)р х = (р х- \ Р 2), Р‘ (РХ- \ Р 2) =

= (р х- \ р 2)р = 0, i * i , (р х- \ р 2)(р х- \ р 2)= (р х- \ Р 2).

(П1.1.12) Очевидно, что линейные оболочки Е и Р -базисов совпа­

дают.

Пусть тензор А в Р -базисе имеет вид

А = а,Р2 +а2(р х- \ Р 2)+ а3Ръ +а4Р4 +а5Р5 +а6Р\

(П1.1.13)

где а( (/ =1,2,...,6) - скалярные коэффициенты. Тогда обрат­

ный тензор А~х (АА~Х=А~ХА -Е х) определяется соотношени­ ем

^ -Р * + — Р5+ ^ - Р 6,

Пусть тензоры А и В представлены в Р -базисе аналогич­ но (П 1.1.13). Произведение этих тензоров АВ (свертка по двум индексам) определяется соотношением, которое следует из (П1.1.11) и (П1.1.12)

АВ = {2а,Ъ, +а3Ь4)Р2 +a2b2(p x- \ Р2)+ {2а,Ъ3 +а3Ь6)Р3+

3°. в-базис. Пусть 6^ - проектор на плоскость, ортогональ­ ную вектору т (П1.1.7), а п - единичный вектор, лежащий в этой плоскости (т-п=0). Определим элементы 0-базиса соот­ ношениями

533

4°. R -базис. Этот базис составлен из следующих пяти тензо­ ров:

Кр* = W * A ^ , К2фхм= тат^ПхтИ> Крх» = ™а™РхП» ,

где п и т - ортогональные единичные векторы. Свертка тен­ зоров этого базиса по двум индексам характеризуется следую­ щей таблицей

(П1.1.19)

534

5* Формулы осреднениядля элементов Е,Р,$ и R -базисов.

При решении задачи осреднения стохастически неоднородной среды возникает необходимость вычисления средних по еди­ ничной сфере или единичной окружности от элементов вве­ денных выше базисов. Приведем значения соответствующих

интегралов по единичной сфере Q ,:

(Е') = Е\ (Ег)= Е \ (Е'(п)) = (Е‘ (п)) = \Е\

( £ ’ (»)) = 1 £ ‘ > ( £ '(» ) ) = п ( 2 £ '+ £ 2),

(P*(l»)) = j-Jf'tm Jd n ., / = 1,2, ,6, (П1.1.21)

{P ' M ) = M e * +1E')- (^ W ) = - ft ( £l +3£ ! ).

(Р г(т)) = (Р*{т)) = £ (2 Е 2-Е '),

(/•!(ш)) = ^ £ ' - $ Е г), (р‘ (т)) = ^(2Е ' + £ ! ).

Элементы в и R-базисов осредним по вектору И, лежаще­ му в плоскости, ортогональной вектору т. Указанные сред­

ние, которые равны интегралам по единичной окружности /, в этой плоскости, следующим образом выражаются через эле­ менты Р -базиса:

(в{т,п)) = ^-\в{т,п)с11п, i = 1,2,...,6, (П1.1.22)

I h

(&{т,п)) = Рх{т), (&{т,п)) = Р2{т), (&(т,п)) = \ Р 2{т),

(&(т,п))=^Р2(т), (0(m,n))=ipiW , (&(п))=\{Р2(т)+2Рх(т)\

536

В = &.Р1+63Р 3 +Ь4Р4 +65Р5 + г>6р б,

где , Z). - скалярные коэффициенты, определяется соотношением

+(«4*i +а6Ь4)Р* +\аъЬъРь+{а4Ь3 +а6Ь6)Р6.

Отсюда следует выражение для обратного тензора А

Связь между элементами Е и Р -базисов в двумерном слу­ чае определяется следующим образом:

1е '=Р1+2Р5+Р6, е 2=р '+р 3+р 4+р \

\е 3=р 3+р 6, е *=р *+р \ E S=P 5+P 6} E 6=P \ (П11-29)

1>! = Е '-2 Е 5+Е\ Р3 = Е3- Е \

(Е5{п)) = $Е\ {Е6{п)) = $(2Е' +Е 2),