книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

401

по малым параметрам задачи S0и <5,. В длинноволновом при­

ближении главные члены разложения поля иа(х), как это следует из (9.2.9) и (8.2.10), имеют вид

так же, как и в § 4.2, пренебрегать изменением полей е(°\х )

и £^(х) по сечению волокна (е(°\х)= е(о)( z ), £(3)(х)= е(3)( z ))

и, выполнив в (8.2.11) и (8.2.12) интегрирование по попереч­ ным сечениям S ( z ), приходим к уравнениям на оси z

Здесь обозначено

Перейдем к построению формальных выражений для глав­ ных членов искомой асимптотики исходя из этих уравнений. Воспользуемся для этой цели явным видом ядра интегрально­ го оператора в (8.4.3) и (8.4.4), полученным в § 4.2.

) = 2 - J е~шМ~!)к:Ф,( * „ е ) л , ■ (8-4.6)

Здесь функция К°(кг,(£) в Р(т)~ базисе определяется вы­ ражением

403

Здесь обозначено

a f {£) - функция формы включения.

Если перейти к новым неизвестным функциям гЛ(£”) и

(£) с помощью формул

(8.4.12)

то уравнения (8.4.9) и (8.4.10) можно переписать в форме

(8.4.13)

(8.4.14) Будем считать, что материал волокон трансверсально изо­

тропен с осью симметрии, совпадающей с геометрической осью волокна. В системе координат, введенной ранее, тензор упругих модулей включения можно представить в виде

С = 2тРх+{к-т)Р2 + /( р 3 + Р 4) + 4//Р 5 +пР6. (8.4.15)

Здесь /лит- модули продольного и поперечного сдвига,

к - объёмный модуль при плоской деформации, П - модуль продольного одноосного удлинения, / - соответствующий ему поперечный модуль - пять независимых упругих модулей трансверсально изотропной среды.

Отметим важное для дальнейшего свойство произведения тензоров СХР\ которое в том же базисе Р(т) имеет вид

404

(3.2.4)), найдем, что для включения, жесткость которого суще­ ственно выше жесткости основной среды, справедливы оцен­ ки

а формула (8.4.16) с точностью до членов порядка 50 перехо­

дит в следующую

(8.4.18)

где Е и v - продольные модуль Юнга и коэффициент Пуас­ сона волокна.

Отсюда следует, что вид уравнений (8.4.13) и (8.4.14) и ха­ рактер их общего решения зависит от соотношения между ма­

лыми параметрами Sa и Sx. При этом возможны следующие случаи:

a) Sr’S fln S ^ oC l). В этом случае имеем

Действуя на обе части первого из этих равенств операто­

рами П и 0 , получим

Ч т ( 0 = Е е т ( 0 , Ч т = т ат 1 }(*н )< ф , r Rg = ® T R , £°т = т аТ П ^ ,

чио

Таким образом, главный член разложения функции т(£) в

рад по малым параметрам задачи представляется в форме

id =МдАд, Ад=ш-<«?ь’(д. (8-4.34)

где скалярные функции Лк(£) и Л1(£) для рассматриваемых

форм волокон определяются приведенными выше соотноше­ ниями (8.4.29), (8.4.31) и (8.4.33).

Вычислим теперь главный член асимптотики полей сме­

щений и деформаций вне включения. Поскольку Vg(x) и

&(;с) в интегральных уравнениях (8.2.4) при x~eV- гладкие ограниченные функции, то на расстояниях от оси волокна, существенно превышающих его поперечный размер, в длин­ новолновом приближении имеем

где т(х) представляет собой медленно изменяющуюся часть главного члена асимптотики поля Cle(z) внутри включения и имеет вид (8.4.34). Как показано в § 4.2, для цилиндрического и веретенообразного волокна эти выражения должны быть до­ полнены функциями типа пограничного слоя, локализован­ ными в окрестности концов волокна или ребер его внешней

поверхности (изломов функции а (£")). Эти добавки сущест­ венны при анализе детальной картины распределения упругих полей в окрестности включения. Однако в схеме эффективно­ го поля нас будут интересовать лишь интегральные характери­ стики упругих полей внутри волокна, в которые функции типа пограничного слоя дают пренебрежимо малый вклад.

410

Здесь и далее фурье-образы функций обозначены той же буквой с заменой аргумента х3 на параметр преобразования

Фурье кЪУоператор дифференцирования V а следует понимать в смысле

та- орт оси х3, а ядро К (у ,к ъ) интегрального оператора свя­ зано со вторыми производными от фурье-образа тензора Гри­ на

g « , M = T y \ x ° f № ~ i,dk - к =*(*,Л).<8-5-«)

\2п)

соотношением

где gafi(k) - преобразование Фурье динамического тензора

Грина gap(x) по всем переменным. Для изотропной среды

функция gap{k) имеет вид

Если длина волны падающего поля Я существенно больше радиуса волокна а, то носитель функции и°(к)- фурье-образа поля и°(х)- сосредоточен в области, определенной условием