411
|£|а«1. В силу дисперсионных соотношений для основной
среды из этого неравенства следует, что pqa~a/X « 1 (q=
=a,ft). Это позволяет, решая уравнения (8.6.3) и (8.6.4) в длинноволновом приближении, учитывать лишь главные чле ны разложения решения в асимптотические ряды по малому параметру задачи 6=а/Х. При этом, имея в виду дальнейшее применение полученных результатов для одного волокна в методе эффективного поля, будем учитывать зависимость от (О и в действительных частях приближенных значений волно вых полей. Это позволит описать особенности дисперсии уп ругих волн в средах, армированных однонаправленными воло кнами, которая в отличие от неоднородностей конечных раз меров может быть значительной и в том случае, когда длина внешней волны существенно больше диаметра волокна.
Для построения приближенного решения уравнений (8.5.3) и (8.5.4) начнем с предположения о том, что изменением по лей и(у,кг) и £(у,к3) в области S можно пренебречь. В ре
зультате можем записать |
|
|
|
иа{у,кз) = иа {у, къ) + |
(у, кг)С\мрт£р>гСуЛ ) + |
+Pi&tGafi(y,k3)ufi{y,k3), |
(8.5.9) |
есф{у>К ) = ё ^ у , къ) + Аа/ЗХр{у, кг)С\рртерт{у, кг) + |
+Pi |
СуЛ )млСуЛ ), |
(8.5.10) |
где обозначено |
|
|
|
AafixM(у, К ) = |
V (pGX)(a {у, кг) , |
(8.5.11) |
а функция Gap(y,k3) представляет собой результат воздейст
вия интегрального оператора с ядром gap(y-y',кг) на посто
янную. Явный вид этой функции удобно найти с помощью представления
412
f e- * y dy |
= ^ j ( \ k \ a ) , |
(8.5.13) |
J |
У |
|*| VI I /* |
|
где Jv(z) - функция Бесселя, запишем сначала результат ин тегрирования в (8.5.12) по полярному углу в к - плоскости.
G jy A ) = - ^ т { < 5 ^ £ С в,у,а) + klmamp[S0{q,y,a)Ye + А®
+Д (^з (таУр+ трУа)+ J [ 5 i(я,У,«)]“ - nanp[S2 {q,y, а)]“}.
(8.5.14)
Здесь обозначено:
О * = 8 аР ~ т ат р » п а = ^ :. [ / ( ? ) ] “ = / ( « ) “ / О Й ,
Sn{q,y,a) =J------- ' S-2' V (и = 0,1,2). (8.5.15)
к-Р,
Спомощью соотношений
S.(q,y,a) = -K- ^?1*к.(|*|н)л(|*|дН*1
дя\ к 1 - p i
-jW M H W H aH *!
о
I |
^ 2 f/(H W )/(H «)|^№ | |
413
<??1* к ( 1* И ) - Ф 1аИ *1 |
(8 5 16) |
<*>!
интегралы (8.5.14) сводятся к стандартным, которые вычис ляются следующим образом
1л(МмМ|*|«И*1 Ка ) *
1*к(|Ф 1К (1% Н *1
л (-(р,Ы)к я(-//?,«),
P + (e + ip q)
(8.5.17)
где I„(z) и К n(z)- модифицированные функции Бесселя пер
вого и второго рода.
В результате получим
о > л ) = ^ |
^г(£(9,У,<*Н) |
Pfi |
А |
+ ( i k 3 {т а У р + т еУ а))Оофсф )
где обозначено
^ F }{q ,y ,a ) |
yayp[Fl(<I,y,a)]l •, |
Pq |
|
|
(8.5.18) |
yzS, (8.5.19)
a H^\z) - функция Ханкеля первого рода. Остальные тензо
ры, входящие в уравнения (8.5.9) и (8.5.10), определяются с помощью соотношений
4 1 4
V p K (p M ) = ikime K {p q\y\) - PqypFL { p qм)• (8-5-20)
Разложим теперь функции Бесселя в полученных форму лах в асимптотические ряды при малом значении аргумента. Учитывая лишь главные члены этих разложений [131]
(8.5.21) уравнения (8.5.9) и (8.5.10) можно переписать в виде
и« ( у Л ) = и « ( М з) - — й ^ С у Л ) - |
(8.5.22) |
А |
|
ik
^ GLM+ A°axVMy vjClMptepT{y,k3) ,
Sa(ky>кз) ~ £сф{У>къ) ~ (AafiX/j ~ АарХц + |
(8.5.23) |
+ik3BafiiMvyv)c[Mptepz{y, кг)- ik, — G^afi)uM{y,k3) .
|
Р о |
Здесь обозначено: |
|
|
а |
|
+ mamfi |
|
Р |
ОД, |
+ |
|
а |
+WA j [ Л рЧ)\ + т ат хт „ |
|
415
A t |
|
? daXA&vXP + 8a)amp)m(J3 |
кA |
|
A® |
2 f t f { p p ) |
|
IVA |
|
Pp ) |
+ )к т ат р К |
+ |
+ ^ma)m(X вц)(р)к1 [f(p q)Г + |
|
|
а |
|
а |
сфкц T2-/W |
+тат^пхтм 4 / W |
|
Рч |
\Р |
L Рч |
\ |
PtafiX, = в а А м |
+ в«Ав,Р + в а А р > |
(8-5-24) |
|
/ |
у |
|
|
f ( p q) = |
(1п(|а |л) -»argV*3 - ft ), (8-5.25) |
1a/U/i |
/ |
|
Л |
|
2A |
|
> ^сфХр |
^(fialXfx) > |
|
|
4wo |
|
BafiXMV2jy [m(a^PxAf,)V+m(.X^MxAp)v |
(8.5.26) |
= К + A , A = К + 2 A •
Уравнения (8.5.22) и (8.5.23) представляют собой систему уравнений для определения амплитуд полей смещений и де формаций внутри волокна с учетом малости параметра 8. При этом в действительных частях получающихся равенств главными по этому параметру являются члены, имеющие по
рядок 82In 8, а в мнимых - 82.
Прежде, чем решать эту систему с указанной точностью, обратим внимание на следующую особенность ее коэффици ентов. Допустим, что в среде распространяется плоская волна
416
с волновой нормалью, образующей угол у/ с осью волокна.
Тогда в тензорных коэффициентах уравнений (8.5.22) и (8.5.23) появляются компоненты, содержащие множители
ln(oasin у/) для продольной (к3- а cosy/) и In {Ра sin у/) для
поперечной (къ=рcosy/) волн. Отсюда следует, что при у/->0
эти компоненты неотраниченно возрастают, а амплитуды вол новых полей внутри волокна стремятся к нулю. Это означает, что стационарный длинноволновый процесс не реализуется при распространении плоской волны вдоль волокна. Для того, чтобы иметь возможность в дальнейшем рассматривать случай у/=0, поступим следующим образом. При обращении тензо ров в процессе приближенного решения системы уравнений (8.5.22) и (8.5.23) будем считать действительные части функ ций от частоты в коэффициентах этих уравнений (именно они содержат логарифмы) произвольными (т.е. не малыми) вели чинами. А их очевидную малость при всех значениях у/ вне малой окрестности нуля можно будет учесть в каждом кон кретном случае.
С учетом сделанных замечаний и малости величин pqa (q=a,p) в мнимых частях коэффициентов уравнений (8.5.22)
и (8.5.23) получим
««СУЛ) = ***£ (М з)- |
Л LiiM+ Пархму \ \ ц (.УЛ )» |
|
|
|
|
\Роа> |
|
) |
|
£<ф(уЛг) = ( Л« |
^ |
+ |
|
(у, къ) - |
ik/apxux(у, к3). |
Здесь обозначено |
|
|
|
|
(8.5.27) |
|
|
|
|
|
|
Xafi = Pal\ |
— |
|
Рсф = |
п |
V |
|
Ро |
|
|
|
V |
р° |
|
|
|
|
Tf |
- |
п Crf |
С х Р |
|
Г |
= А° |
С х Р |
|
^офХ |
|
г ар^рт\г^Tvaca1 сг&рХ » |
^арХц |
^avpd^vScno1 асаХр > |
Р = (l + АС') \ A = P(l-iAJC'P), A = AS- A r,
|
|
|
|
417 |
> ^ = ^ -Р ф ,,а ^ р „, N сфХрр, |
= Р |
Я |
С1 |
Р |
afiSv^Svcrcap асоту |
туХр • |
г о |
|
|
|
|
|
|
|
(8.5.28) |
Входящие в эти выражения тензоры / |
и / |
получаются из |
формул для gf и Af в (8.5.24), в которых функции / |
(pq) (q= |
-а,Р) следует заменить на (pqa)21п(|р?|л)/2 , а тензоры g1 и
А1 получаются аналогичной заменой в (8.5.24) функций f (pq)
на (рча)2 ях%4к1~д2 fa.
Вернемся теперь к исходным уравнениям (8.5.3) и (8.5.4). Подставив в них выражения (8.5.27), в символической форме можем записать
Ли - |
ik,TLf +L°y |
\ |
|
е - VgC'\{\+iKNy)e -ik,Lf u ]~ |
~Px<o2g Ли° - ( гк |
2 |
Lf + L°y е = и + А1 > (8.5.29) |
|
1а <у2 |
J |
(\+ik3Ny)ea-ik / u |
-YLCx[{A+ik3Ny)e - i k / u ] - |
[ lk\ lf+ L °y \ e |
= S°+A2 > (8.5.30) |
IA © |
J |
J |
где А, и A2 - невязки, возникающие вследствие приближен ности выражений (8.5.27). Для компенсации этих невязок к выражениям для и и е необходимо добавить слагаемые и' и е1так, чтобы удовлетворялись уравнения
и1 - V gC V - p x(o2gux= А ,,
(8.5.31)
ех- КС1s' - p^co2d&igux= А2 .
418
Если слагаемыми и1 и ехможно пренебречь по сравнению с (8.5.27), то эти функции являются главными членами разло жения решения уравнений (8.5.3) и (8.5.4) в ряды по парамет ру 8 . В противном случае к (8.5.27) необходимо добавить гла
вные члены разложения функций м1 и г 1.
Для подсчета величин А, и Д2, как это следует из уравне ний (8.5.29) и (8.5.30), необходимо к уже полученной формуле (8.5.18) подсчитать результат действия оператора с ядром
g(y,k3) на линейную функцию. Аналогично предыдущему имеем
0'ф (у,к,) = - L - J |
|
y ^ ' d y ’ = |
(8.5.32) |
|
|
\2п) |
|
s |
|
1г ь< ^ -?т |
— Fx(/vM ) - 1 A klmamxm -ik3(ma0Xft+mxвам))х |
Р *® I |
Рр |
Рр |
J |
|
|
|
|
|
(*кз(таухум+тхуаум)- |
|
|
|
а |
|
а ' |
+вахУм+ваМУ*+вАмУа) jiF l( p M ) |
-У аУ хУ М Л - ^ |
U H ) |
|
|
Рч |
Jfi |
Рч |
J |
с теми же обозначениями, что и в (8.5.18).
Используя выражения (8.5.18) и (8.5.32) и пренебрегая из менением внешних полей и°(у,к3) и е°(у,к3) в области S,
найдем, что главный член невязки А, имеет порядок мень
ший, чем 82\п8 в действительной и 82 в мнимой его частях.
То же можно утверждать и о функции и1, которой с принятой точностью можно пренебречь по сравнению с величиной и, определенной первой из формул (8.5.27). Что касается невяз
419
ки Д2, то ее главный член асимптотики имеет порядок S и определяется выражением
^ с ф ~ ^ Т ^ с ф Х р р У р £ Х р \У Л ) > ^ сф Х ра= { ^afipr ^аррхаа ) ^ pxSy^SyXpa >
|
АХ |
|
К |
\ |
(8.5.33) |
|
|
|
|
^а)(Л @p')(Jpr , |
@сфХррг |
|
^ фХррт |
|
|
\ |
Ш° |
У |
|
|
^сфХррг ^сф^Хррт |
^aX ^fippr |
^ар^Хррг |
^ар^Хррг |
^ afix fip p * |
Главным членом асимптотики решения второго из уравне ний (8.5.31) будет
= ^ъР'арХррМхраурУг^ |
, |
(8-5.34) |
р 1 |
( Т Ск , |
А 1 |
С * |
\~1 |
Г сфХррт |
х1 сфХр^рт' |
* ±сфспорг^'сгсаХр) |
Добавка этого выражения к |
|
в (8.5.27) приводит к сле |
дующей формуле для поля деформаций внутри волокна:
e j y , k з) = (ЛсфХр + i h K ^ ^ e ) e ° x tl{ y , k z ) - i k J afSX{ y , k i ) ,
§ 8.6. Полное сечение рассеяния включений различной формы
Как следует из предыдущего, неоднородность на пути рас пространяющихся в среде упругих волн порождает рассеянное поле, вместе с которым часть энергии падающей волны рас сеивается в разные стороны. Физической величиной, характе ризующей эффективность этого процесса, является так назы ваемое сечение рассеяния. Существует несколько типов таких характеристик. Сосредоточим внимание на одной из них - полном сечении рассеяния. Начнем с вывода общего выраже ния для полного сечения рассеяния неоднородности произ вольной формы и ограниченного объема в изотропной среде.
420
Будем исходить из уравнения (8.2.1)
»«(*)= < ( х ) +J |
- x O C l r 'i x 'M x ') * ' + |
V |
|
|
+<°2\ ё Л х -х ')р х{х')и1{х')<1х', |
(8.6.1) |
V
в котором плотность и модули упругости включения в общем случае являются функциями координат (неоднородное вклю
чение), а тензор Грина g^iX) для изотропной среды имеет
вид
|
0 = 4 ЯР'О)1 |
а- |
\ е“М |
] а } |
(8.6.2) |
|
И |
т |
\р\ |
|
|
Из уравнения (8.6.1) следует, что поле, рассеянное неод нородностью, определяется выражением
< {х ) = j[V MgaX{x -x ')C lX/tpT(x,)epT{x')+ (8.6.3)
V
+<»2gaX{ x - x ,)p,{x,)ux{x•)\bc^.
Используя асимптотические формулы при X 'G V, х — » оо
|
|
~|*Г , |
|х - х '|~ |х |- (/ 1 - х '), |
п = х/\х\, (8.6.4) |
V |
V |
V |
пу п |
...п е- iqnx' |
|
Г1 |
Гг*• УГт |
\Х — X |
У1 У2 |
Ут |
величину рассеянного поля usa(X) на большом расстоянии от
включения (приближение дальней зоны) можно представить в форме
и* |
/ 4<?iaW |
/ 4ei/W |
(8.6.5) |
А а{п )-гт + Ва(п)- п г |
|
|
X |
|
