книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf481
Воспользуемся вновь формулами для волновых чисел двух упругих волн (продольной и поперечной), распространяющих ся вдоль оси симметрии материала. Аналогично предыдущему найдем следующие выражения для скоростей распростране ния этих волн
VL = V L ( I - H„(V ) T7 4 ) 1/2> vlT = vT(\-n„{v)dx)'12, (9.4.72)
и их коэффициентов затухания
п=- |
К |
( соV |
V2)— |
||
|
2 пVVL |
ч |
|
|
(9.4.73) |
Если волновая нормаль перпендикулярна оси симметрии материала, то в этом направлении может распространяться продольная волна со скоростью
l'/2 |
|
Vt = VL l ~n0(v)d2r f(\- 2 r f)2 |
(9.4.74) |
и коэффициентом затухания |
|
r i |
(9-4.75) |
а также две поперечные волны. Одна из них идентична расп ространяющейся вдоль оси симметрии, а вторая - характери
зуется скоростью -^4 / /?о и не затухает.
Допустим, что концентрация трещин настолько мала, что их взаимодействием можно пренебречь. В этом случае выра жения для коэффициентов затухания трех изонормальных волн (одной продольной и двух поперечных) могут быть полу чены из общих формул, в которых следует пренебречь всеми
членами, имеющими порядок выше, чем no<V>. В результате найдем
По |
(1- и |
sin! 6>) . / ч 8sin20cos20, / ч |
Г \ = 27? |
’f b |
к(т])+— ----------гМ * !) |
|
- ’fY |
482
( |
\4 |
, / ч 2cos220 . / ч |
со |
sin2 2 0 |
|
Гг |
J Ь~г?У |
-kKw+i--------- |
KVT |
( i - l j f y |
'« Л |
2cos2 в |
(9.4.76) |
Гг |
* ,(,) |
|
\VT ; ( 3 - 2 , 2У |
|
|
Если трещины имеют одинаковый радиус а, то формулы |
||
переходят в следующие |
|
|
Y i = \ n oQi (/ = 1,2,3), |
|
(9.4.77) |
где Q. - полные сечения рассеяния.соответствующих волн на одной изолированной трещине, определенные формулами (8.6.67).
2°. Изотропная среда со случайным множеством жестких дисков. Рассмотрим изотропную среду, содержащую случай ное множество эллипсоидальных жестких дисков. Общие вы ражения для эффективных динамических упругих модулей и плотности этой среды имеют вид (9.4.25). Найдем с помощью этих формул скорости распространения и коэффициенты за тухания упругих волн в средах с жесткими дисками в некото рых частных случаях.
Ограничимся рассмотрением дисков круговой формы, для
которых тензоры Л° и Л® определяются формулами (8.3.72) и (8.3.73). Для круговых дисков эллипсоид, определяющий фор му корреляционной ямы, будет тем же, что и для круговых
трещин. Следовательно, тензор Asmопределяется той же фор
мулой (9.4.69).
Допустим сначала, что распределение жестких дисков по ориентациям равновероятное. После осреднения в общих формулах (9.4.25) и (9.4.22) по ориентациям аналогично пре дыдущему, найдем, что среда с жесткими дисками макроско
пически изотропна со следующими объемным к* и сдвиговым
р динамическими упругими модулями и плотностью р
|
|
|
|
|
483 |
k’=k-ia>\ |
T >М=Мм-*ю”. |
— , P = P s+ico w0 |
Pm |
||
|
60Л/90УГ |
607CpaVT |
' \2прУт |
||
ks = K +n0kR, ka = 2(vA® )Ц2 - 1 bn,Jk\ rf, |
^ = | A ( VG2), |
||||
A =Mo+rt0pR, р ш= i( v ( 6 A “ a, + A2a 2))z)2 -4 л 0.//4 (ъ + lrf),
P , = A +». (VA >, A, = (2 ■+^ )((v2/oJ) - /i.y(vA )2),
A? - ^ A |
( V(6G, + G2)), Д -- j[l-- |w 0(vG2)(2/4, + 4 )] |
, |
|
A |
= [1 - T3 «o(6(vG, >A2 + 2(VG2 ) ( 4 - 4 |
- ) ) f , |
|
= 1 - ^ < VG2>^, a 2 = l - ^ ( v G , ) , ii = 4 + |
2 ( 4 - 4 |
) . |
|
|
|
(9.4.78) |
|
Здесь величины AI,A2,A3 определены формулами (8.6.45), а при выводе этих формул предполагалось, что аспект корре ляционной ямы не зависит от размеров включений.
Поскольку среда, содержащая хаотически ориентирован ные жесткие диски, макроскопически изотропна, в ней могут распространяться продольные и поперечные волны с волно выми числами
аг03 V . |
,(9-4.79) |
|
эес |
||
7J |
||
|
кт |
. 1 |
ico3 |
1Ч— |
--------- г |
|
|
2 |
60прут |
где, по-прежнему, x= ks+Apj3, ^ <o=k(0+Ap(oj'i. Отсюда нахо дим скорости их распространения
VI = V ® S/A > V; = V A /A . |
(9.4.80) |
484
и коэффициенты затухания
'« Л |
агл,+ 5Л |
Л. Л |
, (9.4.81) |
YL = 120л- |
|
||
KVLJ PePSVT |
|
|
|
Л4 |
|
\2 |
|
/ г —120л- Vvry PoPsVT |
Р»+5ра \VTJ |
|
|
Допустим, что включения абсолютно жестки. В этом слу
чае величины G, и G2 принимают вид
16//0 |
8Д, |
(9.4.82) |
|
<?,= |
С2 = |
л(1+ ^2) ’ |
|
л {з+ |
772) |
|
|
т.е. перестают быть случайными величинами. Поэтому для аб солютно жестких дисков в формулах (9.4.78) следует положить
<vG, >=<v>G,, <VG2>=<V >G2.
При малой концентрации таких включений формулы для скоростей распространения и коэффициентов затухания про дольных и поперечных волн переходят в следующие:
* |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
'* т !И 3 + rf |
1 + if |
|
|
|
|
vT= vT ! +— w.(v) |
12 - + - 1 |
l- M i |
|||||
|
|
15л- |
3 + if |
1 + rf |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(9.4.83) |
z' |
Л4 |
Г" |
|
1+4if |
|
2+if |
( ~ \2' |
4(3+2 if) |
|
||||||
_ 1 |
J |
64 « UA |
|
|
|
1-------n |
\ Po ) |
“ 2л 1 |
|
225i t r P ' Y l |
|
|
|
12т/ |
|
|
|
LЫ ) 2+Ы ) 2 |
|
|
|||
485
24(3+27/) |
1+4т/ 2+rf |
|
|
W |
и |
Ы Г |
12 |
|
|
||
(9.4.84) Рассмотрим в заключение среду, в которой круговые жест
кие диски ориентированы в одном направлении. В этом слу чае в общих формулах (9.4.22) и (9.4.25) осреднение по ориен
тациям отсутствует и выражение для тензора С* принимает
вид (9.4.46), а плотность р остается в той же, что и в (9.4.78).
Для круговых дисков тензор С* может быть представлен в форме
С* = к'Р2 +2т\р' - \Р2) + Л.(Р3 + Р4)+4р.Р5 +{Л, + 2р,)Р\
где обозначено |
|
(9.4.85) |
|
|
|
к* = к, -ia?n„ |
т = т -к оп „ |
т „ |
, (9.4.86) |
||
30 кру\ |
|
30 пру\ |
ks = K +P o+n 0(vkR), |
k0>= {\ + 4if){(v2k2R)- n j(v k R)2), |
”*s = Me+n.(vmR), т |
а) = {з + 2т/){(v2m2R) - nj(vm Rf ), |
kR= ^ 2(\-2n o(vG2)Ax) ', mR = ^G x{\-n o(vGx)A2)
Если в среде с включениями распространяется плоская волна Ua(x)=Uae\p(ikn -х), то вектор поляризации Uа удов
летворяет однородному уравнению |
|
{k2K^ - rfp 'sJ U p = 0 , |
(9.4.87) |
где аналогично предыдущему акустический тензор Л*а/) может быть представлен в форме (9.4.53), в которой теперь
486
|
я\ = я + |
по(v{kR+rnR) ) - ™ п° 5 {кт+ та) sin2 в, |
|
|
30пруТ |
А-\— |
> ^2—^3— «О( A mR+kR) У ~ ° ” ° 5 (та>+К ) sin2#. |
|
|
|
30пруТ |
(9.4.88) Рассмотрим плоскую волну с произвольным направлением
волновой нормали П и вектором поляризации, перпендикуля рным векторам П ит . Эта волна является чисто поперечной с волновым числом
к2 ~ |
CD |
|
(9.4.89) |
• ~^^Ут2• |
|
||
|
Т2 |
|
|
Здесь vT2 - скорость распространения этой волны |
|||
|
(vmR) . , |
^ |
1/2 |
|
(9.4.90) |
||
VT2 ~ |
1+по±——sin2 |
в\ |
|
Я)
аутг - ее коэффициент затухания
п |
i 2 mMsin2 в |
1 |
. |
\ 2 |
|
(9.4.91) |
|||
УТ2 ~ |
5Vj |
+ ~Pm' ъ . |
||
12яРоА V J 2 / |
|
\ VTJ |
||
Волновые числа двух других изонормальных волн кх и к3 выражаются по формулам (9.4.62) и (9.4.63), в которых вели
чины Д*(/=0,1,2,3) определены формулами (9.4.88), а плотность
р следует заменить на р .
Пусть волновая нормаль параллельна оси симметрии мате риала (#=0). Как следует из приведенных формул, в этом на правлении могут распространяться чисто продольная и попе речная волны со скоростями
487
(9.4.92)
Коэффициенты затухания этих волн пропорциональны только разности плотностей основной среды и включений
И. |
( |
'\4 |
Pa, |
|
|
( |
V |
CO |
1 |
|
|
|
|||
Г[ = 24 л |
|
|
|
|
|
|
(9.4.93) |
|
1 |
tfpoPs l v |
|||||
у"т=- л. |
( |
>\4 |
|
( |
|
I\ |
|
CO |
1 |
Pa, |
|
VT |
|
||
24 л |
|
/ |
P«Ps |
|
|
T |
) |
|
|
|
|
l V: |
|||
Если волновая |
нормаль |
|
перпендикулярна вектору ТП |
||||
(9= л/2), то в этом направлении распространяются продоль ная и две поперечные волны. Одна из них, поляризованная вдоль оси симметрии материала, имеет скорость и коэффици
ент затухания, совпадающие с vj, и у\ соответственно. Векто ры поляризации продольной и второй поперечной волн лежат в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. Их скорости
v£ HVjl,a также коэффициенты затухания ylL и Ут определя ются выражениями
|
|
|
(9.4.94) |
|
|
|
1 |
|
|
5(/JVl Y |
2lf VvW |
|
m. |
VVT |
* |
Ут=-12npops\vrJ |
|
|
(9.4.95) |
5v; |
2 VT ) |
||
489
При распространении волн вдоль оси симметрии их ско рости и коэффициенты затухания определяются теми же фор мулами (9.4.92) и (9.4.93).
Если волновая нормаль перпендикулярна оси симметрии композита, то формулы (9.4.94) и (9.4.95) для рассматриваемо го случая переходят в следующие:
|
|
|
( |
2 |
|
1 |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
vi = vl |
|
|
|
|
|
|
||
П |
|
3 + rf |
1+?]2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
v n — V T |
l + w0(v) |
|
|
|
|
(9.4.100) |
||
|
|
я(з+ rf) |
|
|
|
|
||
|
(с о ) |
|
'l6 (v ! ) |
4(3 + 2 rf) |
1 + 4 if |
|
||
12npt <VLJ |
|
ЬТ)7? |
(3 + ,/)2 |
1(1 + v1)2 _ |
||||
1 |
|
'v A |
|
|
|
|
(9.4.101) |
|
+ - |
|
|
|
|
|
|||
2 |
V J |
A . |
|
\VL |
|
|
|
|
|
|
64(v; ) 3+2rf |
,( u rf |
\2\ |
|
|||
|
|
vBk |
|
|||||
|
|
|
|
(3+7f )2 |
|
v, / |
||
|
|
|
|
|
A ) |
|||
Рассмотрим в заключение случай малой концентрации включений. Пренебрегая в общих формулах всеми членами,
имеющими порядок выше, чем p=no<v>, найдем следующие
выражения для скоростей распространения трех изонормальных волн, соответствующих волновой нормали п :
vi = vi |
1 + — ».(v)f |
+- |
Isin4 e - - n ( v ^ |
|
п |
Ъ+rf 1 + if |
2 |
490
v2 = v r |
|
/ v |
4 sin2 О 1 / |
ph |
(9.4.102) |
||||
1+""<V>4 W ) - 2 " A |
v^ |
|
|||||||
|
|
|
|||||||
v3 = v r |
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
2л |
^3 + if |
1+ rf |
sin2 2 6——n l v — |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
и их коэффициентов затухания |
|
|
|
||||||
n. ' о ' * |
16(v!> 4(3 + 2if) |
1 + 4 ^ |
sin4 0+ |
||||||
У\ = 12л \VLJ |
5л2 TJ |
(3 W )1 |
|
||||||
b + t f |
|
||||||||
1 |
|
1 |
„ |
V |
|
|
|
|
|
|
VBL |
|
|
|
(9.4.103) |
||||
2 + 7 |
|
|
|
||||||
А У |
|
|
|
|
|||||
|
\4 |
|
|
|
|
|
|
||
ю ' |
^ l . l ± % s^ e+ 'l + £ |
.A |
|||||||
Г2 = 12* Vvr У |
^ |
|
(3+T12)2 |
|
2 , |
|
|||
|
|
4 |
k |
! >[ 4(3 + 2 ^ ) |
I + 4775 |
|
|||
Гз = 12* |
м |
|
sin2 20+ |
||||||
) |
5л2 |
(з+^2)2 |
(1 + 7 2)2 |
||||||
|
|||||||||
/Л V
+VA
V |
А / |
Если жесткие диски имеют одинаковый радиус, а их плот ность сравнима с плотностью основной среды, то коэффици
енты затухания У\*72>7ъ пРеДставляются в виде (9.4.77), где