книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

571

Здесь Я(. ,//, - коэффициенты Ламе /'-го слоя (/= 1,2,...,TV), Л„+1=Л0 , /JN+i=Ju° - то же для матрицы. Компоненты 12-мер­ ного вектора-столбца перехода F имеют вид

где а. - коэффициент линейного расширения /-го слоя, аота же величина для среды.

573

Комментарии и литературные ссылки

Литература, посвященная решению стохастических задач механи­ ки композитных материалов, весьма обширна. С приближенными методами, которые не нашли своего отражения в данной книге, мо­ жно ознакомиться в монографиях Г. А. Вагана [17], С. Д. Волкова и В.П. Ставрова [22], Р. Кристенсена [78], А. К. Малмейстера, В.П. Тамужа и Г. А. Тетерса [103], Т. Д. Шермергора [147]. Широкий спектр проблем механики композитных материалов обсуждался в семитом­ ной энциклопедии [70] под редакцией Л. Браутмана и Р. Крока, в трехтомной серии [104] под редакцией А. Н. Гузя.

Асимптотическая теория осреднения композитов регулярной структуры изложена в монографиях Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [5], О. А. Олейник, Г. А. Иосифьяна и А. С. Шамаева [115] , Б. Е. Победой [122], Э. Санчес-Паленсия [127].

Большое количество исследований посвящено построению оце­ нок эффективных характеристик композитов на основе вариацион­ ных принципов. Ссылки на эти работы можно найти в обзорных статьях Дж. Виллиса [245,247] и С. Торквато [227,228], К. А. Лурье и А. В. Черкаева [100].

К главе I

Общая структура тензора Грина для перемещений в случае одно­ родной анизотропной среды исследована И. М. Лифшицем и Л. Н. Розенцвейгом [95].

Схема регуляризации обобщенных функций типа вторых произ­ водных от тензора Грина для перемещений изложена в книге И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [26]. Несколько более удобные формулы регуляризации оператора типа К и S на финитных функциях пред­ ложены в монографии Г. И. Эскина [148]. Способ определения ре­ зультата действия операторов К и S на постоянные предложен С. К. Канауном [36, 37].

Общая структура тензора Грина для внутренних напряжений в анизотропной упругой среде была исследована И.А. Куниным [80]. Ряд важных результатов, касающихся внутренней геометрии и на­ пряженного состояния среды с дислокационными источниками раз­ личного типа, можно найти в монографиях Р. Де Вита [21], Э. Кренера [77], А. М. Косевича [73], Дж. Эшелби [149].

575

Результаты исследования разрывов упругих полей на границах областей, содержащих источники внешних и внутренних напряже­ ний, излагаются здесь впервые.

К главе II

Интегральные уравнения для деформаций и напряжений исполь­ зовались при решении задач механики неоднородной среды в рабо­ тах многих авторов [7,22,81,82,147]. Общая теория разрешимости этих уравнений была построена к концу шестидесятых годов. Исто­ рические обзоры и ссылки на оригинальные работы можно найти в итоговых монографиях С. Г. Михлина [106], Г. И. Эскина [148].

Условия, которым удовлетворяют поля напряжений и деформа­ ций на границе двух упругих сред, получены в работе И. А. Кунина и

Э. Г. Сосниной [83]. В § 2.2 дан другой вывод этих условий.

Упругая среда с эллипсоидальной неоднородностью в постоян­ ном внешнем поле рассматривалась в работах М. А. Садовского и Е. Стернберга [218], К. Робинсона [216], ряд важных результатов, свя­ занных с этой задачей, был получен Дж. Эшелби [149,170]. В част­ ности, в [170] для изотропных среды и включения было доказано, что полиномиальное внешнее поле порождает полиномиальное поле той же степени внутри эллипсоидальной неоднородности (полино­ миальная консервативность). Для анизотропных среды и включения аналогичная теорема доказана в работе И. А. Кунина и Э. Г. Сосни­ ной [82]. Эллипсоидальная неоднородность в постоянном и линей­ ном поле общего вида рассматривалась в серии работ Ю. Н. Подильчука. Результаты этих работ суммированы в монографии [124].

Вывод интегральных уравнений для трещины из уравнений для полости в упругой среде предложен в работе С. К. Канауна [42]. Ре­ гулярное представление интегрального оператора задачи о трещине анонсировано в [36]. Доказательство этой формулы регуляризации, которая по существу определяет значение производной потенциала двойного слоя статической теории упругости в точках поверхности, несущей потенциал, дано в работах [41,47].

Аналог теоремы о полиномиальной консервативности для эллип­ тической трещины впервые доказан Дж. Виллисом [240]. Эллипти­ ческая трещина в изотропной среде при действии постоянного вне­ шнего поля рассматривалась в работах А. И. Лурье [98], Л. А. Галина [24], М. К. Кассира и Г. С. Си [189]. Решение этой задачи для ли­ нейного внешнего поля получено в работах Г. П. Черепанова и Л. В. Ершова [146], Ю. Н. Подильчука [124], С. К. Канауна и К. Г. Касат­ кина [54].

Задачи о сферическом включении, состоящем из ядра и оболоч­ ки, в однородной упругой среде рассматривались в работах Е. Керне-

576

pa [190], P. Кристенсена и К. Лу [162], В. А. Матониса и Н. С. Смола [204] и др. Решение аналогичной задачи для цилиндрического вклю­ чения с одним слоем приведено в работе 3. Хашина и Б. Розена [180].

Метод решения задачи для сферического и цилиндрического включений, состоящего из произвольного числа слоев (§§ 2.8-2.9), предложен в работах С. К. Канауна и Л. Т. Кудрявцевой [56,59].

К главе III

Содержание этой главы основано на работах С. К. Канауна [46,

47].

Эвристические модели тонких включений предлагались в работах О. В. Соткилавы и Г. П. Черепанова [130], В. В. Панасюка, А. Е. Андрейкива и М. М. Стадник [116], Д. В. Грилицкого и Г. Т. Сулима [31], В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [2], Г. С. Кита и М. В. Хая [68].

Общие методы построения асимптотических разложений реше­ ний уравнений в частных производных во внешности тонкой облас­ ти с условиями типа Дирихле или Неймана на границе рассматрива­ лись в работах А. М. Ильина [33] , В. Г. Мазьи, С. А. Назарова и

В.А. Пламеневского [101]. В работе Н. В. Мовчана и С. А. Назарова

[109]с помощью этих методов получено решение плоской задачи те­ ории упругости для среды с тонкой неоднородностью при не слиш­ ком большом различии модулей упругости компонентов.

Случаи тонких включений с существенно отличными от среды свойствами рассматривались в работах Э. Санчес-Паленсия [127] (за­ дача теплопроводности), И. Б. Симоненко [128] (задачи электроста­ тики), Я. И. Кунеца [79], А. П. Поддубняка [123]. В последних двух работах решена задача о кручении упругого тела с тонким дискооб­ разным включением.

Обзор методов численного решения интегральных уравнений за­ дачи о трещине дан в книге В. 3. Партона и П. И. Перлина [119]. Отметим также работы А. М. Линькова и С. Г. Могилевской [92] , М. Костабля и Е. П. Стефана [160], С. К. Канауна и К. Г. Касаткина [55], в которых задача о трещине решалась в рамках традиционных схем метода граничных элементов.

Идея использования экспоненциальных функций для численного решения интегральных уравнений принадлежит В. Г. Мазье. Содер­ жание §3.8 основано на работах Е. Н. Вильчевской и С. К. Канауна [19,20].

577

К главе IV

Первое решение задачи теории упругости для среды, армирован­ ной жестким цилиндрическим стержнем, было, по-видимому, полу­ чено в работе X. Л. Кокса [161], где использовался ряд упрощающих предложений, характерных для "технической" теории упругих систем. Попытка более строгого подхода к решению этой задачи была пред­ принята в работах Г. П. Черепанова [145] и Г. П. Никишкова и Г. П. Черепанова [113], где использовался метод сращивания асимптотиче­ ских разложений. Некоторые неточности, допущенные в [145], ис­ правлены в работе Дж. Эшелби [171].

Равновесие упругой среды, армированной стержнем произволь­ ной формы, рассматривалась в работах С. К. Канауна [48,49], кото­ рые легли в основу данной главы.

Кглаве V

Сприменением метода самосогласованного поля в квантовой те­ ории атома можно ознакомиться в монографиях Д. Р. Хартри [141], Дж. Слэтера [129]. Использование этого метода для описания фазо­ вых переходов можно найти, например, в монографии Г. Стенли [132].

Метод эффективной среды был впервые использован для вычис­ ления эффективных модулей упругости поликристаллов в работах А.

В.Хирша и В. А. Далгрена [182] и Е. Кренера [193]. В случае матрич­ ных композитов этот метод применялся Р. Хиллом [185] и Б. Будян­ ским [156]. Эффективные модули среды с трещинами были вычисле­ ны этим методом Б. Будянским и Р. О'Коннелом [157].

Модификация метода эффективной среды, когда на границе меж­ ду эффективной средой и включением вводился слой материала мат­ рицы, была предложена в работе Е. Кернера [190]. Ошибки, допу­ щенные в этой работе, исправлены Р. Кристенсеном и К. Лу [162] и Дж. Смитом [219]. В работах В. А. Кочеткова [75] модифицирован­ ный метод эффективной среды использовался для построения эф ­ фективных упругих и термоупругих характеристик композитов, ар­ мированных однонаправленными волокнами.

Метод эффективного поля был неявно использован для построе­ ния эффективного модуля упругости композита с эллипсоидальными включениями в работах Л. Валпола [236,237]. Одночастичное при­ ближение метода эффективного поля использовано для построения эффективных модулей упругости композитов, содержащих однород­ ные эллипсоидальные включения и их предельные случаи (эллип­ тические трещины и круговые цилиндрические волокна) , в работе

В.М. Левина [86]. Концентрация напряжений на эллипсоидальных

578

включениях в матричных композитах исследовалась В. М. Левиным в работе [87]. Среды с регулярной решеткой эллипсоидальных неод­ нородностей и трещин рассматривались в рамках метода эффектив­ ного поля в работах С. К. Канауна [38,39], С. К. Канауна и Г. И. Яб­ локовой [66]. Результаты этих работ изложены в §§ 5.1-5.6.

Однородная упругая среда, армированная тонкими жесткими включениями или лентами, рассматривалась с помощью одночасти­ чного приближения метода эффективного поля в работе С. К. Кана­ уна и Л. Т. Кудрявцевой [58], а среда со случайным множеством тре­ щин в работах С. К. Канауна [36,40]. Указанные работы легли в о с­ нову §§ 5.7-5.9.

Коэффициенты линейного расширения композитов с однород­ ным включением, а также концентрация температурных напряжений на включениях н а й д е т в работах В. М. Левина [86,88]. Термоупру­ гая деформация среды, армированной сферическими слоистыми включениями и однонаправленными слоистыми волокнами, рассма­ тривалось в работах С.К. Канауна и Л.Т. Кудрявцевой [57,59] (§§ 5.5, 5.13).

Метод эффективного поля для построения эффективных модулей композита, армированного осесимметричными короткими волокна­ ми, использован в работе С. К. Канауна [50] (§5.12). В §5.14 изложе­ ны результаты работы [43], где исследована задача моделирования включений точечными изолированными дефектами.

К главе VI

Содержание этой главы основано на работах С. К. Канауна [44, 45,188]. Нелокальный оператор эффективных свойств для среды со сферическими включениями построен в работе [44]. Концентрация напряжений на неоднородностях в области быстро изменяющихся внешних полей рассмотрена в работе С. К. Канауна и В. М. Левина [60]. Учет парных взаимодействий между включениями при вычисле­ нии эффективных модулей упругости матричных композитов рас­ смотрен в работах С. К. Канауна [44,45,51,188]. Построение корреля­ ционных функций упругих полей в среде с точечными дефектами реализовано в [45,188].

К главе VII

Задача дифракции скалярных волн на изолированной неоднород­ ности и на случайном множестве рассеивателей рассматривалась многими исследователями начиная с середины XIX -го века (Рэлей, Максвелл). Соответствующие ссылки можно найти, например, в итоговых монографиях Г. Ван де Хюлста [15], К. Борена и Д. Хаф-

579

мена [8], А. И. Исимару [34]. Метод эффективного поля для решения задачи о распространении скалярных волн в среде со множеством точечных рассеивателей развивался в работах Л. Фолди [172], М. Лакса [198,199], В. Тверски [230,231], П. Ватермана и Р. Труэлла [239]. Отметим, что в этих работах рассматривались среды с флуктуациями плотности при постоянной сжимаемости среды. В главе VII рассмо­ трен более общий случай среды, в которой сжимаемость также явля­ ется случайной функцией координат. Результаты этой главы изложе­ ны здесь впервые.

К главе VIII

Задача о рассеянии упругих волн на неоднородностях каноничес­ кой формы (сфера, эллипсоид) в неограниченной изотропной среде допускает точное решение с помощью разделения переменных в вол­ новом уравнении и разложения решения в ряды по собственным функциям задачи. Таким способом были решены задачи о дифрак­ ции плоской волны в среде со сферическим [72,169,205,249] и эллип­ соидальным [165,173,210] включениями.

Альтернативный подход к решению задачи рассеяния на неодно­ родности заключается в использовании интегрального уравнения (8.2.1) , эквивалентного волновому уравнению теории упругости. Яд­ ро этого уравнения выражается через функцию Грина волнового оператора. Представление функции Грина в виде интеграла по еди­ ничной сфере было получено в работе Дж. Виллиса [243] и несколь­ ко иным путем - в работе [61].

Аналог теоремы о полиномиальной консервативности для эллип­ соидального включения в случае волновой задачи доказан в работе М. В. Федорюка [138]. Как следует из результатов этой работы, соб­ ственными функциями оператора в уравнении (8.2.1) для эллипсои­ дальной области являются произведения гармонических полиномов (по угловым координатам) на сферические функции Бесселя, завися­ щие от расстояния до центра включения.

Систематическое исследование решений уравнения (8.2.1) в длин­ новолновом приближении содержится в [174-176]. В этих работах волновое поле внутри неоднородности заменялось его статическим

(СО —> 0) пределом ("квазистатическое" приближение), а поле вне включения восстанавливалось из исходного интегрального уравнения (8.2.1) . В работе авторов [61] этот результат уточняется путем учета главных по СО членов в мнимой части волнового поля в среде с включением.

Общее решение задачи рассеяния длинных волн на эллипсои­ дальной неоднородности было использовано для анализа волновых полей в окрестности сплющенных или вытянутых сфероидов [168,

580

177,243]. В частности, в работе М. Пиау [210] и Дж. Губернатиса с соавторами [177] было получено решение задачи о дифракции длин­ ных упругих волн на круговой трещине в изотропной среде. В рабо­ тах авторов [62,63] применен другой подход к решению задачи рас­ сеяния длинных упругих волн на тонких эллипсоидальных (трещи­ ноподобном и жестком) дефектах в анизотропной среде, основанный на сращивании внешних и внутренних асимптотических разложений. Задача дифракции упругих волн на коротком осесимметричном во­ локне в длинноволновом приближении решена в работе авторов [64].

Задача о рассеянии упругих волн на цилиндрическом стержне в изотропной среде также допускает точное решение с помощью раз­ ложения искомых волновых полей в ряды по цилиндрическим гар­ моникам. В случае распространения волны перпендикулярно оси во­ локна такая техника была использована в работах С. Бозе и А. Мола [154,155], С. Датгы [163], В. К. Варадана с соавторами [234]. Асимп­ тотическое (длинноволновое) решение интегрального уравнения от­ носительно волнового поля внутри волокна было найдено в работе В. М. Левина [90] для случая распространения падающей волга по­ перек его оси и для распространения этой волга в произвольном направлении - в работе авторов [65].

Определение полного сечения рассеяния упругих волн на неод­ нородности, так же, как и приближение "дальней зоны" для рассеян­ ного поля, можно найти во многих руководствах и статьях (напри­ мер, [134,174,175,192]). Доказательство аналога оптической теоремы [9] в случае упругих волн содержится в статье Дж. Губернатиса с со­ авторами [175]. В работе В. М. Левина [89] (см.§8.6) дано другое до­ казательство этой теоремы, основанное на методе стационарной точ­ ки [9]. Полученная в [89] формула для полного сечения рассеяния

продольных волн QL (СО) совпадает с аналогичной формулой работы [175]. Однако выражение для полного сечения рассеяния попереч­ ных волн, найденное в [175], отличается от соответствующей форму­ лы работы [89] наличием дополнительного слагаемого, связанного с интерференцией падающей поперечной и рассеянной продольной волн. Как следует из приведенного в §8.6 вывода, такого "перекрест­

ного" члена в выражении для QT(CO) нет и формулировка оптичес­ кой теоремы для поперечной и продольной волн подобна своему классическому аналогу [9].

Полное се ч е т е рассеяния продольных и поперечных волн для сферической неоднородности в длинноволновом приближении (рэлеевское рассеяние) было найдено в [134,169,205, 249], исходя из точного решения волновой задачи, а также в работе Дж. Губернатиса [174] с помощью "квазистатического" приближения. Как указано в

[174], формула для QT(0)), полученная в [134,169,249], по-видимому, содержит ошибку. Найденный в [174] вариант рэлеевской асимпто­