книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf522
где R (q) определено (10.2.7). Мнимая часть (10.3.6) равна ко эффициенту затухания этой волны
Уш = i » o ^ ( a ma)3aFLm. |
(10.3.8) |
Из формулы (10.3.7) следует, |
что скорость продольной |
волны с волновой нормалью та лишь незначительно умень
шается с ростом частоты.
Второй корень уравнения (10.3.1), соответствующий попе
речной волне, представляется в форме |
|
Цг =01{ ]-+р [р М 1 р * - М 1 и*1Ь, |
(Ю.3.9) |
где функция //(&>) получается из формулы для /и(къ,а>) в
(10.3.3), в которой величину кг следует заменить на Д ,. Отсю да в принятом приближении получаем
( амК
Кг =РЛ х~ \ р01 RTm+P
\4М»; Мм 2
&Гт~ |
к + ^ — ^(р Уш~ 2Ме)2 R{0)> vTm=ylfis/ps , |
|||||
|
|
Ms |
|
|
|
|
R = |
|
—1 |
{р Уш,- Р яТ + ^ |
1 |
1 |
^ 2 |
|
2 |
2 |
MR |
|||
|
РЛ |
v\v |
|
|
Vrm) |
|
|
t ш |
|
|
|||
523
(10.3.10)
где H (z) - функция Хевисайда, а величина R(fi) определена в (10.2.7).
Заметив теперь, что для композитных материалов на осно ве высокомодульных волокон и полимерного связующего вто рое слагаемое в квадратных скобках в правой части (10.3.10),
содержащее множитель Ex/ps, может значительно превышать
величину Rm. Если этой величиной пренебречь по сравнению
с членом, содержащим Ех, то выражение для фазовой скорос ти принимает вид
(10.3.11)
Отсюда следует, что скорость поперечных волн, распрост раняющихся вдоль волокон, увеличивается с ростом частоты, причем это возрастание может быть существенным даже в том случае, когда длина волны значительно превышает диаметр волокна. Это согласуется с имеющимися экспериментальными данными и результатами других подходов к рассматриваемой задаче.
Что касается коэффициента затухания поперечной волны, то эта величина определяется формулой
(10.3.12)
2°. Пусть теперь концентрация включений мала, так что вы
полняется условие 82\п(р8)~0(Х). В этом случае следует пользоваться общими формулами, в которых необходимо пе
рейти к пределу при р —>0. Рассмотрим это на примере той же поперечной волны. С точностью до главных членов асимп-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итог, остановимся на общей характеристике ме тода эффективного поля, который последовательно использо вался в этой книге для описания упругих полей в матричных композитах, армированных случайным множеством включе ний. Как уже отмечалось в гл.У, получить точное решение за дачи теории упругости для стохастически неоднородной среды в общем случае невозможно. Вследствие стохастической нели нейности этой задачи каждый из статистических моментов ре шения выражается через всю совокупность моментов более высокого порядка. Поэтому, чтобы сделать задачу обозримой, приходится вводить дополнительные предположения, строго обосновать которые не всегда удается. Для решения подобных задач предлагался целый ряд подходов, упомянутых в разделе "Комментарии и литературные ссылки".
Модифицированный метод эффективного поля, предло женный в монографии, занимает в идейном отношении про межуточное положение между известными самосогласованны ми схемами и методами типа сглаживания [126]. Общими с методами самосогласования (МС) являются введение локаль
ного внешнего поля £*(Х), действующего на каждое включе ние в композите, и предположение об одинаковой структуре
этого поля для всех включений (гипотеза //, § 6.1). Отличие от одночастичного приближения МС состоит в том, что поле
£*(Х) считается здесь случайно изменяющимся от включения к включению. Для построения замкнутых уравнений относи
тельно статистических моментов эффективного поля е*(JC) используется процедура расщепления сложных средних, ко торая характерна для метода сглаживания (§ 6.3).
Таким образом, в основе предложенного в работе метода лежат гипотезы о состоянии каждого включения в деформиру емом композите. Строго говоря, область изменения концен трации и свойств включений, в которой гипотезы метода вы полняются точно, невелика. Это случай малой концентрации, когда включения не взаимодействуют. Действительно, при
526
этом каждое включение находится в одинаковом приложен
ном к среде внешнем поле е (гипотеза Нх), которое не зави сит от случайных размеров и упругих свойств включений (ги
потеза Н2). Следовательно, если одночастичная задача реше на точно, то при малой концентрации включений метод эф фективного поля позволяет получить точное решение стохас тической задачи.
С увеличением концентрации включений справедливость
гипотез метода Нх и Нг, вообще говоря, нарушается. При
этом гипотеза Нх оказывается неправомерной, если эффек
тивное поле £ (X) в областях, занятых включениями, сущест венно неоднородно. Это может иметь место, когда включения находятся достаточно близко друг к другу, то есть при их большой концентрации. С другой стороны, чем большее чис ло включений оказывает прямое влияние друг на друга, тем
более оправданна гипотеза Н2. Таким образом, при большой концентрации включений используемая в методе эффективно го поля аппроксимация состояния каждого включения может быть далека от действительности. Эта аппроксимация будет наверняка плохой, если ее оценивать по стандартам, заимст вованным из решения задачи о взаимодействии конечного числа включений. Однако, поскольку первые статистические моменты упругих полей являются довольно грубыми характе ристиками стохастического решения, то часть информации о состоянии отдельных включений наверняка является несущес твенной. Аппроксимацию поля внутри каждой частицы можно считать хорошей, если она позволяет получить хорошие при ближенные выражения для величин, представляющих непо средственный физический интерес (средних значений поля, эффективных постоянных, плотности энергии и ее флуктуа ций, корреляционных функций упругих полей). Поскольку эти величины определяются лишь малой частью полной ин формации, которая содержится в точном решении стохастиче ской задачи, то большая часть этой информации оказывается ненужной. Следовательно, не столь важно, насколько точно передает аппроксимация поля внутри включений эту ненуж ную часть информации. Качество той или иной аппроксима ции можно оценить путем сравнения предсказаний теории с
527
результатами экспериментов или точными решениями, когда последние существуют.
Погрешность метода эффективного поля при решении за дачи осреднения исследовалась в работе для стохастических и регулярных композитов с различными типами армирующих элементов. При этом оказалось, что область изменения пара метров микроструктуры, в которой метод дает ошибку, превы шающую 10%, относительно невелика. В нее попадает, напри
мер, случай очень жестких (Е/Ес> 10) квазисферических
включений при объемной концентрации р> 0.4. Однако моди фикация метода эффективного поля, позволяющая учесть особенности парного взаимодействия между включениями в композите, дает возможность описать экспериментальные данные о модулях упругости композита вплоть до концентра ций, близких к плотной упаковке (§ 6.5). Заметим, что сравне ние с точными решениями для регулярных решеток трещин показывает, что даже одночастичное приближение метода эф фективного поля позволяет правильно описать локальные ха рактеристики упругих полей в композитах - коэффициенты интенсивности напряжений на трещинах (§ 5.8).
Предложенная в работе модификация метода эффективно го поля позволяет не только решить задачу осреднения, но и получить выражения для статистических моментов решения, вообще говоря, любого порядка. При этом учитывается реаль ная структура композитного материала, а используемым гипо тезам и различным уточнениям расчетной схемы удается при дать ясный физический смысл. Этим методы типа самосогла сованного поля выгодно отличаются от методов приближен ного суммирования формального ряда теории возмущений [126]. К сожалению, отсутствие в литературе достаточного ко личества данных по экспериментальному определению корре ляционных функций упругих полей в неоднородной среде не дает возможности оценить погрешность метода при вычисле нии вторых моментов решения.
При рассмотрении волновых полей в матричных компози тах метод эффективного поля использовался для построения длинноволновой асимптотики решения задачи осреднения в случае включений различной формы. Следует отметить, что в принципе метод может применяться и в том случае, когда длина волны падающего поля сравнима или даже меньше ха
528
рактерных размеров включений. Разумеется, при этом сущест венно возрастают трудности, связанные с решением одночас тичной задачи. Для сферических включений и произвольной длины волны падающего поля реализация метода эффектив ного поля осуществляется в работе [233].
Содержание монографии ограничено задачами теории уп ругости и термоупругости. Однако основные идеи метода мо гут быть использованы и для решения нелинейных задач. В случае возникновения упруго-пластических деформаций и де формаций ползучести в композитном материале трудности реализации метода связаны с разработкой эффективных вы числительных алгоритмов решения одночастичных задач и прогресс в этой области в значительной мере связан с исполь зованием современной вычислительной техники. Наблюдаю щееся в настоящее время бурное развитие этой техники поз воляет надеяться, что метод эффективного поля станет мощ ным средством решения более сложных (нелинейных) задач механики композитных материалов.