книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf552
J(X = M(a“')Av<V JnJZaP(ay)npdQ.. |
(П2.2.33) |
n, |
|
Первый интеграл в этом выражении вычисляется сразу
■ С , = |
K j.°y)4y = |
= Л > К , . |
|
У, |
(П2.2.34) |
|
|
где тензор Л(а) определен в (П2.1.29). Второй интеграл с учетом выражения
оо
Jехр(-у2 /l)ydy = 1 |
(П2.2.35) |
о |
|
преобразуется к виду |
|
=\4а~')х “мР\уЛ аеМ уре-у'12<1у. |
(П2.2.36) |
Далее по формуле Парсеваля имеем |
|
■>% = - М ' » гИ лл 4
(П2.2.37)
С учетом формулы
< П 2 -2 '3 8 )
это выражение допускает представление в форме (ка/\к\=та):
J (X = i i ( a ' ‘) ^ a, « ! K U a ''k i S^ - 3m^ ) d n - (П2.2.39)
|
П, |
Подставляя |
и У 2^в формулу для J , получим |
AU „ = -T ^(a~X)Xva„P\K'«M~'k)mjnpdn. (П2.2.40) Oi
Для изотропной среды и сферического включения это вы ражение дает
554
J a la S y -4 r jK fi(a~'k)(S |
+ Sy/n/njdn. |
(П2.2.46) |
|
Ol |
|
и S2) в формулу для J, по |
|
Подставив выражение для |
|||
лучим |
|
|
|
А2 |
{° ) W/l(a afiaSpaуJ^-apvaSy> |
(П2.2.47) |
|
2afiXfipz |
|||
к х |
JK l^a'k^X Sm jnjn jn y-ldgytn jn ^dQ ., |
||
^afivcrdy 4л |
|||
что совпадает с формулой (2.5.7).
Для изотропной среды, и сферического включения имеем
K-apvoSy ~ |
7 |
{^ afi^ v aS y + ^av^paSy + ^aa^vpSy + ^aS^vpay + |
^ a y ^ v p a s) |
4 < |
V |
A - SapV, = ^apSV(T+ SavSpa + SaaSpv. |
(П2.2.48) |
Если воспользоваться тензорным базисом (2.5.8), то отсю да следует формула (2.5.9) в основном тексте.
П2.3. Плоский случай
В плоском случае к-представления функций Грина сохра няют вид (П2.1.3), (П2.1.6) и (П2.1.9), однако греческие ин
дексы принимают значения 1, 2, а коэффициент аго имеет вид
эео — |
^ (плоская деформация) |
аго = ~+2 ° (плоское напряженное состояние)
Для перехода к х -представлениям необходимо учесть, что действие оператора обращения преобразования Фурье F~]
(F -]f ) ( x ) = (27rY2jf(k )exp {-ik -x)d k , (П2.3.1)
на функции, фигурирующие в (П2.1.3), (П2.1.6) и (П2.1.9), имеет вид
|
|
|
555 |
|
какрЛ |
||
И И = - ^ Ж F ' \ К |
J |
= 2 ^ т (^ ~ 2П^ Х |
|
|
к2 |
|
|
F -'ib" ) = £ 4 4 |
р - ' ( Щ |
= - Л ( 1 п И ^ + « л ) . |
|
F - 1( ^ M ^ ) = I i |
r [3£1- ( £ 3(w)+JE:4(„)+10£ 5(w))+8j£:6(w)]. |
||
|
|
|
(П2.3.2) |
Здесь Е‘(п) - основной базис в плоском случае, п-х/\х\.
С учетом этих соотношений выражения для функций Гри на G (* ), К(х) и S (x ) принимают вид
^ 8 ар + ХЛаПр , (П2.3.3)
4 х ) = й _ Г Е'-2Е%)-^ЪЕ'-Е\п)-Е\п)-\0ЕХп)+ЪЕ6{п)) ,
2л/лХ |
2 |
(П2.3.4) |
|
|
|
S(x) = ^ f - \ E 2+ 4Е5(w) - 8Е6(и )]. |
(П2.3.5) |
|
|
лх |
|
Действие обобщенных функций К (х) и S(х) на финит
ные функции в R2 определяется соотношениями (П2.2.16), (П2.2.17), где тензоры А(а) и D(a) имеют в плоском случае вид
£ < а )= ^ | Г (а - 'ш К , (П2.3.6)
где интегрирование проводится по единичной окружности /,.
П2.4. Специальное представление оператора К
Введем в л:-пространстве сферическую систему координат
(2.4), где г=|х|, п=х/\х\- вектор на единичной сфере П ,. Обо-
557
^ e ^ ^ r P -'- 'd r = e ^ " )[ | ф . т ) + / ^ '/’г ( р - 5 ) .
о
(П2.4.5)
Используя это равенство, из (П2.4.4) найдем
(/7)(£)=Нту- J е 2^r(p-s)\k\s~pds J /8(s,п)[{п■ m)+ie]s~P<£\=
^т-ico |
|
^(р) |
|
л Г+ЮО яу ч |
|
|
|
= — J е гР * T(p-s)\k\~pds |
|
f f\s,n)\{rim )+io] PdCln, |
|
lm Л. |
4 P) |
(П2.4.6) |
|
где учтено, что при е —>О |
|
|
|
|
|
|
|
[(w •т) + ieY —>[(и •т) + |
, |
(П2.4.7) |
|
(в смысле обобщенных функций). Таким образом, формула (П2.4.7) доказана.
Рассмотрим теперь оператор К, символ которого К*(к) имеет вид (П2.1.6). Используя свойства свертки, имеем
(*/)(*)=JK {x-x')f{x')dx' = [F-'K-(k)Ff]{x),(T12A.S)
где F - оператор преобразования Фурье (П2.3.1). Снова вводя параметр е > 0 и применяя формулу (П2.4.2), получим
(K/)U)=iim(2zy]d\k\
|
е~* |
о |
о,Ы |
1 |
Г+*00 |
. Я( |
ч |
X— |
J T (p -s )e 2 Рs \k\*~pds f/* (s ,/)[(i» -/)+ /o ]' Pdl. |
||
270 «•-.«, |
|
Q,(p) |
|
(П2.4.9) Меняя порядок интегрирования, приходим к равенству
558
1 |
г+*°° |
■—( - \ |
(Х /‘)(дг) = Нш-— — |
Jcfc |
^K \m )T {p -s)e2P ‘ d£lm |
|
|
X |
\27Г) |
Tico |
Q^) |
X \ f ( sj\ (h m )U o r d n ]e » » ™ )-*'\k\-'d\k\. |
||
П .Ы |
|
О |
(П2.4.10) Подставляя в эту формулу значения интеграла, аналогич
ного (П2.4.5)
J е ^ птУщ\к\~хd\k\= <jv r(j)[-r(w -т) +/*]"', (П2.4.11)
о
и переходя к пределу при е —> +0, получим окончательно
1 |
Г+/00 |
{Kf){r,n) = — |
(П2.4.12) |
2т |
У |
пи
Ч*
=7ГТ7г (Р ~ *)ГМ х (П2.4.13)
{2 я)
хj(-n -m +io) sK*(nt)dQm j(m -l+io)s pf*(s,l)dQl .
Ъ(р) |
a , ( p ) |
Данное представление сингулярного интегрального опера тора используется в главе II при решении интегрального урав нения для поля деформаций в среде со сферически симмет ричной неоднородностью.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ, СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
П3.1. Интегральные теоремы Гаусса и Стокса
Пусть V- область в трехмерном пространстве R3, ограни ченная кусочно-гладкой замкнутой поверхностью Q , П(х) - внешняя (по отношению к V) нормаль к Q. Если Л(х) - тензорная функция, производные от которой интегрируемы в
R3, то имеет место соотношение
J |
= I na(XUfil.Jx)dn, |
(ПЗ.1.1) |
V |
о |
|
частным случаем которого является теорема Гаусса [102]
J div A{x)dx = Jw(x)-^ |
(ПЗ.1.2) |
а
Пусть теперь Q - произвольная поверхность Ляпунова, ог раниченная гладким замкнутым контуром Г. Ориентацию по верхности определим заданием непрерывного вектора норма ли п(х) к Q . При этом положительной стороной Q будем считать ту, которая находится со стороны нормали. Положи тельным направлением обхода контура Г традиционно счита ется такое, при котором положительная сторона поверхности Q остается слева.
Пусть т(х) - единичный вектор, касательный к Г и нап равленный в сторону положительного обхода Г. Если А (х) -
тензорная функция в R3 с интегрируемой первой производ ной, то имеет место теорема Стокса [102]
560
J6afii VA |
, W " a ( ^ = JAXMуТх(Х) ^ ■(П3.1.3) |
n |
г |
Здесь e a0X - тензор Леви-Чивита. В сокращенной записи
|и(дг)-гоЫ(х)*Ю = | д (х) dT, dr=TdT. (ПЗ.1.4)
о г
Введем оператор проектирования вектора на поверхность П в точке х e Q
9aP{x) = Sap- n a{x)np{x). |
(ПЗ.1.5) |
Векторное поле а ( Х ) принадлежит поверхности Q , если удовлетворяет соотношениям, которые являются следствиями друг друга:
” а( Ф а(х) = 0, 9ф{х)ар{х) = аа{х). |
(ПЗ.1.6) |
Аналогично, тензорное поле А(х) любой валентности при надлежит поверхности Q , если
9afi{x ) 0 jx ) ...0 jx ) A Pfi p{x) = A ^ J x ) . (ПЗ.1.7)
Оператор производной вдоль поверхности Q определяется соотношением
= V a - n a{x)np{x)Vр , |
(ПЗ.1.8) |
где V набла-оператор в R?. |
|
Зададим на контуре Г - границе Q |
- ортогональный репер |
П(х), т(х), е(X) где П(х) - предельное значение на Г нор мали к Q , т(х) - единичный касательный к Г вектор, опре деляющий направление положительного обхода, е(х) - вектор нормали к Г, лежащий в касательной к П плоскости в точке
дгеГ и направленный вне Г.
Для тензорного поля А(х), принадлежащего поверхности О и имеющего интегрируемую первую производную, имеет место следующий аналог формулы Гаусса (ПЗ.1.2) для поверх ности [18, 102]: