книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

491

Qt - полные сечения рассеяния трех изонормальных волн на одном изолированном жестком диске, определенные форму­ лами (8.6.59) и (8.6.61).

§9.5. Распространение упругих волн

всреде с жесткими короткими волокнами

Рассмотрим упругую изотропную неограниченную среду, содержащую однородное в пространстве случайное множество коротких жестких волокон. Пусть L(X) - дельта-функция, со­ средоточенная на осях этих волокон

где ф{2 ) - произвольная гладкая функция, Г, - срединная ли­

ния i -го волокна, a S (z ) - функция формы волокна - опре­ делена в (8.4.36).

Амплитуды полей смещений и деформаций в среде с во­ локнами с учетом лишь главных членов разложения по малым

параметрам S0,S} (см.§8.4) представляются в форме, анало­ гичной (8.4.35) и (8.4.36)

* * (* ) = e°lf ( x ) - f K l0 ttt{x-x')L(x')TX/l(x')dx', (9.5.3)

где г(ДТ) - функция, совпадающая с т*к)(ДС) (8.4.12) на оси Гк к-то волокна.

Будем по-прежнему считать, что каждое волокно находится

в постоянном эффективном поле £*(Х), которое представля­ ется следующим образом:

ej^x) = e j.x ) - JК ^ ( х - x')L{x\x') TXfi{x')dx’.

(9.5.4) Здесь через L (x,xr) обозначена функция, определенная

соотношением

492

В соответствии с методом эффективного поля амплитуды полей смещений и деформаций в среде с волокнами выража­ ются через локальное внешнее поле

»«(*) = ««(*) + f t р ё а / к х -х ^ Т ^ х 'У ^ х ')^ ', (9.5.6)

которое удовлетворяет самосогласованному уравнению

причем функция Л (Ж) совпадает с Aw (£) вида (8.4.34) на оси к -го волокна.

Выражение для среднего значения эффективного поля e{x,m)=<e(x)\x,m>, в котором находится волокно ориента­ ции ТП, получим, осреднив обе стороны (9.5.8) при условии, что точка находится на оси волокна

е{х,т ) = еа{$ -^ К {х -х')(^ х,х')е{х'^ х,х',п })с1х',

(9.5.10)

где символом <-|х,х',т> обозначена операция осреднения

при условии хгеГ (т), х е Г . Воспользовавшись, как и выше,

для замыкания уравнения (9.5.10) квазикристаллической ап­ проксимацией, получим

e{x,n^=e\x)-^Y^x-x'){T{x,x,)e {x ,)\x,n^dx'.(9.5.11)

Предполагая, что поле £*(X), в котором находится волокно ориентации т, статистически не зависит от его положения в пространстве, можем записать

( r U x O f V ^ . 'w ^ ^ x 'W x - x ') , T\x) = (T(x)e*{x,m)),

493

(9.5.12)

Здесь '{'„(JC) - непрерывная гладкая функция, характери­ зующая пространственную корреляцию случайного множества волокон. Из определения функции L(x\x') следует, что '1/Л(0)=0, а вследствие ослабления корреляции в положении волокон с увеличением расстояния между ними 'Рт(де)—>1 при

х—><». Функция ^ И(Л) определяет вид корреляционной ямы, в которой находится типичное волокно ориентации т.

Осреднив теперь обе стороны уравнения (9.5.7) по ансамб­ лю реализаций случайного множества волокон, получим

£ (*) = е ( х ) - | к ( х - * ') 7 * М Л '. &(х) = («(х )). (9.5.13)

Исключив поле е°(X) из уравнений (9.5.10) и (9.5.13), бу­ дем иметь

е{х,т ) = ^ х )+ | к (х - х ')Ф т( х - х ')7 ,*(*0*&',

Функция Фя и в этом случае быстро стремится к нулю вне области порядка размеров корреляционной ямы. Пренебрегая в длинноволновом приближении изменением поля е (х,т) в этой области, инте1ральное уравнение (9.5.14) преобразуем в

считать, что Ът- вытянутый сфероид с полуосями b^=b2=b и

полуосью Ьг >Ь, направленной вдоль вектора т. Тогда тензор

494

As имеет вид (8.6.62). Таким образом, и в случае волокна форма корреляционной ямы определяется величиной ее ас­ пекта у=ЫЪз (у< 1). Если предположить статистическую не­ зависимость положения волокон в пространстве, то имеет по­ рядок <(а/1)\т> - среднего аспекта включений ориентации

т. При этом с принятой ранее точностью тензор А*топреде­ ляется формулой (8.6.63).

Умножим теперь уравнение (9.5.15) на Т(Х) и осредним обе его части по ансамблевым распределениям длин и ориен­ таций волокон. В результате придем к соотношению

где А*(Х) - функция, совпадающая с тензором Asmна оси во­ локна ориентации т.

Разрешая уравнение (9.5.16) относительно J*(х) с учетом малости величин (/?/)3 и co3J (J3=0)lvT), получим

(9.5.17) Предполагая свойство эргодичности рассматриваемых

функций, заменим ансамблевые средние средними по объему для типичной реализации. Это дает

где W- область в R3 с объемом W, в пределе занимающая все пространство, N - число включений, попавших в W, А(к) - функция, имеющая вид (8.4.34) для к-го волокна. Оереднив обе. стороны (9.5.18) еще раз по ансамблю реализаций, найдем

(г(х )) = п0(А т ), Ат= m 2l } j 2{$ A m{4)d%, (9.5.19)

495

где f (g) - функция формы волокон, а тензор Ат зависит от случайных размеров волокон и их ориентации в пространстве. Ориентация же задается случайным вектором т, на котором

построен базис Р г(т). Аналогично вычисляются и другие средние, входящие в формулы (9.5.17).

Осреднив, наконец, уравнение (9.5.6) и воспользовавшись соотношениями (9.5.17), Можем записать

и а(х) = К (х) +JV„&*(* - x')DvfiAf,(TXMpt{x))^pT{x,)dx\

(9.5.20) Применив к обеим сторонам этого уравнения оператор

МС ° ^ х+ро0}2Зф найдем, что среднее поле смещений

U (Х)=<и(Х)> в среде с волокнами удовлетворяет уравнению

где тензор эффективных динамических упругих модулей опре­ деляется соотношениями

CS=C°+CR, CR=D°Ar , C = ( ^ f DiA a+AwACR )-JC RHCR.

Перейдем к определению с помощью уравнения (9.5.21) скоростей распространения и коэффициентов затухания для конкретных стохастических моделей множества волокон в изотропной среде.

1* Среда с хаотически ориентированными волокнами.

Пусть центры волокон образуют статистически однородное и изотропное случайное множество, а их ориентация распреде­ лена равномерно. Тогда средние, фигурирующие в (9.5.22), становятся изотропными тензорами, а тензор эффективных

упругих модулей С* принимает вид

С фХц - k Зсф^Хм+ 2 // арХц~ 'J8a0$Xfi) > (9.5.23) k* = ks -ia ?k a , p = p s - ш ъра , k,= h 0+n0{v)kR,

Ms=M*+ «о(v)/iR, kR= f <p(q)[d,(q) - 5n0(v)d{p, y )]"',

496

MR = ^ ) [ ^ 2( ^ ) - wo(v>(3 - rf)d(q,y)] ',

К = ((v2 )H2dx(q) - 9n0(v)2 JHX),

Mm=M\H2no[(v2)d2{q )-n o(v)2j).

В этих формулах V- объем волокна, q- параметр, опреде­ ленный в (4.2.27),

(q) = 21- и„(v)( 16+ £ <p(q)), d2{q) = 15- n0(v)( 13 - ^ <f{q)),

а функция <p(q) для волокон трех рассмотренных выше форм определена выражениями (8.6.76).

Как уже упоминалось, в случае макроскопической изотро­ пии среды волновое уравнение (9.5.21) расщепляется на два независимых уравнения относительно продольной и попереч­ ной составляющих среднего вектора смещений. Соответству­

ющие им волновые числа kL и ктопределяются соотношени­ ями

kL= a +iyL, кт= р +iyT, а = ® /v * , ft = (o/vT,

где v* и - эффективные скорости распространения про­

дольных и поперечкых волн, a yL и ут- их коэффициенты затухания

2°. Среда с одинаково ориентированными волокнами. Рас­ смотрим среду, в которой короткие жесткие волокна ориенти­ рованы одинаково. В этом случае осреднение по ориентациям в выражениях (9.5.22) отсутствует и эти формулы приводят к следующему результату:

498

К = °>\р0{т* ~ms)cos2<?)]' . (9.5.32)

Эта волна является чисто поперечной. Ее фазовая скорость определяется формулой

2HO(V)(I + if cos2 0)

а коэффициент затухания равен нулю.

Два других волновых числа определяются формулами

(9.4.63), в которых следует использовать параметры Хх из (9.5.30).

Если 0=0, т.е. п = т, то вдоль оси симметрии распростра­ няются чисто продольная и чисто поперечная волны. Выраже­ ние для волнового числа продольной волны кх имеет вид

>

и ее коэффициент затухания

(9.5.36) Поперечная волна вдоль оси симметрии (Ua=ea) не зату­

хает, а ее фазовая скорость V*, совпадает с v^2 при 0=0, т.е.

499

2n(v) v /2

. l ~ n' ( v).

Пусть теперь в=к/2 (волновая нормаль перпендикулярна оси симметрии материала). В этом направлении в среде, ар­ мированной короткими однонаправленными волокнами, рас­ пространяются незатухающие продольная волна со скоростью

+(l-w 0(v))(l+ 772)

атакже две поперечных волны. Одна из них (с вектором по­ ляризации Uа = еа) имеет скорость, которая получается из (9.5.33) при 0=я/2:

а скорость второй поперечной волны, поляризованной вдоль

оси симметрии, совпадает с V*,.

Рассмотрим случай (wo<vx<l) - малой концентрации воло­ кон. Тогда коэффициенты затухания трех изонормальных (квазипродольной (L), квазипоперечной (г ) и чисто попереч­ ной (Г2) волн, распространяющихся под углом в к оси сим­ метрии, могут быть получены из общих формул для мнимых частей волновых чисел, в которых следует пренебречь всеми

членами, имеющими порядок выше, чем wo<V>. В результате получим

500

Если волокна, кроме того, имеют одинаковые размеры, то

эти формулы преобразуются в выражения вида (9.4.77), где Qt - соответствующие полные сечения рассеяния, определенные в (8.6.75) и (8.6.77).

Заметим, что для волокон одинакового размера тензор С <", определяющий мнимую часть тензора С*, принимает вид

где P6(m) - элемент тензорного Р - базиса.

Если к тому же центры волокон образуют правильную ре­ шетку, то интеграл J равен объему ячейки периодичности и

величина Справна нулю. Это соответствует, как и выше, от­ сутствию затухания длинных волн на периодической структу­ ре. Таким образом, в рамках метода эффективного поля в од­

ночастичном приближении параметр 1 - noJ играет роль меры отклонения пространственного распределения волокон от пе­ риодичности (регулярной решетки).