книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

542

547

к которому сводится задача о равновесии упругого простран­ ства с включением, функция q(X) принадлежит классу С°°

внутри области V . Следовательно, функция и1а(х) дифферен­

цируема почти всюду в Л3, а в R* \Q, (где П - граница об­ ласти V ), существует производная Vw'(x). Э т о следует из ин­

тегрируемости функций VG(x) и q(x), каждая из которых порождает регулярную обобщенную функцию, т.е. линейный функционал, определяемый соотношениями вида

4(9) = (VG)(9 ) = | (V G (x№ x)d x,

где ф(х) - любая "пробная" функция. Заданием такого функ­ ционала порождающая его функция ^определяется с точностью до значений на множестве нулевой меры и потому их - функ­

цию / и обобщенную функцию f (ф) = jfcpdx обычно можно отождествить. Поскольку q(<p)=0 для любой <р(х) с носите­ лем, который не пересекается с замыканием ограниченной области V , обобщенная функция q(X) имеет компактный но­ ситель. Поэтому определена свертка в (П2.2.7), причем

Атак как

^л ^ )= С 1 ррт(п^(П)Урит(х )Щ х )У ^ лир(х )), (П2.2.9)

где S(Q) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности

П, то обобщенная функция в правой части (П2.2.8) порожда­ ется следующей функцией на R3

548

При принятых выше условиях интегралы в правой части этого выражения существуют как обычные и определяют фун­

кции, всюду непрерывные на R3. Поэтому в силу одного из

равенств (П2.2.8) обобщенная функция Vw'(x) порождается

функцией на R3, определенной соотношением

JVpVfiax (х - x')qXfl (x')dx' = V,J V/7* (дг- x^q^x^dx'.

(П2.2.11) Это равенство можно рассматривать гак определение ре­

гулярной части сингулярной (не порождаемой локально ин­

тегрируемой функцией на R3) обобщенной функции Vw'(x). Сингулярная ее часть извлекается из поверхностного интирала в правой части (П2.2.10).

Будем считать, что область Vимеет форму эллипсоида, по­

где а - двухвалентный симметричный тензор, deta> 0. Представим выражение для тензора А (П2.2.6) в виде

А = J VG(x)VV(x)dx = ^ з J kG*{k)kV'{k)dk. (П2.2.13)

Здесь использованы равенство Парсеваля (П2.1.2), а также

где fi(x ) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности Q - границе V.

Сделаем в интеграле (П2.2.13) замену х = ау. Тогда

Подставляя это соотношение в (П2.2.13) и заменяя к на а~]к, получим

549

А = K '(a xk)V*i\k§dk, (П2.2.16)

где К* (к)= к G*(k)k - однородная функция нулевой степени по к. Поэтому, если k=\ktyn, где т - вектор на единичной сфере Q , то выражение для А примет вид

Заметим, что константа А не зависит от абсолютных раз­ меров эллипсоида V, так как К*{к) - однородная функция

нулевой степени. Но тогда и функционал Г

входящий в (П2.2.20), не зависит от абсолютных размеров эл­ липсоида V. Это позволяет перейти к пределу в (П2.2.20), стягивая эллипсоид V к нулю. При этом интеграл по V исче­

зает, так как АГ(дс)—|хг|_3, а второй интеграл в (П2.2.20) выра­ жается через интеграл в смысле главного значения по Коши, который существует в силу существования обобщенной функ­ ции К(х).

Итак, окончательно действие обобщенной функции К (х) на любую финитную <р(х) определяется равенством

550

J K{x)<f{x)dx = A{a)(p{o) + dtXaj K(ay)<p(ay)dy, (П2.2.21)

где / - символ интеграла в смысле главного значения по Ко­ ши, тензор А(а) определен соотношением (П2.2.19). Тензор а можно рассматривать как произвольное невырожденное ли­ нейное преобразование X-пространства.

Совершенно аналогично для обобщенной функции S(x) имеем

^S{x)<^x)dx = I^a)<f{^) + dQta^S{ay)<p{ay)(fy, (П2.2.22)

Причем, в силу определения (П2.1.10) функции S*(k), имеет место равенство

Следует отметить, что регуляризация (П2.2.21) имеет мес­ то для всякой функции, преобразование Фурье которой есть однородная функция нулевой степени. В частности, регуляри­ зация обобщенной функции

(П2.2.25) где К (х) - функция вида (П2.2.3), определяется соотношени­ ем, аналогичным (П2.2.21),

J K(m\x)<f{x)dx = А” {а)(р{0) + det a J К(т){ay)(f{ay)dy,

(П2.2.26)

где Q, - поверхность единичной сферы в к -пространстве.