книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

443

Учитывая, что

в) Поперечная волна, поляризованная вдоль оси хъ. Рас­ смотрим, наконец, вторую поперечную волну с вектором по­ ляризации

Для этой волны величина </°> имеет тот же вид (8.6.94), а векторные амплитуды рассеянных волн определяются выра­ жениями

А М = 0 , в М = ^ е ~ '* Ж (^ - ^ с о $ < р )т а,

Г Л А В А IX

ЭФФЕКТИВНЫЙ ВОЛНОВОЙ ОПЕРАТОР ДЛЯ СРЕДЫ СО СЛУЧАЙНЫМ МНОЖЕСТВОМ ИЗОЛИРОВАННЫХ НЕОДНОРОНОСТЕЙ

В этой главе рассматривается композитный материал, сос­ тоящий из однородной матрицы и случайного множества включений. Метод эффективного поля применяется для опи­ сания распространения упругих волн в таких материалах. С помощью приближенного "длинноволнового” решения интег­ ральных уравнений для одиночной неоднородности, получен­ ного в предыдущей главе, строятся инте1ральные уравнения для определения "эффективных" полей смещений и деформа­ ций. Эти поля являются внешними по отношению к каждому включению и состоят из падающего поля и упругих полей, рассеянных всеми включениями, кроме выделенного. Реше­ ние уравнений для эффективного поля при некоторых пред­ положениях относительно структуры случайного множества включений позволяет получить осредненное уравнение дви­ жения композитной среды (эффективный волновой оператор) в длинноволновом приближении. Этот оператор описывает распространение волн в некоторой однородной среде, облада­ ющей дисперсией и затуханием. Исследована функция Грина эффективного волнового оператора. Найдены скорости рас­ пространения и коэффициенты затухания упругих волн в ком­ позитных материалах, содержащих случайное множество включений различной формы.

§9.1. Рассеяние упругих волн на случайном множестве эллипсоидальных включений

Рассмотрим неограниченную вообще анизотропную среду, содержащую однородно распределенное в пространстве слу-

445

чайное множество эллипсоидальных включений (случайными являются положения их центров, размеры и ориентация). Пусть, как и раньше, V - характеристическая функция облас­ ти, занятой включениями. В случае гармонических колебаний

амплитуды полей смещений иа(х) и деформаций еф(х) в

произвольной точке х среды удовлетворяют уравнениям, ана­ логичным (8.2.1) и (8.2.3):

"«(* ) = » « ( * ) + Pgafs{x-x')C'pPXfl{x,)eXft{x') +

Здесь С '(х ) совпадает с постоянным тензором С\ак) при

х& к, где Vk - область, занятая к-и включением, V=\jVk, а

к

ак- набор геометрических параметров, характеризующих фор­

му и ориентацию к -го включения.

Как следует из этих уравнений, локальные внешние поля

перемещений и*(х) и деформаций £ар(х), в которых нахо­

дится произвольное включение Vk (х€Ук), представляются в форме

»«(*) = ua{x)+\[Vpgafi{x-x')C'ppxJ<x,)eXfi{x,) +

где функция V (х; х' ) определена соотношением (5.5.3). Чтобы получить самосогласованные уравнения для опреде­

ления полей и*(х) и е*(х), будем считать, что эти поля пос­

446

тоянны в пределах каждого включения (гипотеза //,). Это

позволяет выразить поля смещений и деформаций внутри произвольного включения через локальные внешние поля

M’ (JC) и £ ( х ) с помощью соотношений (8.2.17), которые по­

лучены при решении одночастичной задачи в длинноволно­ вом приближении

««(*) = *«*(*)*£(*)» е 1ф{х) = А а/им{х)б1,{х). (9.1.5)

Здесь функции Л ( Х ) и Л(Х) при х € У к совпадают с вели­

чинами Л(ак) и Л(ак), определенными формулами (8.2.18).

Подставив эти формулы в правые части уравнений (9.1.1)- (9.1.4), найдем, что поля смещений и деформаций в произ­ вольной точке композита выражаются через локальные внеш­ ние поля в виде

"«(*) = ««(*) + j[v * g * (x - x ')C ]jb(*)A^ ( x')e*P'(x')+

sj,x ) = e'Jjc)- | [ К ^ ( х - х ') С 1 дог( х ') А ^ ( х ') 4 и ') -

-p xa 2V^ ^ х - х ^ Л ^ х 'У ^ х ^ У ^ с Ь с ’

асами локальные внешние поля удовлетворяют следующей системе самосогласованных уравнений:

=*£(*) +J[V g j j c - х')С ^(х') ЛддаДх'ЦДх') +

+А®2^ ( ж- х')ЯД1(х,)и*(х')]к(зг;х')Л ', (9.1.8)

6ap{x) = sj^ x ) - j [ K afikM{ x - x ' ) C l pT{x')A pTSv{x')£Sv(x') -

- P ir fV (figa)x(x - x ' U t M(x')umfl(x')y(x;x')dx'. (9.1.9)

Если решение этих уравнений известно, то есть величины

и*(X) и £*(X) определены как функции внешних полей и°(х)

и е°(х), то, подставив их в (9.1.5), а результат- в правую часть

(9.1.6) и (9.1.7), найдем решение рассматриваемой задачи.

447

Осредним уравнения (9.1.6) и (9.1.7) по ансамблю реализа­ ций случайного множества включений. В результате выраже­ ния для средних перемещений U (X) и деформаций £(.Х)

примут следующий вид:

Ua{x) = и°а(х) + С^ JV ^ ( х - x')£l(x')dx' +

+o>2pXjgap(x-x')U*(x')dx', (9.1.11)

£afi(X) = £°afi(X) ~ Q l J Ka/UM(X~ X')K<(X')dX' -

свойств и размеров включения, которое находится в этих по­

лях (гипотеза Н2). Кроме того, учтено, что С Ли / / - постоян­ ные тензоры, определенные выражениями

СЛ= (C 1(x)A (x)F(x)) = no(vC'{x)A{x)),

(9.1.13)

где no - числовая концентрация включений, а осреднение в правых частях (9.1.13) предполагается по ансамблю случайных размеров и ориентаций эллипсоидальных включений.

Из соотношений (9.1.11) и (9.1.12) следует, что условные

средние U"(X) и £*(ЛГ) полностью определяют средние сме­ щения и деформации в композитном материале и являются, таким образом, основными неизвестными задачи. Для постро­ ения этих функций найдем ансамблевые средние обеих частей

уравнений (9.1.8) и (9.1.9) при условии х & . Используя гипо­ тезу Н2 метода эффективного поля, можно записать

448

U'a(x) = К ( х) + J[V ^ ( * - х ')С%хц(еХц{х')\х',X) +

+0>2gafi(x - х’)рхл(и* (х')\х', х ) ] ^ * - x')dx', (9.1.14)

& *(х) = Д К^ л Д * -* 0 ^ ( < Л * ') |х',х)-

Свойства фигурирующей здесь функции ЧР(Х) уже рас­ сматривались ранее. Для получения отсюда замкнутых уравне­

ний относительно условных средних U*(x) и $ * ( Х ) восполь­ зуемся квазикристаллической аппроксимацией, аналогичной (7.3.9)

( ^ ( * ) l x >*')= ( « * (х)|х) = £*(*)•

С учетом (9.1.16) система уравнений (9.1.14) и (9.1.15) поз­

воляет выразить эффективные поля U * ( X ) и £ ’ (х ) через па­ дающее поле. Для дальнейшего удобно связать эти величины со средними волновыми полями в композитном материале. Исключив для этой цели падающее поле из уравнений (9.1.11), (9.1.14) и (9.1.12), (9.1.15), получим

и ; W = £ /„(*) - / [ ? . * « , ( * - х’) с ^ е Ц х ' ) +

(9.1.17)

б ' М = W + / [ к * * (* ■-x O c t A M -

(9.1.18)

449

ф ( х ) = 1 -'Р (х ).

Уравнения (9.1.17) и (9.1.18) являются уравнениями в свертках. Действуя на них оператором преобразования Фурье, придем к системе алгебраических уравнений относительно фурье-образов эффективных полей, для которых сохраним те же обозначения с заменой аргумента X на к.

£/;(*)=им-т^(к)еЦк)-ф)и;(к), ол.вд

tap{k) = (о2[J^(х)Ф(х)еа*АЦ,,

w = [ / к ^ м Ф м л ф д * ,

*«*»(*)= ®2[J^в£Л/1(х)Ф{х У кх( к ^ мх ■

стремящаяся к нулю вне области с линейным размером / по­ рядка радиуса корреляции случайного множества неоднород­ ностей. Считая в длинноволновом приближении, что носитель

функций U*(к) и $*(к) сосредоточен в области |&|/«1, фун­

кцию е'кх под знаками интегралов в (9.1.20) можно аппрокси­ мировать отрезком ряда

Вычислим теперь интегралы в (9.1.20) с учетом (9.1.21), сферической симметрии функции Ф(х)=Ф(|х|) и главных членов разложения функции g (x) (8.2.6). Подставив результат в (9.1.19), разрешая эту систему уравнений относительно

4 5 0

U*a(k) и $*(k) с сохранением, как и ранее, только главных по со членов в действительных и мнимых частях, придем к соотношениям

в которых обозначено

dap{o)) = Safi-i(o2pp,g%J, J = |ф(дг)й6с, (9.1.23)

D{k, а>) = D ° {l - ico3(noA°(v2C'A°HCR) - JHCR) -

l2[A1 .(i* ® /* )]c * }, D° = ( l - n oA°(vC'\°)Y,

CR{a) = C'A°{a)D°, CR=n0(vC'A°(ci))D°,

p=no<V>- объемная концентрация включений, а тензоры A°,

A°, H и g (1) определены ранее.

Переходя в уравнении (9.1.11) к преобразованию Фурье и учитывая свойства свертки, получим

Ua{k)=ul(k)^4kp)g^k)C^$^{k)+a^gJ^k)p^U*(k).

(9.1.24)

Подставив сюда выражения (9.1.22) для U*a(k) и $ ’ар(к),

можем записать

-<o2g^(t)P^dmUr(k). (9.1.25)

Умножим обе части этого равенства на тензор