книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

362

кой аппроксимации (7.3.9). Замыкание этой цепочки на вто­ ром шаге позволяет учесть парные взаимодействия между включениями в микронеоднородной среде. Рассмотрим это приближение более подробно.

Вернемся к уравнению (7.3.7), которое для модели точеч­ ных дефектов принимает вид

С/*(^)=м0(^)+Ио(^Лди)|Уа^(х-х,)'Р(х-х')Й(х>дс')^'+

+w0<yV ,(v/)Jg(x ~ х 'Ж * “ x')U*(x, x')dx', (7.5.1)

где обозначено

Функции U (х, х ') и £ а(х ,х ') являются средними значе­

ниями локальных внешних волновых полей в точке х'^Х при

условии, что в точке хФх' имеется неоднородность. Эти фун­ кции характеризуют парное взаимодействие между включени­ ями в композитном материале. Построим уравнения для этих функций.

Исключив внешнее поле и°(Х) из (7.5.1) с помощью урав­ нения (7.3.14), получим

С/*(х) = U (x)-п , J [v a*(x - x'){vC^Kxpy p{x') +

-и . J { V a^(x - x ')(v C ^ A ^ )[^ (x ') - £*(x, x')] +

+px(o2 (yl}g(x - x')[t/*(x') - U*(x, x ^ jj^ x - x')dx'.

Присоединим к (7.5.3) еще одно уравнение, которое полу­ чается из уравнения (7.3.5) путем дифференцирования его обеих частей по координатам. После аналогичных предыду­ щим операций осреднения и исключения внешнего поля мо­ жем записать

363

£ «(*) = £ « (* )+ ».J[K «tf(x -xO (vC ^ A ^ )£ *(x') +

Осредним теперь уравнение (7.3.5) при условии х,х, е V .

Сучетом модели точечных дефектов получим (7*(x,x1)=M°(x)+J[Vag (x -x ')(v C ^ A /,A)(f;(x')| x';x,x1)+

+A <yV (^ - ^ ')(v0 ( w*(x')lx'>x>xi)](^ (x’ ;,r')lx>xi)f&'- (7.5.5)

Заметим, что в силу ослабления взаимодействия между включениями, а также исчезновения корреляционных связей в расположении включений с увеличением расстояния между

ними при |х,|—>оо имеют место соотношения

U*{x,х,) -> U*{x) , (м*(х')|х', х, х,} -> U*{x, х') ,

Как показано в §6.2, среднее <Х (х; х')|х,х,> под знаком интеграла в (7.5.5) представляется в форме

{Х(х\ х ^ х , Х]^ = З^х' —х,) + F{x',х, х,),

F (x ',x ,x ,) —> « „ Ч '(х '-х ) при |х| |—> оо . (7.5.7)

Подставив (7.5.7) в (7.5.5) и исключив внешнее поле с по­ мощью уравнения (7.3.13), найдем

(7*(x,x1) = f/*(x)+[vag(x-x1)(vC^A^)|;(x,x1) +

364

+pxco2g {x -x '){v lY j\ x ,x ^ t-n j(x ,x x) , (7.5.8)

где обозначено:

J(x, х,) = JV ag(x - x'^vC ^A V ){[(*J (x')|x', *» *1) -

X ') J F ( X ' , x , x , ) + f y ( x , x ' ) [ F ( x ' , x , x , ) - ¥ ( х - x ' ) ] } < & ' +

+p,0)2(v/)Jg(x - x'){[(«*(x')|x\ X, X,) - U*(x, X')]F (X', X, X,) +

причем функция J(x,x}) стремится к нулю при |х, |—> 0. Условия замыкания на этом этапе заключаются в пренеб­

режении в (7.5.8) слагаемым « оУ(х,х,), которое имеет порядок концентрации включений. В результате приходим к уравне­ нию

Na{x - х,)£* (х,х,) + « (х - х,)0*(х,х,) = £ /*(х), (7.5.10)

#«(*) = - V pg (x){vC px\a) . и(*) = l-<y2A^(^)(v7).

Совершенно аналогично может быть получено и второе уравнение:

M jpc) = ^ + K aA(x)(vC]//A ^ ), та{х) = -a>2pxVag{x)(vJ),

которое совместно с уравнением (7.5.10) позволяет выразить

<*М = Trfei1 + ^«(*)A *(xK W ] •

Так же, как в статике (§ 6.5), выражения (7.5.12) можно интерпретировать как локальные поля, в которых находится каждый из двух одинаковых точечных дефектов в матрице под

воздействием внешних волновых полей (х ) и U*(х), при­

чем х -х , - вектор, соединяющий центры дефектов. Наличие же окружающих неоднородностей учтено в соотношениях

(7.5.12) эффективными внешними полями (х ) и U*(x),

действующими на типичную пару неоднородностей в компо­ зитной среде.

Выражения (7.5.12) могут быть теперь подставлены в урав­ нения (7.5.3) и (7.5.4), которые позволяют выразить эффек­

вую часть уравнения (7.3.14) позволяет аналогично предыду­ щему получить эффективный волновой оператор для компо­ зитной среды с учетом парных взаимодействий включений. Проведем эти вычисления до конца для композита, у которо­

го отсутствуют флуктуации плотности (/?,=0). В этом случае уравнение (7.3.14) принимает вид

U(x) = и{х)+п . J Vag(x - x')(vC^Ax^ l(x ')d x ', (7.5.14) откуда следует, что единственной известной задачи становит­ ся функция £*(х). Эта функция удовлетворяет уравнению

£а(х) = $а(Х) + П°\^<ф(Х~Х,)(уС'арА1/^ Ф (х -Х ,)$*м(х')с1х' +

+"о/К -аД х- x')(vC ^ Ля„ )[(5* (х') - $1(х, х ')]^ (х - X')dx',

(7.5.15)

366

в котором условное среднее £ * (х ,х ') связано с величиной

€* (х') соотношением

0 l(x ,x ')= D jx - x % (x '), D jx )= (s ^ + K jx )(v C lA rf))'',

(7.5.16)

следующим из (7.5.12) при рх= 0.

Подставив выражение для ра(х,х’ ) в правую часть (7.5.15), получим уравнение типа свертки относительно функции

ра(х). Осуществив в этом уравнении преобразование Фурье, можем записать

Как следует из анализа, приведенного в параграфе 7.4, учет старших членов в разложении экспоненты (7.3.21) при выводе выражения для эффективного волнового оператора порождает зависимость эффективных характеристик среды от волнового числа к. Эта зависимость определяет нелокальные свойства среды (пространственную дисперсию), следствием которых является возникновение волн, затухающих на рассто­ яниях порядка радиуса корреляции I . Пренебрегая в дальней­ шем эффектами пространственной дисперсии, положим в

(7.5.18) е » 1 . Тогда тензор Иар зависит только от частоты

со и в длинноволновом приближении определяется выраже­ нием

368

Используем полученные формулы для композитного мате­ риала с изотропной матрицей и изотропными сферическими включениями с одинаковыми радиусами а. Если случайное множество включений однородно и изотропно, то тензор

С*ар{со) также изотропен, т.е.

С*^(со) = С*(<ц)<5^, С* (а)) = CS+ O>2C2 +го)3С3. (7.5.25)

Переходя к определению величин Cs , С2 и Съ в правой части этого выражения, заметим, что для изотропной матрицы име­ ют место соотношения

C,=‘ 4 v ) 9С 1_3ч 1 Ф<^ ^ ’ 4'/:

Здесь обозначено:

369

а величина /2 определена в (7.4.13).

Если в среде с включениями распространяется плоская волна (7.4.16), то дисперсионное соотношение принимает вид

? Ы = 1 -З д / Ф ( ^ ^ - 4 Л

\ о

Если в (7.5.31) и (7.5.32) положить J m= 0, (т= 1,2,3), то эти формулы совпадают с выражениями, которые следуют из фор­ мул (7.4.20) и (7.4.21) при р,=0, полученных методом эффек­ тивного поля в одночастичном приближении.

Г Л А В А VIII

РАССЕЯНИЕ УПРУГИХ ВОЛН НА ИЗОЛИРОВАННОМ ВКЛЮЧЕНИИ

ВОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Вэтой главе в длинноволновом приближении решается задача о рассеянии упругих волн на изолированном включе­ нии в неограниченной однородной среде. Для этой цели ис­ пользуются интегральные уравнения, эквивалентные волново­ му уравнению теории упругости, с ядрами, сосредоточенными

вобласти, занятой неоднородностью. Явные выражения для волновых полей внутри включения и его окрестности найде­ ны для эллипсоидального включения и его предельных форм: вытянутого и сплющенного сфероидов. Затем с помощью асимптотических разложений решается задача рассеяния для тонких трещиноподобных и жестких включений, а также для жесткого осесимметричного волокна. Несколько иной подход, но в рамках той же единой схемы, использован для исследо­ вания рассеяния упругих волн на непрерывном цилиндричес­ ком волокне в неограниченной среде. В заключение главы приводится доказательство аналога оптической теоремы для упругих колебаний. С помощью этой теоремы определяется одна из важных характеристик рассеяния - полное сечение рассеяния включений упомянутых выше форм.

§8.1. Динамический тензор Грина

для однородной анизотропной упругой среды

Рассмотрим неограниченную упругую среду с тензором

модулей упругости C°apXfi и плотностью ро, свободную от дей-