книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

312

и при учете первых членов разложения символа С*(к) в ряд по (Ы) (6.4.29) представляется в форме

Здесь С* и С*- скалярные коэффициенты. Таким образом, в полученные соотношения входят как радиус корреляции случайного множества включений / , так и средний радиус включений а.

§6.5. Учет парного взаимодействия при решении задачи осреднения

Квазикристаллическая аппроксимация (6.3.7), с помощью которой были получены уравнения (6.3.8) и (5.5.12) метода эффективного поля в одночастичном приближении, основана на пренебрежении детальными особенностями парных взаи­ модействий между включениями в композите. Действительно, равенство

означает, что присутствие включения в точке хх (во всех реа­ лизациях) не сказывается на среднем значении эффективного поля в точке х eV. Рассмотрим выражения (6.3.5), (6.3.6) для

313

условных средних от эффективного поля £*(X) без привлече­ ния гипотезы типа (6.5.1)

£Ч1)(х) = е° - p j K { x - x ,)P4J>ll(x',x)'¥(x,x')dx', (6.5.2)

Фе(х, х,) = е° - J К(х - х’)Р°(е*(х')|х\ х,;х )(г(х ; х')|х; х, )dx'.

(6.5.3)

Здесь Ф£(х, х, )=<£"*(х)|х,х, >- условное среднее, учитыва­

ющее особенности парного взаимодействия включений в ком­ позите. Далее будем считать, что случайное множество вклю­ чений статистически однородно и изотропно, а приложенное

к среде внешнее поле £°- постоянное. При этом функция

^ ( х .х ') в (6.5.2) зависит только от |х-х'|, а Ф£(х,х,) - от

разности х - х ,. В силу ослабления взаимодействия и исчезно­ вения корреляции в расположении включений с увеличением

расстояния между ними при |х,|—» оо имеют место соотноше­ ния

Фе(х - х,) -> ё К,), (е’ (х')|х', х,; х) -> Ф .(х' - х ) ,

Здесь £*(1)- постоянный тензор. Из (6.5.2) следует выраже­ ние для этого тензора в форме

е® = е°+ рА 'Г е® -/?| к (х )Р °[ф £( х ) - ^ 1)]'Р (х )Л ,

(6.5.5)

где тензор Л°имеет вид (2.4.2) при ciap-8ajS. Это равенство от­

личается от уравнения (5.5.12) для среднего значения эффек­ тивного поля интегральным слагаемым в правой части, куда

входит функция Фе(Х). Для ее построения обратимся к урав­

нениям (6.5.3) и начнем с рассмотрения среднего<^(дс;х')|г,х1>. Для простоты заменим включения конечных размеров точеч­

ными дефектами по схеме, изложенной в §5.14. При этом

функции V (X) и V(x,x') заменяются главными членами их

315

К этому выражению для функции Ф£(Х) можно придти

также следующим образом. Рассмотрим два одинаковых точе­ чных дефекта интенсивности <v>P°, помещенных в одно­

родную среду с тензором модулей упругости С°, причем X - вектор, соединяющий эти дефекты. Если среда нагружена од-

нородным внешним полем е•т , то нетрудно показать, что по­

ле Ф£(:г), в котором находится каждый из этих дефектов, бу­

дет иметь вид (6.5.12). Таким образом, функция Ф£(х ) (6.5.12)

описывает взаимодействие двух точечных дефектов в упругой среде, а наличие остальных неоднородностей учитывается эф­

фективным внешнем полем е*т, действующим на эти дефек­ ты.

Подставляя (6.5.12) в (6.5.5) и разрешая полученное урав-

К° = J K (X)P °[(/ + (V)K (X)P°)‘ I - / ] ^ ( х) А . (6.5.14)

Отсюда и из (6.3.22), (6.3.23), с учетом постоянства тензора

е*т и соотношений (5.2.13), получим

(а) = С ( е ) , С* = С + pP°[l - рА°Р° + рК°]~1. (6.5.15)

При К°=0 это выражение для тензора эффективных моду­

лей упругости композита С ’ совпадает с выражением (5.5.23), которое получено методом эффективного поля в одночастич­ ном приближении.

Перейдем к вычислению тензора К° (6.5.14). В случае изо­

тропной среды функция К (х ) имеет вид (П2.2.3). Тензор Р° для сферических слоистых включений является изотропным и определяется соотношением

где коэффициенты Р°, Р° имеют вид (5.5.31), а в случае одно­ родных включений - (5.5.34). Переходя к сферической системе

316

координат (г,п) и выполняя интегрирование по единичной сфере (вектор П) в (6.5.14), получим

вида функции *F(£), общие свойства которой обсуждались в

§5.5. В случае точечных дефектов функция Ч*(<%) допускает следующую интерпретацию: это нормированная плотность ве­ роятности распределения дефектов в пространстве, при усло­ вии, что в точке х = 0 находится дефект. Если все включения, которые моделируются точечными дефектами, имеют одина­ ковый радиус а, то их центры не могут сблизиться на рассто­ яния, меньшие 2а. Поэтому простейшая аппроксимация фун­ кции 'Р(Х), учитывающая конечность размеров включений в модели среды с точечными дефектами, имеет вид

Здесь Н ( £) - функция Хевисайда. Строго говоря, такой вид функция 4 '{Г) может иметь лишь в пределе при стремлении к нулю объемной концентрации включении р. Если кон цен­

может быть решение известно­ го в кинетической теории газов уравнения Перкуса-Йевика[32]. Максимальное значение функ­

ции 'Р(А’ ), являющейся решением уравнения Перкуса-Йеви- ка, достигается при г = 2а и имеет вид [ 226 ]:

Кривые на рис. 6.1 "соответствуют численному решению уравнения Перкуса-Йевика, полученному в [226]. Для конкре­

тных расчетов воспользуемся аппроксимацией функцииХР (£ ), предложенной в [ 242 ]

Из соотношений (6.5.15)-(6.5.18) следуют выражения для

эффективных модулей объемного сжатия к* и сдвига //, ком­ позита со сферическими включениями в виде

319

ствует одночастичному приближению метода эффективного поля (глава V), кривые 2,3 получены методом эффективного

поля с учетом парного взаимодействия при ¥ ( £ ) в форме

(6.5.19) - 2 и (6.5.21) - 3. В качестве А принималось макси­ мальное значение относительной ошибки по всем экспери­ ментальным данным [215,220,229].

§6.6 Корреляционная функция поля напряже­ ний в среде с точечными дефектами

Перейдем к построению корреляционной функции поля напряжений в композитном материале. Для простоты ограни­

чимся здесь приближением точечных дефектов (§ 5.14). В этом приближении поля напряжений и деформаций в компо­ зитной среде представляются в форме (5.14.13), (5.14.14)

о(х) = <т (х) + J s(x -x ')M °(x ')< 7 (х ^ А ^ х ')^ ', (6.6.1)

fi(x) = £°(х) + J K (X - X ')C 0M °(X ')<X (x')J!f(x')d5c', (6.6.2)

ауравнение для эффективного поля сг*(х ) имеет вид (5.14.15)

а(х)=<т(х)+|,S(x-x')M °(x')<7 (х')ЛТ(х;x')dx'. (6.6.3)

Вдальнейшем будем считать внешнее поле <7°{е) постоян­ ным, при этом <7 (х), £Т(х) и £(х) - однородные случайные

поля. Выражение для среднего сг*(1) получим, осредняя (6.6.3) при условии х е Х

сг^ = а° + | £ (х -х ')(М °(х ')< т (х ')А г(х;х')|х^&'. (6.6.4)

Для вычисления второго момента эффективного поля