книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdf301
(6.3.3)
где < £*(х')|х';х > - среднее при условии х' eV,x eVx,. Оче
видно, что это среднее отличается от е*т(х).
Если свойства включений статистически не зависят от их пространственного расположения, то первый сомножитель в правой части (6.3.3) представляется в форме
(г (х 'И х ;х ')| х ) = Р °'Р (х,х'), |
Р°=р(Р°(х)|х), |
'Р (х.х') = (г(х;х')|х)/(Г(х>), |
Ч^х.х') = 'Р (х - х '), |
|
(6.3.4) |
где ЧР(х,х') - скалярная функция, свойства которой обсужда лись в § 6.2. Конкретный вид vF (x ,x ') и более сложных усло вных средних функций V (х,х') будет предполагаться извест ным.
Для построения второго сомножителя в правой части (6.3.3) (< £*(х')|х';х >) осредним обе части уравнения (6.1.8)
при условии xeV,xleFx и вновь воспользуемся гипотезой Н2.
В результате получим выражения для средних < £*(х)|х > и < £*(х)|х;х, > в следующем виде:
^£*(х)|х^ = £ (х) - J к (х - x ')P 0(fi'*(;C,)l;C,> |
x')dx\ |
|
(6.3.5) |
(е (x)|x;x,)=f (x )-jK (x -x ')^ >e(e (xO Ix'ix.XiX^xix'Jlxjx,)^',
|
|
(6.3.6) |
где |
< £*(х')|х';х,х, > |
- среднее при условии х' е V, х е Vx., |
х, |
eVx,, отличное от <£*(х')|х';х>, а среднее <F(x;x')\x,xt> |
|
определено в (6.2.31). |
|
|
|
Таким образом, здесь возникает цепочка связанных урав |
|
нений относительно |
условных средних функций £*(х). Для |
302
замыкания этой цепочки приходится вводить дополнительные предположения о статистических свойствах эффективного по
ля е (х). Простейшим из них является аналог так называемо го "квазикристаллического" приближения [199,248]
(е 0)|х;х,) = (f (х)|*) = £*(1)(x) • |
(6.3.7) |
То есть здесь предполагается, что среднее значение эффектив ного поля в точке X совпадает с осреднением £*(х) по ансам
блю множества неоднородностей при условии, что точка х, находится внутри одного из включений.
Тогда из (6.3.7) и (6.2.36) следует замкнутое уравнение для
математического ожидания эффективного поля ^’^ (х )
£*(1)(х)= £ (х ) - | к |
т ( х - Х ') Р V (1)(x')<&\ |
(6.3.8) |
К т (х) = К(х)Ч/( х ) . |
|
|
Это уравнение, при |
постоянных е и е т, |
совпадает с |
уравнением (5.5.12) метода эффективного поля в одночастич ном приближении.
Если внешнее поле е (х) отлично от постоянного, то ре
шение уравнения (6.2.8) имеет вид |
|
г*(|)(х) = (Л £°)(х), |
(6.3.9) |
где Л - псевдодифференциальный оператор, символ которого А*(к) определяется соотношением
А*(А:) = ( / + К'!'*(А:)Р0)"1 |
(6.3.10) |
Здесь К Т*(А:) - преобразование Фурье функции К т (х ) в (6.3.8). При выводе (6.3.9), (6.3.10) учтено, что (6.3.8) - уравне ние в свертках.
Следующее приближение для £*(1)(х) найдем, обрывая це почку уравнений для последовательности условных средних
функции е (х) на уравнении (6.2.6) при помощи соотноше ния
^ *(x ')| x ';x ,x j = ^*(х')|х';х,) = ф (х ',х ,). (6.3.11)
303
Функция Ф (х,х,) - среднее значение эффективного поля
£*(х) в точке х при условии, что в точке х, GVX имеется вклю чение, - описывает парное взаимодействие в системе взаимо
действующих включений. Очевидно, что |
|
||
ф (х,х,) —> ^ ^ (х ) |
при |х,| —> 00. |
(6.3.12) |
|
Уравнение для Ф (х,х,) следует из (6.3.6), |
(6.3.11) и имеет |
||
вид |
|
|
|
Ф(х, х,) = е (х) - |
| к (х - |
x’)P°(V (х,;х')|х; х, )<&'ф(х; х,) - |
|
- /? | к ( х - х ') />°Ф (х',х|)^ (х ',х ,х 1)сйг', |
(6.3.13) |
||
F (x ',x ,x ,) |
|
(ГМ) |
(6.3.14) |
|
|
|
|
Здесь учтено |
представление (6.2.35) |
для среднего |
<Г(Х, >^)|^i >%2
Перейдем теперь к построению второго момента эффекти вного поля £-*(2)( х |, х2). Для этого домножим обе части уравне ния (6.1.8) на £*(х,) и осредним результат при условии xl,x2eV
*‘(2)(*1.*2) = ® (* (*2)|*2 »■*1 ) ~ (6.3.15)
- Jк (*1 - х ')(р °(х ')£-*(^') ® е { х 2)F(x,; х')|х,, х2 )dx'.
Среднее под интегралом в этом соотношении в силу гипо
тезы Н2 представляется в форме |
|
(Р°(х'У ( х')®£*(х2И х,,х')|х1,х2)= |
(6.3.16) |
= Р V (2)(х,,х2 )(Г (х ,;Х')|х, ;х2) + |
|
+рР° (е(х') ® е ( х 2)|х', х2;х, )F (X',х,, х2).
Используя теперь предположение, аналогичное (6.3.7), (6.3.11)
304
(г*(дг')® ^(^2)|^',ЛГ2;Х|) = (£*(х')®г*(дС2)|х',Х2) = ^ 2)(х',Х2),
(6.3.17)
из (6.3.15) получим замкнутое уравнение для ^ ^ ( х , ^ )
£*(2)(х, ,х2) = е (х,) ® Ф(х,,х2) - |
(6.3.18) |
-J К(х, - х')Р°(у (х,;х')|х, ,x2)c&'f*(2)(xl, х2) -
-J К(х, - х ')Р V (2)(x', х2И * \ *1,*2)<*',
где Ф (х,,х2) - решение уравнения (6.3.13). Путь построения
следующих приближений для ^ ^ (х , ,х2) в рамках предложен ного подхода очевиден.
Перейдем теперь к вычислению статистических моментов полей деформаций £"(х) и напряжений о(х) в композитной
среде. Если поле £*(х) является постоянным в каждом из включений, то в силу (6.1.3), (6.1.5) и (6.1.7) выражения для е(х) и <т(х) примут вид
е(х) = £°(х) - | к (х - х ')Р ° (х 'У (x')v(x')cbc', (6.3.19)
о(х) = <т°(х) - J S(x - х’)°а(х')£ (x')v(x')dx'.(6.3.20) Осредним эти соотношения по ансамблю случайного мно
жества включений и учитывая, что в силу гипотезы Н2
( P ° ( X ) £ ( X ) V ( X ) ) = ( P ° ( X ) V ( X ) ) £ (,)( X ) = P ° £ 0) ( X ) ,
(6.3.21)
будем иметь
(ф с)) = £ ° (х ) - J K ^X - X ' ^ V ^ X '^ X ', (6.3.22)
(о(х )) = a - ° (^ ) - j5 (x - x ')5 ° P V (1)(x')^x'. (6.3.23) Запишем теперь выражение для второго момента поля де
формаций е(х) в композите через условные моменты эффек тивного поля. Исходя из соотношения (6.3.19), запишем:
306
§ 6.4. Оператор эффективных свойств
Введем оператор С*, связывающий математические ожи дания тензоров напряжений и деформаций в композитном материале
(о (х )) = (С ’ (*))(х) = JС *(х - *')(«(*'))<&'• (6.4.1)
Исключая тензоры в и <т=С°е° из соотношений (6.3.22), (6.3.23) и учитывая (6.3.9), (6.3.10), получим выражение для символа псевдодифференциального оператора С* (преобразо вание Фурье ядра С*(Х)) в (6.4.1) в виде
С*(к) = С° + Р°(/ - А ' М Р ’ У' , |
(6.4.2) |
А*(к) = JK (x)[l - 'Р (х)]е**Л . |
(6.4.3) |
Отметим, что связь между средними < а ( Х ) > |
и < £ (*)> |
является нелокальной, поскольку С*- оператор свертки с об общенной функцией С*(X), которая имеет сингулярную (про
порциональную £ (* )) и регулярную составляющие. Исключе ние представляет собой случай однородного внешнего поля. В этом случае <е> и <сг> - постоянные тензоры, связанные между собой соотношением, которое следует из (6.4.1)-(6.4.3):
(о ) = С*(*), C = C + P°(l-A°P°)~\ |
(6.4.4) |
А° =Л *(0) = | к (х )[1 - ¥ (х )]А . |
(6.4.5) |
Это выражение для тензора эффективных модулей упруго сти композита совпадает с (5.5.23). Соотношения (6.4.1)-(6.4.3) можно рассматривать гак обобщение одночастичного прибли жения метода эффективного поля на случай переменного вне шнего поля.
Будем считать, что множество включений статистически изотропно (vP(X)='F(|x|)). Введем радиус корреляции / слу чайного множества неоднородностей соотношением
308
-&X2SapSiKSvP - |
• |
(6-4.11) |
Введем осредненное поле перемещений <и(х)> в компо |
||
зитной череде, связанное с < £ ( Х ) > |
соотношением |
|
(fi(x)) = def(i/(x)}. |
|
(6.4.12) |
Всилу (6.4.1) и уравнения равновесия для <сг(х)> поле
<и ( Х ) > удовлетворяет уравнению
-div C*def (и) = q . |
(6.4.13) |
Поскольку С*- нелокальный оператор, то (6.4.13) описыва ет поле перемещений <и> в некоторой однородной среде, обладающей пространственной дисперсией. Если символ опе
ратора С*аппроксимировать первыми двумя членами разло жения (6.4.9), то (6.4.13) перейдет в дифференциальное урав нение относительно вектора < и >
c S I ( Up ) “ ( ^сфХр ^ Х р у р т в ^ у р у ^ c S х 'У т'*2 s ( U у ) = Я р ■
(6.4.14)
Это уравнение по существу совпадает с системой уравне ний моментной теории упругости для среды со стесненным вращением [81,207]. Роль параметра с размерностью длины, характерного для моментной теории, играет в данном случае радиус корреляции случайного множества включений / .
Заметим, что в предыдущие соотношения не вошел еще один параметр задачи - характерный размер включения. Это
связано с тем, что локальное внешнее поле £ (X) предполага лось постоянным в пределах каждого включения. Зависимость
оператора С*от характерного размера включений можно учесть, реализуя схему метода эффективного поля на основе
уравнения первого порядка для £ {X) (6.1.12). Для простоты рассмотрим скалярный аналог этого уравнения, который воз никает при решении задачи осреднения стационарных темпе ратурных и электрических полей в композитной среде (см.
§ 2.5). Упрощение связано со снижением на единицу тензор ной размерности задачи. Будем считать, что среда и включе ния изотропны, а форма включений сферическая. Используя решение задачи для изолированной сферической неоднород ности в постоянном (2.5.11) и линейном (2.5.14), (2.5.21) полях
310
Ч '(х -х ') = |
(К * ; * ’)!*) |
в |
( |
х |
л |
_ ( Я |
д ( |
х |
' ) |
Г ( х |
(г(*)> |
в |
Л |
х |
~ х > - - - |
- <-у-Щ - |
- |
- |
'- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.19) |
|
|||
Вычислим функции *Р(х) и 0х(х) в приближении точеч |
||||||||||
ных дефектов. Для этого заменим функции V (х;х') и Нх(х')х |
||||||||||
xV(x;x') в |
(6.4.19) первыми |
|
членами разложения |
в ряд |
по |
мультиполям, сосредоточенным в центрах включений <£. (см. § 1.4). В случае сферических включений найдем (у=4яп3/3 )
V(x) = v Z <5(х- £ ); V(x;х’) = v Т S{x’ - £ ) |
при х = & , |
|
i |
i* k |
|
Я я( х И х ;х ’) = |
« * ’ - « ) ) при х = 4 „ (6.4.20) |
|
Отсюда следует, что средние ^ ( х - х ') и |
0Л( х - х ') связа |
|
ны соотношением |
|
|
(* - *0 = ~ у |
V ^ (x - хО = у V ^ (x - *') •(6.4.21) |
Переходя в (6.4.18) к £ -представлению, получим линейное
уравнение относительно £*('\к), решение которого имеет вид
П У * ) = K W ( i k x), К * ( * ) = J К ^ (х )вх(x)eikxdx,
(6.4.22)
где К*(&) - преобразование Фурье К(Х), А*(к) определено в (6.4.3).
Найдем средние значения векторов напряженности и по тока поля в композите, заданных соотношениями (6.4.15). Учитывая равенства
{p-(x)V(x)) = F\ (H,{x)V(x)) = О, |
(6.4.23) |